Statystyka i zdarzenia losowe - Matematyka z plusem 7

1.Statystyka

Statystyka to nauka, która zajmuje się zbieraniem i opracowywaniem danych, np. o liczbie mieszkańców, długości życia czy wynikach wyborów. Dane statystyczne przedstawia się w tabelach, na diagramach i na wykresach.

2.Jak odczytywać dane z tabeli?

Najpierw przeczytaj tytuł i nagłówki wierszy oraz kolumn - mówią, czego dotyczą liczby i w jakich są jednostkach (np. kg, szt., %). Liczbę odczytujesz na przecięciu wiersza i kolumny. Wiersz lub kolumna „razem” zawiera sumę wszystkich wartości.

3.Diagram słupkowy

Na diagramie słupkowym wysokość (lub długość) słupka pokazuje wartość danej. Wartość odczytujemy na osi z podziałką. Najwyższy słupek to wartość największa, najniższy - najmniejsza. Na rysunku najwięcej książek wypożyczono w piątek (21), a najmniej w środę (9).

4.Diagram z dwoma słupkami obok siebie i diagram ze słupkami złożonymi z części

Dwa słupki obok siebie (np. liczba dziewcząt i chłopców w każdej szkole) pozwalają łatwo porównać dwie grupy. W słupku złożonym z dwóch części dolna część to jedna grupa, a górna - druga. Wysokość całego słupka to suma obu grup, a górną część obliczamy jako różnicę: cały słupek minus dolna część.

5.Diagram kołowy

Całe koło to całość (100%), a każdy wycinek to część tej całości. Im większy wycinek, tym większa część. Suma procentów wszystkich wycinków jest równa 100%. Na rysunku najwięcej uczniów dochodzi do szkoły pieszo (45%), a samochodem - najmniej (10%).

6.Jak obliczyć liczbę osób z procentu na diagramie kołowym?

Gdy znamy liczbę wszystkich badanych, obliczamy procent tej liczby: zamieniamy procent na ułamek i mnożymy. Ankietę wypełniło 400 osób, a wycinek ma 35%: $0{,}35 \cdot 400 = 140$ osób. Brakujący wycinek obliczamy, odejmując znane procenty od 100%.

7.Wykres liniowy

Wykres liniowy pokazuje, jak wielkość zmieniała się w czasie. Gdy linia idzie w górę, wartość rośnie, gdy w dół - maleje, a gdy jest pozioma - jest stała. Im bardziej stromy odcinek, tym szybciej wartość się zmieniała.

8.„O ile” i „ile razy” - jak porównywać dane?

Pytanie „o ile więcej” rozwiązujemy odejmowaniem, a „ile razy więcej” - dzieleniem. Gdy liczba uczestników wzrosła z 24 do 36, to wzrosła o $36 - 24 = 12$, czyli $36 : 24 = 1{,}5$ raza. Wzrost o 12 to $\frac{12}{24} = 50\%$ wartości początkowej.

9.Jak wykres może wprowadzać w błąd?

Gdy oś pionowa nie zaczyna się od zera, mała zmiana wygląda na dużą, a słupki różniące się o kilka procent wyglądają, jakby jeden był kilka razy wyższy. Mylące jest też pominięcie niektórych lat na wykresie. Dlatego zawsze sprawdzaj, od jakiej wartości zaczyna się oś i jaka jest podziałka.

10.Tabela łodygowo-listkowa

W takiej tabeli po lewej stronie kreski (w łodydze) piszemy początkowe cyfry liczby, np. cyfrę dziesiątek, a po prawej (w liściach) - ostatnią cyfrę każdej liczby. Wiersz 4 | 2 5 5 7 oznacza liczby 42, 45, 45 i 47. Liczba cyfr w liściach to liczba danych.

11.Dlaczego procenty na diagramie mogą dawać razem więcej niż 100%?

Tak jest, gdy w ankiecie można było wybrać więcej niż jedną odpowiedź - wtedy jedna osoba jest liczona w kilku kategoriach. Gdy każda osoba wybiera tylko jedną odpowiedź, procenty dają razem 100% (po zaokrągleniu może wyjść np. 99% lub 101%).

12.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich danych podzielona przez liczbę danych: średnia = suma : liczba danych. Średnia liczb 4, 5, 3, 6, 2 to $\frac{4 + 5 + 3 + 6 + 2}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Gdy mówimy krótko „średnia”, mamy na myśli średnią arytmetyczną.

13.Jak obliczyć średnią z tabeli lub diagramu, gdy wartości się powtarzają?

Każdą wartość mnożymy przez liczbę jej wystąpień, iloczyny dodajemy i dzielimy przez liczbę wszystkich danych. Na rysunku: cztery trójki, pięć czwórek i jedna piątka, czyli $\frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 1}{10} = \frac{37}{10} = 3{,}7$.

14.Jak obliczyć sumę danych, gdy znasz średnią?

Suma danych to średnia pomnożona przez liczbę danych: suma = średnia $\cdot$ liczba danych. Gdy 5 liczb ma średnią 6, to ich suma wynosi $5 \cdot 6 = 30$. Ten krok jest pierwszy w wielu zadaniach o zmianie średniej.

15.Jak obliczyć średnią dwóch grup razem?

Dodajemy sumy obu grup i dzielimy przez liczbę wszystkich danych. Nie wolno dodawać średnich grup i dzielić przez 2, gdy grupy mają różną liczebność. 10 uczniów ma średnią 4, a 15 uczniów - średnią 3: $\frac{40 + 45}{25} = \frac{85}{25} = 3{,}4$, a nie $3{,}5$.

16.Jak zmienia się średnia, gdy każdą daną zwiększymy lub zmniejszymy?

Gdy do każdej danej dodamy tę samą liczbę, średnia zwiększy się o tę liczbę. Gdy każdą daną pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, średnia też zostanie tak pomnożona lub podzielona. Średnia 20: po dodaniu 1 do każdej danej wynosi 21, a po zmniejszeniu każdej danej o połowę - 10.

17.Kiedy średnia się nie zmienia?

Średnia się nie zmienia, gdy suma danych i liczba danych pozostają takie same. Tak jest np. wtedy, gdy przenosimy część książek z jednej półki na drugą: na jednej półce jest mniej, na drugiej więcej, ale razem tyle samo. Średnia liczba książek na półce zostaje bez zmian.

18.Jak obliczyć nową średnią po dodaniu jednej danej?

Obliczamy starą sumę (średnia razy liczba danych), dodajemy nową daną i dzielimy przez liczbę danych większą o 1. Cztery oceny mają średnią 4, więc ich suma to 16. Po dodaniu szóstki: $\frac{16 + 6}{5} = \frac{22}{5} = 4{,}4$.

19.Jak obliczyć brakującą daną, żeby uzyskać wybraną średnią?

Mnożymy wybraną średnią przez liczbę wszystkich danych - to potrzebna suma. Od niej odejmujemy sumę znanych danych. Oceny 3, 4, 4 i jedna brakująca mają dać średnią 4: potrzebna suma to $4 \cdot 4 = 16$, a znana $3 + 4 + 4 = 11$, więc brakuje oceny $16 - 11 = 5$.

20.Własności średniej arytmetycznej

Średnia leży zawsze między najmniejszą a największą daną. Nie musi być równa żadnej z danych i nie musi być liczbą całkowitą - np. średnia liczba dzieci w rodzinie może wynosić 1,6. Gdy wszystkie dane są równe, średnia jest równa każdej z nich.

21.Jak jedna bardzo duża wartość wpływa na średnią?

Jedna bardzo duża (lub bardzo mała) wartość mocno zmienia średnią. Czterech pracowników zarabia po 4000 zł, a szef - 14 000 zł. Średnia pensja to $\frac{4 \cdot 4000 + 14\,000}{5} = \frac{30\,000}{5} = 6000$ zł, choć aż czterech z pięciu zarabia mniej.

22.Jak przeprowadzić badanie statystyczne?

1. Ustal, co chcesz zbadać. 2. Zbierz dane, np. ankietą, pomiarem albo obserwacją. 3. Uporządkuj dane w tabeli, w razie potrzeby podziel je na kategorie. 4. Przedstaw je na diagramie lub wykresie. 5. Wyciągnij wnioski, np. które wartości są największe, a które najmniejsze.

23.Zliczanie danych kreskami

Każdą obserwację zaznaczamy jedną kreską przy właściwej odpowiedzi. Co piątą kreskę rysujemy w poprzek czterech poprzednich - powstaje paczka 5 kresek, którą łatwo policzyć. Trzy pełne piątki i dwie kreski oznaczają $3 \cdot 5 + 2 = 17$ obserwacji.

24.Tabela liczebności

W tabeli liczebności przy każdej wartości wpisujemy, ile razy wystąpiła. Odpowiedzi na pytanie o liczbę rodzeństwa: 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1. Wartość 0 wystąpiła 2 razy, 1 - 4 razy, 2 - raz, 3 - raz. Suma liczebności (8) to liczba odpowiedzi. Taką tabelę łatwo przedstawić na diagramie słupkowym.

25.Grupowanie danych w kategorie

Gdy danych jest dużo i są różne (np. wzrost w cm), dzielimy je na kategorie, np. 150-154, 155-159, 160-164. Kategorie nie mogą na siebie nachodzić i nie mogą pomijać żadnej wartości - każda dana trafia do dokładnie jednej kategorii. Wzrost 157 cm należy do kategorii 155-159.

26.Jak obliczyć, jaki procent danych należy do kategorii?

Liczbę danych w kategorii dzielimy przez liczbę wszystkich danych i zamieniamy na procent. W kategorii jest 36 z 120 odpowiedzi: $\frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 30\%$.

27.Jak narysować diagram kołowy?

Obliczamy, jaką część całości stanowi każda kategoria, i tę samą część kąta pełnego (360°) bierzemy na wycinek. 30 osób: lato wybrało 15 osób, czyli $\frac{1}{2}$ - wycinek 180°; wiosnę 9 osób, czyli $30\%$ - wycinek 108°; jesień i zimę po 3 osoby, czyli po $10\%$ - wycinki po 36°.

28.Próbka reprezentatywna

Gdy nie da się zbadać wszystkich, statystycy badają tylko część - próbkę reprezentatywną, która dobrze odpowiada całości: osoby w różnym wieku, różnej płci, z różnym wykształceniem i miejscem zamieszkania. Na podstawie odpowiedzi np. około 1000 takich osób wyciąga się wnioski o wszystkich.

29.Kiedy wnioski z badania mogą być błędne?

Wnioski są niepewne, gdy próbka jest bardzo mała, np. kilka osób albo krótki fragment tekstu. Są błędne, gdy próbka nie jest reprezentatywna - np. o ulubiony sport całej szkoły pytamy tylko członków klubu piłkarskiego. Wtedy wynik opisuje tylko tę grupę, a nie wszystkich.

30.Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo to liczba, która mówi, jaka jest szansa zajścia zdarzenia. Moneta ma dwa jednakowo prawdopodobne wyniki: orła i reszkę. Szansa wyrzucenia orła jest jak 1 do 2, więc prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe $\frac{1}{2}$.

31.Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, liczymy: $N$ - liczbę wszystkich możliwych wyników, $n$ - liczbę wyników, które nas interesują. Prawdopodobieństwo to $\frac{n}{N}$. Rzut kostką, parzysta liczba oczek: $N = 6$, $n = 3$ (2, 4, 6), więc $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

32.Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

Zdarzenie pewne zachodzi zawsze - jego prawdopodobieństwo jest równe 1 (np. przy rzucie kostką wypadnie mniej niż 7 oczek). Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi - jego prawdopodobieństwo jest równe 0 (np. wypadnie 7 oczek). Każde prawdopodobieństwo jest liczbą od 0 do 1.

33.Zdarzenie przeciwne

Zdarzenie przeciwne zachodzi wtedy, gdy dane zdarzenie nie zachodzi, np. wyciągnięcie losu przegrywającego jest przeciwne do wyciągnięcia losu wygrywającego. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe $p$, to prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe $1 - p$. Gdy wygrana ma prawdopodobieństwo $\frac{1}{8}$, przegrana ma $\frac{7}{8}$.

34.Jak wypisać wszystkie wyniki rzutu dwiema monetami?

Wypisujemy wyniki obu monet po kolei: OO, OR, RO, RR (O - orzeł, R - reszka). Wyniki OR i RO są różne, bo chodzi o różne monety. Wszystkich wyników jest 4, więc dwie reszki mają prawdopodobieństwo $\frac{1}{4}$, a różne wyniki na monetach - $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

35.Jak obliczyć prawdopodobieństwo przy losowaniu kul?

Liczba wszystkich wyników to liczba wszystkich kul, a liczba interesujących wyników - liczba kul danego koloru. W worku są 3 kule czerwone, 5 niebieskich i 2 zielone. Wszystkich jest 10, więc kula niebieska ma prawdopodobieństwo $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, a kula, która nie jest zielona - $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

36.Prawdopodobieństwo wygranej w loterii

Prawdopodobieństwo wygranej to iloraz liczby losów wygrywających przez liczbę wszystkich losów. Gdy na 50 losów 5 wygrywa, to prawdopodobieństwo wygranej jest równe $\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$. Gdy wszystkie losy wygrywają, wygrana jest zdarzeniem pewnym.

37.Jak liczyć prawdopodobieństwo, gdy część losów już kupiono?

Od wszystkich losów odejmujemy losy kupione, a od wygrywających - kupione wygrywające. Było 40 losów, w tym 8 wygrywających. Kupiono 10 losów, w tym 2 wygrywające. Zostało 30 losów, w tym 6 wygrywających, więc prawdopodobieństwo wygranej wynosi $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.

38.Talia kart

Talia ma 52 karty: po 13 trefli i pików (czarne) oraz po 13 kar i kierów (czerwone). W każdej trzynastce są cztery figury (as, król, dama, walet) i dziewięć kart z liczbami od 2 do 10. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia asa to $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$, a kiera - $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

39.Jak porównać szanse w dwóch losowaniach?

Porównujemy prawdopodobieństwa (ułamki), a nie same liczby kul czy losów. W pierwszym worku są 3 białe kule na 10, a w drugim 5 białych na 20. Choć w drugim jest więcej białych kul, to $\frac{3}{10} = 0{,}3$ jest większe niż $\frac{5}{20} = 0{,}25$, więc większą szansę daje pierwszy worek.

40.Jak liczyć prawdopodobieństwo przy losowaniu liczby?

Najpierw ustalamy, ile jest wszystkich liczb, potem wypisujemy liczby, które nas interesują. Liczb dwucyfrowych jest 90 (od 10 do 99). Suma cyfr równa 4 jest w liczbach 13, 22, 31 i 40, więc prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby to $\frac{4}{90} = \frac{2}{45}$.