Szacowanie, sprytne dodawanie i odejmowanie - Klucz do matematyki 4 cz. 1

1.Szacowanie

Szacowanie to podawanie liczby w przybliżeniu, gdy dokładna liczba nie jest potrzebna. Rower za 389 zł kosztuje prawie 400 zł, a do sklepu, który jest 312 m stąd, idzie się około 300 m.

2.Kiedy wystarczy szacowanie, a kiedy potrzebny jest dokładny wynik?

Szacujemy, gdy chcemy wiedzieć „mniej więcej”: ile osób było na festynie, czy starczy pieniędzy, ile potrwa droga. Dokładny wynik jest potrzebny, gdy płacimy przy kasie, wydajemy resztę albo zapisujemy wynik działania.

3.Kilka, kilkanaście, kilkadziesiąt, kilkaset

To słowa do opisu liczby w przybliżeniu. Kilka to więcej niż dwa, ale mniej niż dziesięć, np. 4 lemury. Kilkanaście to od 11 do 19, np. 14 jaj. Kilkadziesiąt to kilka dziesiątek, np. 40 flamingów. Kilkaset to kilka setek, np. 600 antylop.

4.Jak oszacować liczbę?

Zastępujemy liczbę najbliższą pełną dziesiątką, setką albo tysiącem, czyli zaokrąglamy ją. 718 to około 700, bo 718 leży bliżej 700 niż 800. 4960 to około 5000, bo leży bliżej 5000 niż 4000.

5.Jak szacować duże liczby?

Duże liczby szacujemy do pełnych tysięcy albo dziesiątek tysięcy. $19\,870$ to około $20\,000$, a 8120 to około 8000. Dzięki temu w pamięci łatwo dodamy: około $20\,000$ dodać około 8000 to około $28\,000$.

6.„Prawie” i „trochę mniej niż”

Tych słów używamy, gdy liczba jest trochę mniejsza od pełnej setki albo dziesiątki. 296 to prawie 300, czyli trochę mniej niż 300. Tak samo 397 km to prawie 400 km.

7.„Ponad” i „trochę więcej niż”

Tych słów używamy, gdy liczba jest trochę większa od pełnej setki albo dziesiątki. 304 to ponad 300, czyli trochę więcej niż 300. Tak samo 6 zł 15 gr to ponad 6 zł.

8.„Około” i „mniej więcej”

Tych słów używamy, gdy liczba jest blisko pełnej dziesiątki albo setki - trochę mniejsza albo trochę większa. Zarówno 296, jak i 304 to około 300, czyli mniej więcej 300. Tak samo 41 kg to około 40 kg.

9.Jak oszacować wynik dodawania?

Każdy składnik zastępujemy liczbą w przybliżeniu i dodajemy w pamięci. $382 + 215$: 382 to około 400, a 215 to około 200, więc wynik to około 600. Dokładny wynik to 597.

10.Jak oszacować wynik odejmowania?

Odjemną i odjemnik zastępujemy liczbami w przybliżeniu i odejmujemy w pamięci. $694 - 312$: 694 to około 700, a 312 to około 300, więc wynik to około 400. Dokładny wynik to 382.

11.Jak szacowanie pomaga sprawdzić wynik?

Zanim policzysz, oszacuj wynik. Jeśli wynik obliczony jest daleko od oszacowania, w rachunku jest błąd, np. naciśnięto zły klawisz kalkulatora. $4980 + 3120$ to około $5000 + 3000 = 8000$, więc wynik 8100 może być dobry, a $81\,000$ na pewno nie.

12.Jak oszacować, ile zapłacimy za zakupy?

Ceny zastępujemy pełnymi złotymi, a przy kilku sztukach mnożymy. Masło za 7 zł 90 gr to około 8 zł, 4 batony po 1 zł 95 gr to około 8 zł, bo $4 \cdot 2 = 8$. Razem zapłacimy mniej więcej 16 zł.

13.Jak oszacować, czy wystarczy pieniędzy?

Szacujemy koszt zakupów i porównujemy go z kwotą, którą mamy. Masz 40 zł i chcesz kupić 7 zeszytów po 4 zł 90 gr. Zeszyt to około 5 zł, a 7 zeszytów to około 35 zł, bo $7 \cdot 5 = 35$. To mniej niż 40 zł, więc pieniędzy wystarczy.

14.Pary liczb, które dają 10

Warto pamiętać, ile brakuje każdej cyfrze do 10: $1 + 9$, $2 + 8$, $3 + 7$, $4 + 6$, $5 + 5$. Dzięki temu szybko widać, ile brakuje do pełnej dziesiątki: do 26 brakuje 4, bo $6 + 4 = 10$, więc $26 + 4 = 30$.

15.Zmiana kolejności liczb w dodawaniu

Kolejność liczb w dodawaniu nie wpływa na wynik: $15 + 8 = 23$ i $8 + 15 = 23$, czyli $15 + 8 = 8 + 15$. Tak samo, gdy liczb jest więcej: $3 + 6 + 4 = 3 + 4 + 6 = 13$. 5 czerwonych, 2 niebieskie i 4 żółte klocki to zawsze 11 klocków, w jakiej kolejności byśmy ich nie liczyli.

16.Dodawanie dziesiątek do dziesiątek, jedności do jedności

Rozkładamy liczby na dziesiątki i jedności, dodajemy osobno, a na końcu łączymy wyniki. $47 + 38$: dziesiątki $40 + 30 = 70$, jedności $7 + 8 = 15$, razem $47 + 38 = 70 + 15 = 85$.

17.Jak dodać w pamięci liczbę trzycyfrową i dwucyfrową?

Dodajemy setki do setek, dziesiątki do dziesiątek, jedności do jedności. $352 + 46$: setki zostają 300, dziesiątki $50 + 40 = 90$, jedności $2 + 6 = 8$, więc $352 + 46 = 398$.

18.Kiedy dwie liczby sumują się do pełnych dziesiątek?

Gdy ich cyfry jedności dają razem 10, a więc ostatnią cyfrą sumy jest 0. Tak jest w parach 34 i 26 ($4 + 6 = 10$, suma 60) oraz 17 i 23 ($7 + 3 = 10$, suma 40).

19.Sumowanie do pełnych dziesiątek

Najpierw dodajemy te dwie liczby, które sumują się do pełnych dziesiątek, a potem resztę. $16 + 25 + 4 = 20 + 25 = 45$, bo $16 + 4 = 20$. Tak samo $38 + 9 + 12 = 50 + 9 = 59$.

20.Jak dodać szybko wiele liczb?

Szukamy par, które sumują się do pełnych dziesiątek, i podkreślamy je tak samo. $33 + 19 + 27 + 11$: najpierw $33 + 27 = 60$ i $19 + 11 = 30$, potem $60 + 30 = 90$.

21.Dodawanie przez przekładanie

Z jednego składnika „przekładamy” część do drugiego tak, aby otrzymać pełne dziesiątki. $57 + 26$: do 57 dodajemy 3, a od 26 odejmujemy 3. Wtedy $57 + 26 = 60 + 23 = 83$.

22.Dlaczego przekładanie nie zmienia sumy?

Ile dodamy do jednego składnika, tyle zabieramy z drugiego, więc razem jest tyle samo. Gdy przełożymy kilka książek z jednej półki na drugą, na obu półkach razem nadal jest tyle samo książek.

23.W którą stronę przekładać?

To zależy od liczb - wybieramy, jak wygodniej. $57 + 26$ można policzyć jako $60 + 23$ (do 57 dodajemy 3) albo jako $53 + 30$ (do 26 dodajemy 4, od 57 odejmujemy 4). Za każdym razem wynik to 83.

24.Przekładanie do pełnej setki

Gdy jeden składnik jest blisko pełnej setki, dopełniamy go do niej. $295 + 47$: do 295 dodajemy 5, a od 47 odejmujemy 5, więc $295 + 47 = 300 + 42 = 342$. Tak samo $348 + 29 = 347 + 30 = 377$.

25.Odejmowanie jedności od jedności, dziesiątek od dziesiątek, setek od setek

Odejmujemy osobno setki, dziesiątki i jedności, a wyniki łączymy. $586 - 243 = 343$, bo $500 - 200 = 300$, $80 - 40 = 40$, $6 - 3 = 3$. Ten sposób jest wygodny, gdy żadna cyfra odjemnika nie jest większa od cyfry odjemnej na tym samym miejscu.

26.Kiedy trzeba odejmować innym sposobem?

Gdy cyfra jedności odjemnika jest większa od cyfry jedności odjemnej. W $72 - 35$ od 2 nie da się odjąć 5, więc wybieramy inny sposób: odejmowanie „po kawałku”, przez powiększanie obu liczb albo przez dodawanie.

27.Odejmowanie „po kawałku”

Odjemnik rozkładamy na części i odejmujemy je po kolei: najpierw dziesiątki, potem jedności, a jedności tak, by trafić na pełną dziesiątkę. $82 - 47 = 82 - 40 - 7 = 42 - 7 = 42 - 2 - 5 = 40 - 5 = 35$.

28.Odejmowanie „po kawałku” zaczynając od pełnej dziesiątki

Można też najpierw zejść do pełnej dziesiątki, a potem odjąć resztę. $82 - 47 = 82 - 2 - 45 = 80 - 45 = 80 - 5 - 40 = 75 - 40 = 35$. Wynik jest taki sam jak przy odejmowaniu najpierw dziesiątek.

29.Odejmowanie „po kawałku” liczb trzycyfrowych

Tak samo odejmujemy od liczby trzycyfrowej: najpierw dziesiątki odjemnika, potem jedności. $534 - 68 = 534 - 60 - 8 = 474 - 8 = 474 - 4 - 4 = 470 - 4 = 466$.

30.Odejmowanie przez powiększanie obu liczb

Do odjemnej i do odjemnika dodajemy tę samą liczbę - różnica się nie zmienia, tak jak różnica wzrostu dwojga dzieci stojących na tej samej ławeczce. $132 - 78$: dodajemy 22, żeby odjemnik był pełną setką. $132 - 78 = 154 - 100 = 54$.

31.O ile powiększyć obie liczby?

Zwykle tak, aby odjemnik stał się pełną dziesiątką albo pełną setką - wtedy odejmuje się najłatwiej. $64 - 29$: dodajemy 1, więc $65 - 30 = 35$. $261 - 195$: dodajemy 5, więc $266 - 200 = 66$.

32.Odejmowanie przez dodawanie

Do odjemnika dokładamy po trochu, aż dojdziemy do odjemnej. Różnica to suma tego, co dodaliśmy. $73 - 46$: 46 i 4 to 50, 50 i 20 to 70, 70 i 3 to 73, więc $73 - 46 = 4 + 20 + 3 = 27$.

33.Odejmowanie przez dodawanie liczb trzycyfrowych

Najpierw dopełniamy odjemnik do pełnej dziesiątki, potem do pełnej setki, a na końcu dochodzimy do odjemnej. $325 - 187$: 187 i 3 to 190, 190 i 10 to 200, 200 i 125 to 325, więc $325 - 187 = 3 + 10 + 125 = 138$.

34.Odejmowanie przez dodawanie większymi krokami

Kroki można dobrać większe, jeśli tak jest wygodniej. $152 - 75$: 75 i 25 to 100, a 100 i 52 to 152, więc $152 - 75 = 25 + 52 = 77$.

35.Ile trzeba dodać, aby dostać pełną setkę?

Najpierw dopełniamy jedności do pełnej dziesiątki, potem dziesiątki do setki. Do 68 dodajemy 2 i mamy 70, potem 30 i mamy 100. Razem $2 + 30 = 32$, więc $68 + 32 = 100$.

36.Jak obliczyć resztę przy płaceniu?

Reszta to różnica między kwotą, którą dajemy, a ceną. Wygodnie liczyć ją przez dodawanie, jak kasjer: przy zakupach za 76 zł i banknocie 200 zł liczymy 76 i 4 to 80, 80 i 20 to 100, 100 i 100 to 200. Reszta: $4 + 20 + 100 = 124$ zł.

37.Jak obliczyć, ile lat minęło?

Od późniejszego roku odejmujemy wcześniejszy. Od 1989 do 2026 roku minęło $2026 - 1989 = 37$ lat. Wygodnie przez dodawanie: 1989 i 1 to 1990, 1990 i 36 to 2026, razem $1 + 36 = 37$.

38.Jak sprawdzić wynik odejmowania obliczony sprytnym sposobem?

Każdy wynik odejmowania sprawdzamy dodawaniem: różnica dodana do odjemnika daje odjemną. Po obliczeniu $132 - 78 = 54$ sprawdzamy: $54 + 78 = 132$, więc wynik jest dobry. Jeśli wyjdzie inna liczba, szukamy błędu.

39.Jak wybrać sposób odejmowania?

Gdy żadna cyfra odjemnika nie jest większa od cyfry odjemnej na tym samym miejscu, odejmujemy jedności od jedności, dziesiątki od dziesiątek. Gdy odjemnik jest blisko pełnej dziesiątki lub setki (np. 98), wygodne jest powiększanie obu liczb. Gdy liczby są blisko siebie (np. $503 - 497$), wygodne jest odejmowanie przez dodawanie. W innych przypadkach odejmujemy „po kawałku”.

40.Jak wybrać sposób dodawania?

Przy dwóch liczbach dwucyfrowych dodajemy dziesiątki do dziesiątek, jedności do jedności. Gdy liczb jest kilka, najpierw dodajemy pary, które sumują się do pełnych dziesiątek. Gdy składnik jest blisko pełnej dziesiątki lub setki (np. 198), wygodne jest dodawanie przez przekładanie.