Zapis liczb, oś liczbowa, rachunki w pamięci - Klucz do matematyki 4 cz. 1

1.Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5 i kolejne. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0. Największej liczby naturalnej nie ma, bo do każdej liczby można dodać 1 i dostać większą.

2.Cyfry a liczby

Do zapisu wszystkich liczb wystarczy 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Z cyfr układamy liczby, tak jak z liter układamy słowa. Liczba 5 jest jednocyfrowa, 52 - dwucyfrowa, a 520 - trzycyfrowa.

3.Cyfra setek, cyfra dziesiątek i cyfra jedności

W liczbie trzycyfrowej pierwsza cyfra od lewej to cyfra setek, druga - cyfra dziesiątek, a trzecia - cyfra jedności. W liczbie 486 cyfra setek to 4, cyfra dziesiątek to 8, a cyfra jedności to 6, więc $486 = 4 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 6 \cdot 1$.

4.Jak zapisać liczbę jako sumę tysięcy, setek, dziesiątek i jedności?

Każdą cyfrę mnożymy przez wartość jej miejsca i wszystko dodajemy: $4062 = 4 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 2 \cdot 1$. Zero mówi, że setek nie ma. Tak samo z pieniędzmi: 362 zł to 3 banknoty po 100 zł, 6 banknotów po 10 zł i 2 monety po 1 zł.

5.Dziesiątkowy system zapisu liczb

Liczby zapisujemy w systemie dziesiątkowym: 10 jedności to 1 dziesiątka, 10 dziesiątek to 1 setka, 10 setek to 1 tysiąc. Znaczenie cyfry zależy od miejsca, na którym stoi. W liczbie 555 pierwsza piątka od lewej znaczy 500, druga 50, a trzecia 5.

6.Jak zapisać liczbę, gdy znamy zależności między jej cyframi?

Przygotuj tyle kreseczek, ile cyfr ma liczba. Wpisz cyfrę, którą znasz, a potem obliczaj kolejne. Przykład: cyfra setek to 2, cyfra jedności jest o 5 większa od cyfry setek, a cyfra dziesiątek o 3 mniejsza od cyfry jedności. Jedności: $2 + 5 = 7$, dziesiątki: $7 - 3 = 4$. Szukana liczba to 247.

7.Jak czytamy duże liczby?

Cyfry grupujemy po trzy od prawej strony i oddzielamy odstępem. Czytamy kolejne grupy od lewej, dodając nazwę grupy: milionów, tysięcy. Liczba $47\,205$ to czterdzieści siedem tysięcy dwieście pięć, a $6\,018\,340$ to sześć milionów osiemnaście tysięcy trzysta czterdzieści.

8.Grupy cyfr w dużej liczbie: miliony i tysiące

W dużej liczbie każda grupa trzech cyfr ma swoje miejsce. Licząc od prawej: ostatnia grupa to setki, dziesiątki i jedności, przedostatnia - tysiące, a następna - miliony. W każdej grupie są miejsca na setki (S), dziesiątki (D) i jedności (J). Liczba $3\,406\,125$ to trzy miliony czterysta sześć tysięcy sto dwadzieścia pięć.

9.Jak zapisać cyframi dużą liczbę podaną słowami?

Narysuj kreseczki w grupach po trzy: miliony, tysiące i ostatnia grupa. Każda grupa poza pierwszą od lewej musi mieć trzy cyfry, więc brakujące miejsca wypełniamy zerami, np. czterdzieści tysięcy to grupa 040. Trzy miliony czterdzieści tysięcy osiem: 3, 040, 008, czyli $3\,040\,008$. Na koniec przeczytaj liczbę na głos i sprawdź.

10.Zera w zapisie liczby

Zero pokazuje, że danego rzędu w liczbie nie ma. Gdy w nazwie liczby nie ma tysięcy, cała grupa tysięcy to same zera: siedemdziesiąt milionów dwanaście to $70\,000\,012$. Bez tych zer liczba zmienia się: $70\,012$ to tylko siedemdziesiąt tysięcy dwanaście.

11.Nazwy cyfr w dużych liczbach

Każde miejsce w liczbie ma nazwę. W liczbie $4\,682\,015$: 4 to cyfra milionów, 6 - cyfra setek tysięcy, 8 - cyfra dziesiątek tysięcy, 2 - cyfra tysięcy, 0 - cyfra setek, 1 - cyfra dziesiątek, 5 - cyfra jedności.

12.Milion, miliard i bilion

Milion to tysiąc tysięcy: $1\,000\,000$ (6 zer). Miliard to tysiąc milionów: $1\,000\,000\,000$ (9 zer). Bilion to tysiąc miliardów: $1\,000\,000\,000\,000$ (12 zer). Każda kolejna nazwa to o trzy zera więcej.

13.Znaki < i >

Znak $<$ czytamy „jest mniejsze od”, a znak $>$ - „jest większe od”. Piszemy $27 < 64$ i $580 > 395$. Otwarta strona znaku zawsze patrzy na większą liczbę, jak dziób bociana otwarty w stronę, gdzie jest więcej żab.

14.Jak porównać dwie liczby naturalne?

Najpierw policz cyfry: liczba, która ma więcej cyfr, jest większa, np. $1005 > 998$. Gdy liczby mają tyle samo cyfr, porównuj cyfry od lewej strony. Decyduje pierwsza różna cyfra: $4725 < 4752$, bo 2 dziesiątki to mniej niż 5 dziesiątek.

15.Największa i najmniejsza liczba o danej liczbie cyfr

Największą liczbę o danej liczbie cyfr zapisujemy samymi dziewiątkami: 99, 999, 9999. Najmniejszą zapisujemy jedynką i zerami: 10, 100, 1000. Liczba nie zaczyna się od zera, więc 099 nie jest liczbą trzycyfrową.

16.Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta ze strzałką, na której w równych odstępach zaznaczono kreseczki z liczbami. Strzałka pokazuje, w którą stronę liczby rosną: im dalej w prawo, tym większa liczba.

17.Jak narysować oś liczbową?

Rysujemy ją w trzech krokach. 1) Narysuj linię prostą ze strzałką na końcu. 2) Zaznacz kreseczki w równych odstępach. 3) Zapisz liczby pod kreseczkami - co najmniej dwie. W zeszycie odstępy wygodnie odmierza się kratkami.

18.Jednostka na osi liczbowej

Odcinek od 0 do 1 to jednostka. Na różnych osiach może mieć różną długość, np. 1 kratkę albo 4 kratki. Na jednej osi wszystkie odstępy między sąsiednimi kreskami są jednakowe. Gdy jednostka to 2 kratki, liczba 3 leży 6 kratek od zera.

19.Ile liczb trzeba podpisać na osi liczbowej?

Zawsze co najmniej dwie liczby. Z jednej podpisanej liczby nie wiadomo, co ile rosną liczby na kolejnych kreskach. Gdy pod sąsiednimi kreskami są 6 i 8, wiadomo, że następne kreski to 10, 12, 14.

20.Oś bez zera i oś z liczbami co kilka

Oś nie musi zaczynać się od zera, a liczby na kolejnych kreskach nie muszą być kolejne. Można zaznaczać liczby co 2, co 5, co 10, co 100 itd. Na przykład kreski mogą mieć podpisy 200, 250, 300, 350, 400 - to liczby co 50.

21.Jak ustalić, co ile zaznaczono liczby na osi?

Weź dwie podpisane liczby z sąsiednich kresek i odejmij mniejszą od większej. Gdy pod sąsiednimi kreskami są 40 i 60, liczby zaznaczono co 20, bo $60 - 40 = 20$. Kolejne kreski to więc 80, 100, 120.

22.Jak odczytać liczbę ukrytą pod literą na osi?

1) Spójrz na dwie sąsiednie podpisane liczby i ustal, co ile rosną. 2) Odliczaj co tyle, kreska po kresce, aż dojdziesz do litery. Gdy pod pierwszymi kreskami są 0 i 3, odliczamy co 3: 3, 6, 9, 12, 15. Punkt A na piątej kresce za zerem to 15.

23.Odliczanie wstecz na osi liczbowej

Gdy litera stoi przed podpisanymi liczbami, odliczamy wstecz, czyli za każdą kreskę odejmujemy krok. Pod sąsiednimi kreskami są 70 i 80, więc liczby rosną co 10. Punkt A leży trzy kreski przed 70: odliczamy 60, 50, 40, więc A to 40.

24.Co zrobić, gdy podpisane liczby nie stoją na sąsiednich kreskach?

Policz odstępy między podpisanymi kreskami i podziel różnicę liczb przez liczbę odstępów. Gdy pod pierwszą kreską jest 0, a liczba 20 stoi 4 odstępy dalej, jeden odstęp to 5, bo $20 : 4 = 5$. Sprawdzamy odliczaniem: 5, 10, 15, 20.

25.Liczba w połowie między kreskami

Liczbę, której nie ma na kreskach, też można zaznaczyć. Na osi z liczbami co 2 liczba 5 leży w połowie między 4 a 6. Na osi z liczbami co 10 liczba 35 leży w połowie między 30 a 40.

26.Jak zaznaczyć liczby na osi liczbowej?

Najpierw wybierz początek osi i odstęp między kreskami tak, żeby wszystkie liczby się zmieściły, a rysunek był czytelny. Dla liczb 25, 40 i 55 wygodna jest oś od 20 do 60 z kreskami co 5. Potem odlicz kreski i zaznacz każdą liczbę kropką.

27.Duże i małe kreski na osi, linijce i wadze

Na wielu osiach podpisane są tylko duże kreski, a małe dzielą odstęp na równe części. Gdy duże kreski to 0, 10, 20 kg, a każdy odstęp podzielono na 10 równych części, mała kreska to 1 kg. Trzecia mała kreska za 20 to 23 kg. Tak wygląda podziałka na linijce, miarce i termometrze.

28.Jak dodawać liczby zakończone zerami?

Dodajemy liczby bez zer z końca, a potem dopisujemy zera. Z $5 + 4 = 9$ wynika $50 + 40 = 90$, $500 + 400 = 900$ i $5000 + 4000 = 9000$. Tak samo $60 + 70 = 130$, bo $6 + 7 = 13$.

29.Jak odejmować liczby zakończone zerami?

Odejmujemy liczby bez zer z końca, a potem dopisujemy zera. Z $12 - 5 = 7$ wynika $120 - 50 = 70$, $1200 - 500 = 700$ i $12\,000 - 5000 = 7000$.

30.Na co uważać przy dodawaniu i odejmowaniu liczb z zerami?

Zera skreślamy i dopisujemy tylko wtedy, gdy obie liczby mają na końcu tyle samo zer. $400 + 300 = 700$, ale $400 + 30 = 430$. Tak samo $900 - 200 = 700$, ale $900 - 20 = 880$. Sprawdzaj, czy liczby mają po tyle samo zer.

31.Jak w pamięci dodać liczbę jednocyfrową, gdy przekraczamy pełną dziesiątkę?

Najpierw uzupełniamy do pełnej dziesiątki, potem dodajemy resztę. $47 + 8$: do 50 brakuje 3, więc 8 rozkładamy na $3 + 5$. Liczymy $47 + 3 = 50$, a potem $50 + 5 = 55$.

32.Jak w pamięci odjąć liczbę jednocyfrową, gdy przekraczamy pełną dziesiątkę?

Najpierw odejmujemy do pełnej dziesiątki, potem resztę. $63 - 7$: 7 rozkładamy na $3 + 4$. Liczymy $63 - 3 = 60$, a potem $60 - 4 = 56$.

33.Jak w pamięci odjąć liczbę od 100?

Szukamy, ile brakuje odjemnikowi do 100. $100 - 36$: od 36 do 40 brakuje 4, a od 40 do 100 brakuje 60. Razem $4 + 60 = 64$, więc $100 - 36 = 64$. Sprawdzenie: $64 + 36 = 100$.

34.Jak sprawdzić wynik odejmowania?

Wynik odejmowania sprawdzamy dodawaniem: do różnicy dodajemy odjemnik i powinniśmy dostać odjemną. $52 - 17 = 35$, sprawdzenie: $35 + 17 = 52$. Gdy wyjdzie inna liczba, w odejmowaniu jest błąd.

35.Dodawanie zera

Dodanie zera nie zmienia liczby, w dowolnej kolejności: $73 + 0 = 73$ i $0 + 73 = 73$. Gdy do 25 zł w portfelu nic nie dołożysz, nadal masz 25 zł.

36.Odejmowanie zera

Liczba się nie zmienia, gdy odejmujemy od niej zero: $48 - 0 = 48$, $500 - 0 = 500$. Gdy masz 15 cukierków i nikomu nic nie dasz, nadal masz 15 cukierków.

37.Składnik i suma

Liczby, które dodajemy, to składniki, a wynik dodawania to suma. W działaniu $6 + 9 = 15$ liczby 6 i 9 są składnikami, a 15 to suma. Sumą nazywamy też sam zapis $6 + 9$.

38.Odjemna, odjemnik i różnica

Liczba, od której odejmujemy, to odjemna, liczba, którą odejmujemy, to odjemnik, a wynik to różnica. W działaniu $23 - 8 = 15$: 23 to odjemna, 8 to odjemnik, 15 to różnica. Różnicą nazywamy też zapis $23 - 8$. Odjemna stoi pierwsza, jak dziewczynka, która ma pierwszeństwo.

39.Do czego służy odejmowanie?

Od większej liczby odejmujemy mniejszą, gdy pytamy: o ile więcej?, o ile mniej?, ile wynosi różnica?, ile brakuje? Kasia ma 45 kulek, a Piotr 28. $45 - 28 = 17$, więc Kasia ma o 17 kulek więcej, Piotr o 17 mniej i brakuje mu 17 kulek, żeby mieć tyle co Kasia.

40.Zadania z „o ... więcej” i „o ... mniej”

Gdy wiemy, że ktoś ma „o ... więcej” niż drugi, jego liczbę obliczamy dodawaniem, a gdy „o ... mniej” - odejmowaniem. Pytanie „o ile więcej?” to co innego - wtedy odejmujemy. Żeby obliczyć, ile mają razem, dodajemy obie liczby. Ola ma 14 zł, a Jan o 6 zł więcej: Jan ma $14 + 6 = 20$ zł, a razem mają $14 + 20 = 34$ zł.