Twierdzenie Pitagorasa - Matematyka z plusem 7

1.Przyprostokątne i przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

2.Twierdzenie Pitagorasa (o polach kwadratów)

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej: $P_1 + P_2 = P_3$. Na rysunku przyprostokątne mają długości 3 i 4, więc kwadraty na nich mają pola 9 i 16, a kwadrat na przeciwprostokątnej ma pole $9 + 16 = 25$.

3.Twierdzenie Pitagorasa (o długościach boków)

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $a$, $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna. Na przykład dla boków 3, 4 i 5: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

4.Jak zapisać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta o dowolnych oznaczeniach?

Najpierw znajdź kąt prosty. Kwadrat boku leżącego naprzeciw niego zapisz po jednej stronie równości, a sumę kwadratów dwóch pozostałych boków - po drugiej. W trójkącie DEF z kątem prostym przy E: $DE^2 + EF^2 = DF^2$. Z tej równości wynikają też inne: $DE^2 = DF^2 - EF^2$ oraz $EF^2 = DF^2 - DE^2$.

5.Co matematycy nazywają twierdzeniem?

Twierdzenie to zdanie (np. o figurach lub liczbach), którego prawdziwość została udowodniona. Twierdzeniami są np.: suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°; przekątne prostokąta mają równe długości i przecinają się w połowie.

6.Pitagoras i historia twierdzenia

Pitagoras z Samos żył w VI wieku p.n.e. i założył Związek Pitagorejski - bractwo, które zajmowało się też nauką. Twierdzenie znali już wcześniej Babilończycy, Egipcjanie i Hindusi. Od pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód twierdzenia i jego nazwa.

7.Jak obliczyć przeciwprostokątną?

1. Wykonaj rysunek pomocniczy i oznacz szukany bok przez $x$. 2. Zapisz równość z twierdzenia Pitagorasa: kwadraty przyprostokątnych dodajemy. 3. Oblicz $x$ - bierzemy tylko dodatnie rozwiązanie, bo $x$ to długość odcinka. Przyprostokątne 9 i 12: $9^2 + 12^2 = x^2$, $x^2 = 81 + 144 = 225$, $x = 15$.

8.Jak obliczyć przyprostokątną?

Oznacz szukaną przyprostokątną przez $x$ i zapisz $x^2 + b^2 = c^2$. Potem od kwadratu przeciwprostokątnej odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej: $x^2 = c^2 - b^2$. Przeciwprostokątna 25 i przyprostokątna 7: $x^2 + 7^2 = 25^2$, $x^2 = 625 - 49 = 576$, $x = 24$.

9.Co zrobić, gdy wynik jest pierwiastkiem?

Gdy $x^2$ nie jest kwadratem liczby naturalnej, wynik zostawiamy z pierwiastkiem. Jeśli się da, wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka. Przyprostokątne 2 i 4: $x^2 = 4 + 16 = 20$, $x = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. W przybliżeniu $2\sqrt{5} \approx 4{,}5$.

10.Trójki pitagorejskie

To trzy liczby naturalne $a$, $b$, $c$, dla których $a^2 + b^2 = c^2$. Takie długości mogą mieć boki trójkąta prostokątnego. Najczęściej spotykane: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25. Po pomnożeniu trójki przez tę samą liczbę też dostajemy trójkę, np. 6, 8, 10.

11.Jak uzasadnić twierdzenie Pitagorasa za pomocą kwadratu o boku a + b?

Kwadrat o boku $a + b$ dzielimy na kwadrat o boku $c$ i cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$, $b$. Jego pole liczymy na dwa sposoby: $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ oraz $c^2 + 4 \cdot \frac{ab}{2} = c^2 + 2ab$. Pola są równe, więc $a^2 + b^2 = c^2$.

12.Jak skonstruować kwadrat o polu równym sumie lub różnicy pól dwóch kwadratów?

Suma: rysujemy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równe bokom obu kwadratów. Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej ma pole równe sumie ich pól. Różnica: bok większego kwadratu jest przeciwprostokątną, a bok mniejszego - przyprostokątną. Kwadrat na drugiej przyprostokątnej ma pole równe różnicy pól.

13.Jak skonstruować odcinek o długości pierwiastka?

Liczbę spod pierwiastka zapisz jako sumę kwadratów dwóch liczb, np. $5 = 2^2 + 1^2$. Narysuj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 2 cm i 1 cm - jego przeciwprostokątna ma $\sqrt{5}$ cm. Można też użyć różnicy kwadratów, np. $8 = 3^2 - 1^2$: w trójkącie o przeciwprostokątnej 3 cm i przyprostokątnej 1 cm druga przyprostokątna ma $\sqrt{8}$ cm. Można też doklejać kolejne trójkąty: z przyprostokątnych 1 i 1 powstaje $\sqrt{2}$, z $\sqrt{2}$ i 1 powstaje $\sqrt{3}$, z $\sqrt{3}$ i 1 powstaje 2.

14.Jak obliczyć długość odcinka na kratkach?

Odcinek o końcach w punktach kratowych traktujemy jako przeciwprostokątną. Przyprostokątne biegną wzdłuż linii kratki: liczymy kratki w poziomie i w pionie. Odcinek od $A = (1, 1)$ do $B = (4, 5)$: w poziomie 3 kratki, w pionie 4 kratki, więc $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ i $AB = 5$.

15.Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Boki prostokąta są przyprostokątnymi, a przekątna - przeciwprostokątną: $d^2 = a^2 + b^2$. Prostokąt o bokach 7 i 24: $d^2 = 49 + 576 = 625$, więc $d = 25$.

16.Jak obliczyć pole prostokąta, gdy znasz przekątną i jeden bok?

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugi bok, a potem mnożymy boki. Przekątna 10 i bok 6: $b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$, $b = 8$, a pole $P = 6 \cdot 8 = 48$.

17.Jak obliczyć bok rombu z jego przekątnych?

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Dzielą romb na cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych połowom przekątnych. Bok rombu jest przeciwprostokątną. Przekątne 16 i 12: połowy mają 8 i 6, więc $a^2 = 8^2 + 6^2 = 100$ i $a = 10$.

18.Jak obliczyć drugą przekątną rombu z boku i jednej przekątnej?

Bok rombu to przeciwprostokątna, a połowa znanej przekątnej to przyprostokątna. Obliczamy drugą przyprostokątną i podwajamy ją. Bok 17 i przekątna 30: połowa ma 15, $x^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$, $x = 8$, więc druga przekątna ma $2 \cdot 8 = 16$.

19.Jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego opuszczoną na podstawę?

Ta wysokość dzieli podstawę na połowy i tworzy dwa trójkąty prostokątne: ramię jest przeciwprostokątną, a połowa podstawy i wysokość - przyprostokątnymi. Ramiona 17 i podstawa 16: połowa podstawy to 8, $h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$, $h = 15$. Pole: $P = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120$.

20.Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego?

Wysokości opuszczone z końców krótszej podstawy odcinają od dłuższej podstawy dwa równe odcinki o długości $\frac{a - b}{2}$. Taki odcinek, ramię i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Podstawy 20 i 6, ramiona 25: odcinek ma $\frac{20 - 6}{2} = 7$, $h^2 = 25^2 - 7^2 = 576$, $h = 24$, a pole $P = \frac{(20 + 6) \cdot 24}{2} = 312$.

21.Jak obliczyć ukośne ramię trapezu prostokątnego?

Wysokość poprowadzona z końca krótszej podstawy tworzy trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątne to wysokość i różnica podstaw, a przeciwprostokątna to ukośne ramię. Podstawy 11 i 5, wysokość 8: różnica podstaw to 6, $r^2 = 8^2 + 6^2 = 100$, $r = 10$. Obwód: $11 + 5 + 8 + 10 = 34$.

22.Jak liczyć boki trójkąta podzielonego wysokością?

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej - wysokości. Najpierw w jednym trójkącie obliczamy wysokość, potem w drugim - szukany bok. Bok 10 i odcinek podstawy 6: $h^2 = 100 - 36 = 64$, $h = 8$. Drugi odcinek podstawy 15: $x^2 = 8^2 + 15^2 = 289$, $x = 17$.

23.Jak obliczyć wysokość trójkąta prostokątnego opuszczoną na przeciwprostokątną?

Pole trójkąta liczymy na dwa sposoby: z przyprostokątnych $P = \frac{a \cdot b}{2}$ i z przeciwprostokątnej $P = \frac{c \cdot h}{2}$. Stąd $a \cdot b = c \cdot h$. Przyprostokątne 6 i 8: $c = 10$, więc $10 \cdot h = 48$ i $h = 4{,}8$.

24.Jak rozwiązywać zadania praktyczne z twierdzeniem Pitagorasa?

Wykonaj rysunek pomocniczy i znajdź kąt prosty (np. między ścianą a ziemią, między kierunkami wschód i północ). Ustal, który odcinek jest przeciwprostokątną, i zapisz równość z twierdzenia Pitagorasa. Drabina 6,5 m stoi 2,5 m od ściany: $h^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36$, więc sięga na wysokość 6 m.

25.Przekątna kwadratu

Przekątna dzieli kwadrat o boku $a$ na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, więc $d = a\sqrt{2}$. Kwadrat o boku 7 ma przekątną $7\sqrt{2}$, a kwadrat o boku $5\sqrt{2}$ - przekątną $5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$.

26.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znasz przekątną?

Korzystamy ze wzoru $a\sqrt{2} = d$ i dzielimy obie strony przez $\sqrt{2}$: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$. Przekątna 6: $a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. Sprawdzenie: $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$.

27.Jak zapisać wynik bez pierwiastka w mianowniku?

Licznik i mianownik mnożymy przez ten sam pierwiastek, bo $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ i $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Na przykład $\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ oraz $\frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$.

28.Wysokość trójkąta równobocznego

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny o boku $a$ na dwa jednakowe trójkąty prostokątne o bokach $h$, $\frac{a}{2}$ i $a$. Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$, czyli $h^2 = \frac{3}{4}a^2$. Stąd $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Dla boku 14: $h = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$.

29.Pole trójkąta równobocznego

Do pola wystarczy znać bok: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Dla boku 14: $P = \frac{196\sqrt{3}}{4} = 49\sqrt{3}$.

30.Jak obliczyć bok trójkąta równobocznego, gdy znasz jego wysokość?

Zapisujemy $\frac{a\sqrt{3}}{2} = h$ i wyznaczamy $a$: mnożymy obie strony przez 2 i dzielimy przez $\sqrt{3}$. Wysokość 6: $a\sqrt{3} = 12$, $a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$. Sprawdzenie: $\frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

31.Jak obliczyć bok trójkąta równobocznego, gdy znasz jego pole?

Zapisujemy $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = P$, mnożymy obie strony przez 4 i dzielimy przez $\sqrt{3}$. Otrzymujemy $a^2$, a z niego $a$. Pole $16\sqrt{3}$: $a^2\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$, $a^2 = 64$, $a = 8$.

32.Przybliżone wartości przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego

Przyjmujemy $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ i $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Przekątna kwadratu jest około 1,41 razy dłuższa od boku, a wysokość trójkąta równobocznego ma około 0,87 długości boku. Kwadrat o boku 10 cm ma przekątną około 14,1 cm, a trójkąt równoboczny o boku 10 cm ma wysokość około 8,7 cm.

33.Trójkąt o kątach 90°, 45°, 45°

Jest to trójkąt prostokątny równoramienny - połowa kwadratu przeciętego przekątną. Jeśli przyprostokątna ma długość $a$, to druga przyprostokątna też ma $a$, a przeciwprostokątna ma $a\sqrt{2}$. Na przykład przyprostokątne 5 i 5, przeciwprostokątna $5\sqrt{2}$.

34.Jak obliczyć przyprostokątne trójkąta 90°, 45°, 45°, gdy znasz przeciwprostokątną?

Oznaczamy przyprostokątną przez $x$. Przeciwprostokątna ma $x\sqrt{2}$, więc dzielimy ją przez $\sqrt{2}$. Przeciwprostokątna 10: $x\sqrt{2} = 10$, $x = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.

35.Trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°

Jest to połowa trójkąta równobocznego. Krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta 30°. Jeśli ma długość $b$, to przeciwprostokątna ma $2b$, a dłuższa przyprostokątna (naprzeciw kąta 60°) ma $b\sqrt{3}$. Na przykład dla $b = 5$: przeciwprostokątna 10, dłuższa przyprostokątna $5\sqrt{3}$.

36.Który bok trójkąta 90°, 60°, 30° leży naprzeciw którego kąta?

Naprzeciw kąta 30° leży krótsza przyprostokątna $b$. Naprzeciw kąta 60° leży dłuższa przyprostokątna $b\sqrt{3}$. Naprzeciw kąta prostego leży przeciwprostokątna $2b$ - jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej. Zawsze zaczynamy od ustalenia, który z boków jest dany.

37.Jak obliczyć boki trójkąta 90°, 60°, 30°, gdy znasz dłuższą przyprostokątną?

Krótszą przyprostokątną oznaczamy przez $x$. Dłuższa ma $x\sqrt{3}$, więc dzielimy ją przez $\sqrt{3}$, a przeciwprostokątna to $2x$. Dłuższa przyprostokątna 9: $x\sqrt{3} = 9$, $x = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$, przeciwprostokątna $2x = 6\sqrt{3}$.

38.Jak obliczyć boki trójkąta 90°, 60°, 30°, gdy znasz przeciwprostokątną?

Krótsza przyprostokątna jest połową przeciwprostokątnej, a dłuższa jest $\sqrt{3}$ razy dłuższa od krótszej. Przeciwprostokątna 12: krótsza przyprostokątna $12 : 2 = 6$, dłuższa $6\sqrt{3}$.

39.Jak obliczyć boki trójkąta o kątach 45° i 60° przy podstawie?

Wysokość dzieli go na trójkąt 90°, 45°, 45° i trójkąt 90°, 60°, 30°. Wysokość 6: przy kącie 45° odcinek podstawy ma 6, a bok $6\sqrt{2}$. Przy kącie 60° wysokość jest dłuższą przyprostokątną: odcinek podstawy ma $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$, a bok $4\sqrt{3}$. Podstawa: $6 + 2\sqrt{3}$.

40.Romb o kącie ostrym 60°

Krótsza przekątna dzieli taki romb na dwa trójkąty równoboczne, więc ma długość równą bokowi $a$. Dłuższa przekątna to dwie wysokości trójkąta równobocznego: $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Romb o boku 6 ma przekątne 6 i $6\sqrt{3}$.