Punkty, odcinki, proste, jednostki długości - Klucz do matematyki 4 cz. 1

1.Przybory do geometrii

Do geometrii potrzebujemy czterech przyborów. Linijka służy do rysowania linii prostych i mierzenia. Ekierka ma kąt prosty. Cyrkiel służy do rysowania kół, a kątomierz - do mierzenia kątów.

2.Linijka

Linijka służy do rysowania linii prostych i do mierzenia długości. Ma podziałkę: duże kreski z liczbami to centymetry, a małe kreski - milimetry. Staranny rysunek przy linijce pomaga rozwiązać zadanie.

3.Ekierka

Ekierka to przyrząd w kształcie trójkąta z jednym kątem prostym. Bywają ekierki wydłużone i takie, w których dwa boki przy kącie prostym są równe. Każdą można położyć na kartce w kratkę tak, aby dwa boki leżały na liniach kratki.

4.Kąt prosty ekierki

Kąt prosty ekierki tworzą jej dwa boki, które można położyć na liniach kratki - pionowej i poziomej. Na rysunku to kąt przy wierzchołku C, zaznaczony kwadracikiem. Kąty proste mają też rogi kartki, książki i ławki.

5.Cyrkiel

Cyrkiel służy do rysowania kół. Rysowanie koła zaczynamy od zaznaczenia jego środka - w tym punkcie stawiamy ostrze cyrkla.

6.Kątomierz

Kątomierz to przyrząd do mierzenia kątów. Bywa półokrągły albo okrągły. Korzystać z niego nauczysz się w klasie piątej.

7.Kartka w kratkę

Na kartce w kratkę łatwo narysować odcinki pionowe i poziome - wystarczy rysować po liniach kratki. Z kratki można też odczytać długość takich odcinków bez linijki.

8.Odcinek poziomy i odcinek pionowy

Odcinek poziomy biegnie w lewo i w prawo, jak sznurek, który ciągnie się po ziemi. Odcinek pionowy biegnie w górę i w dół, jak krawędź drzwi. Zapamiętaj: poziomy, czyli „po ziemi”.

9.Jak odczytać długość odcinka z kratki?

Liczymy kratki wzdłuż odcinka. Jedna kratka to 5 mm, a dwie kratki to 1 cm. Odcinek długości 7 kratek: 6 kratek to 3 cm, została 1 kratka, czyli 5 mm. Razem 3 cm 5 mm.

10.Odcinki, które nie leżą na liniach kratki

Długości odcinka ukośnego nie odczytamy z kratki, bo ukos przez kratkę jest dłuższy niż jej bok. Odcinek biegnący ukośnie przez 3 kratki ma więcej niż 1 cm 5 mm. Takie odcinki mierzymy linijką.

11.Punkt

Punkt zaznaczamy kropką i oznaczamy wielką literą, np. punkt A, punkt K.

12.Odcinek

Odcinek to prosta linia, która ma dwa końce. Odcinek o końcach K i M nazywamy odcinkiem KM albo MK - kolejność liter nie ma znaczenia. Odcinek rysujemy przy linijce.

13.Punkty leżące na odcinku

Na odcinku leżą jego oba końce i wszystkie punkty między nimi. Punkt obok odcinka albo za jego końcem nie leży na odcinku.

14.Prosta

Prosta nie ma ani początku, ani końca - na rysunku widać tylko jej fragment. Prostą oznaczamy małą literą, np. prosta k, albo dwoma jej punktami: prosta AB lub prosta BA.

15.Punkty leżące na prostej

Na prostej leżą punkty narysowanego fragmentu i punkty na jej przedłużeniach w obie strony. Punkt za końcem rysunku też może leżeć na prostej - na fragmencie, którego nie narysowano.

16.Punkt na przedłużeniu odcinka - czy leży na odcinku, czy na prostej?

Punkt C za punktem B, na przedłużeniu odcinka AB, nie leży na odcinku AB, ale leży na prostej AB. Każdy punkt odcinka AB leży też na prostej AB.

17.Jak nazwać prostą, na której leżą trzy punkty?

Nazwą może być dowolna para tych punktów, w dowolnej kolejności, albo mała litera. Prostą m z punktami K, L i N nazwiemy też: KL, LK, KN, NK, LN albo NL.

18.Proste prostopadłe

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym. Takie proste zawsze się przecinają. Na kartce w kratkę prostopadłe są np. prosta pionowa i prosta pozioma.

19.Odcinki prostopadłe

Odcinki prostopadłe leżą na prostych prostopadłych. Nie muszą się przecinać - wystarczy, że pod kątem prostym przecięłyby się ich przedłużenia. Na kartce w kratkę to np. odcinek pionowy i odcinek poziomy.

20.Jak sprawdzić ekierką, czy proste są prostopadłe?

Ekierka ma dwa boki prostopadłe. Przykładamy kąt prosty ekierki do punktu przecięcia prostych, jednym bokiem wzdłuż pierwszej prostej. Jeśli drugi bok przylega do drugiej prostej, proste są prostopadłe. Jeśli nie przylega - nie są.

21.Jak narysować odcinki prostopadłe?

Na kartce w kratkę rysujemy po liniach kratki: jeden odcinek pionowy, a drugi poziomy. Na gładkiej kartce rysujemy przy ekierce, wzdłuż dwóch boków, które tworzą kąt prosty.

22.Proste równoległe

Proste równoległe nie przecinają się, nawet gdy przedłużymy je dowolnie daleko. Na kartce w kratkę równoległe są np. dwie proste poziome albo dwie proste pionowe.

23.Odcinki równoległe

Odcinki równoległe leżą na prostych równoległych. Równoległe są też odcinki leżące na jednej prostej. Przykład: dwa przeciwległe brzegi zeszytu.

24.Jak sprawdzić, czy proste są równoległe?

Do jednej prostej przykładamy ekierkę, a do ekierki - linijkę. Przesuwamy ekierkę wzdłuż linijki, aż dotknie drugiej prostej. Jeśli ekierka przylega do drugiej prostej, proste są równoległe.

25.Jak narysować proste równoległe?

Na kartce w kratkę rysujemy po dwóch liniach kratki: dwie poziome albo dwie pionowe. Na gładkiej kartce przesuwamy ekierkę wzdłuż linijki i rysujemy dwa razy wzdłuż tego samego boku ekierki. Dwa dłuższe boki linijki też są równoległe.

26.Jak zapamiętać, które proste są prostopadłe, a które równoległe?

Popatrz na kalkulator. Kreski w znaku $+$ przecinają się pod kątem prostym, jak proste prostopadłe: prostopadłe - plus. Kreski w znaku $=$ nigdy się nie spotkają, jak proste równoległe: równoległe - równa się.

27.Proste ani prostopadłe, ani równoległe

Takie proste przecinają się, ale kąt między nimi nie jest prosty. Na przykład dwa boki ekierki, które nie tworzą kąta prostego, nie są ani prostopadłe, ani równoległe.

28.Odcinki prostopadłe i równoległe wokół nas

Brzegi zeszytu, książki czy telefonu to odcinki. Brzegi leżące naprzeciwko siebie są równoległe, np. AB i DC. Brzegi ze wspólnym rogiem są prostopadłe, np. AB i BC.

29.Jak przedłużyć odcinek?

Przykładamy linijkę tak, aby zachodziła na część odcinka, i rysujemy dalej wzdłuż linijki. Wtedy przedłużenie leży dokładnie na tej samej prostej. Linijka przyłożona dopiero od końca odcinka łatwo się przekrzywia.

30.Odcinki prostopadłe do tego samego odcinka

Dwa odcinki prostopadłe do odcinka AB są do siebie równoległe. Na kartce w kratkę: gdy AB jest poziomy, oba są pionowe. Odcinek prostopadły do jednego z dwóch odcinków równoległych jest prostopadły też do drugiego.

31.Jak zmierzyć długość odcinka linijką?

Przykładamy linijkę tak, aby jeden koniec odcinka pokrywał się z 0. Przy drugim końcu odczytujemy centymetry i milimetry. Gdy koniec B jest 7 kresek za liczbą 4, zapisujemy: $AB = 4~\mathrm{cm}~7~\mathrm{mm}$.

32.Jednostki długości

Długość podajemy w milimetrach (mm), centymetrach (cm), decymetrach (dm), metrach (m) i kilometrach (km). $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$.

33.Kiedy jakiej jednostki długości używamy?

Milimetrów używamy do małych rzeczy, np. owada. Centymetrów - do zeszytu czy wzrostu, metrów - do pokoju czy boiska, a kilometrów - do odległości między miastami. Wybieramy wygodną jednostkę: 3000 mm zapiszemy jako 3 m.

34.Jak wykonać inne zamiany jednostek długości?

Korzystamy z zamian, które znamy. $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, a $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, więc $1~\mathrm{m} = 1000~\mathrm{mm}$. Tak samo $1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm}$, a $1~\mathrm{dm} = 100~\mathrm{mm}$.

35.Jak zamienić większą jednostkę na mniejszą?

Mnożymy. Najpierw zapisujemy, ile mniejszych jednostek ma jedna większa, a potem mnożymy przez tę liczbę. $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, więc $8~\mathrm{km} = 8000~\mathrm{m}$. Równość piszemy w takiej kolejności jak w zadaniu: przy $8~\mathrm{km} = ?~\mathrm{m}$ piszemy $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, a nie $1000~\mathrm{m} = 1~\mathrm{km}$.

36.Jak zamienić mniejszą jednostkę na większą?

Dzielimy. $100~\mathrm{cm} = 1~\mathrm{m}$, więc $4500~\mathrm{cm} = 45~\mathrm{m}$, bo $4500 : 100 = 45$. Tak samo $1000~\mathrm{m} = 1~\mathrm{km}$, więc $9000~\mathrm{m} = 9~\mathrm{km}$.

37.Mnożyć czy dzielić przy zamianie jednostek?

Mniejszych jednostek jest więcej, więc mnożymy. Większych jednostek jest mniej, więc dzielimy. Tak jest też z pieniędzmi: grosz jest mniej warty niż złoty, więc groszy jest więcej: 3 zł to 300 gr.

38.Jak zamienić długość zapisaną w dwóch jednostkach na jedną?

Większą jednostkę zamieniamy na mniejszą i dodajemy resztę: $6~\mathrm{m}~45~\mathrm{cm} = 600~\mathrm{cm} + 45~\mathrm{cm} = 645~\mathrm{cm}$. Uważaj na zero: $3~\mathrm{m}~4~\mathrm{cm} = 304~\mathrm{cm}$, a nie 34 cm.

39.Jak zapisać długość w dwóch jednostkach?

Rozdzielamy liczbę na pełne dziesiątki, setki albo tysiące i resztę. $587~\mathrm{mm} = 580~\mathrm{mm} + 7~\mathrm{mm} = 58~\mathrm{cm}~7~\mathrm{mm}$. $4060~\mathrm{m} = 4000~\mathrm{m} + 60~\mathrm{m} = 4~\mathrm{km}~60~\mathrm{m}$.

40.Jak porównać długości podane w różnych jednostkach?

Zamieniamy wszystkie długości na tę samą jednostkę i porównujemy liczby. 4 m, 380 cm i 41 dm to 400 cm, 380 cm i 410 cm. Najdłuższa jest więc długość 41 dm, a najkrótsza - 380 cm.