Notacja wykładnicza i pierwiastki - Matematyka z plusem 7

1.Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci $a \cdot 10^n$, gdzie $a$ jest liczbą nie mniejszą od 1 i mniejszą od 10 ($1 \le a < 10$), a $10^n$ to potęga liczby 10 o wykładniku całkowitym. Np. $4~700~000 = 4{,}7 \cdot 10^6$, a $0{,}0003 = 3 \cdot 10^{-4}$. Notację wykładniczą nazywamy też notacją naukową.

2.Jak zapisać dużą liczbę w notacji wykładniczej?

Stawiamy przecinek zaraz po pierwszej cyfrze - tak dostajemy pierwszy czynnik, np. $5{,}2$. Wykładnik to liczba cyfr, które stoją za pierwszą cyfrą: $52~000~000 = 5{,}2 \cdot 10^7$, bo za cyfrą 5 jest 7 cyfr. Podobnie $809~000 = 8{,}09 \cdot 10^5$.

3.Jak zamienić liczbę z notacji wykładniczej na zwykły zapis?

Mnożenie przez $10^n$ przesuwa przecinek o $n$ miejsc w prawo, a brakujące miejsca uzupełniamy zerami: $3{,}08 \cdot 10^5 = 308~000$, $7 \cdot 10^4 = 70~000$, $1{,}5 \cdot 10^9 = 1~500~000~000$.

4.Gdy pierwszy czynnik nie jest między 1 a 10

Pierwszy czynnik zapisujemy w notacji wykładniczej i mnożymy potęgi liczby 10, dodając wykładniki: $431 \cdot 10^6 = 4{,}31 \cdot 10^2 \cdot 10^6 = 4{,}31 \cdot 10^8$, $25 \cdot 10^4 = 2{,}5 \cdot 10 \cdot 10^4 = 2{,}5 \cdot 10^5$.

5.Mnożenie liczb w notacji wykładniczej

Mnożymy osobno pierwsze czynniki i osobno potęgi liczby 10 (wykładniki dodajemy): $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5) = 6 \cdot 10^9$. Gdy iloczyn pierwszych czynników nie jest mniejszy od 10, poprawiamy zapis: $(4 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^6) = 20 \cdot 10^9 = 2 \cdot 10^{10}$.

6.Dzielenie liczb w notacji wykładniczej

Dzielimy osobno pierwsze czynniki i osobno potęgi liczby 10 (wykładniki odejmujemy): $(8 \cdot 10^{12}) : (2 \cdot 10^5) = 4 \cdot 10^7$. Gdy iloraz pierwszych czynników jest mniejszy od 1, poprawiamy zapis: $(3 \cdot 10^9) : (6 \cdot 10^4) = 0{,}5 \cdot 10^5 = 5 \cdot 10^4$. Tak obliczamy, ile razy jedna wielkość jest większa od drugiej.

7.Porównywanie liczb w notacji wykładniczej

Najpierw porównujemy wykładniki: większa jest liczba z większym wykładnikiem, np. $1{,}2 \cdot 10^7 > 9{,}9 \cdot 10^6$. Gdy wykładniki są równe, porównujemy pierwsze czynniki: $3{,}4 \cdot 10^8 > 2{,}9 \cdot 10^8$.

8.Zamiana jednostek w notacji wykładniczej

Każdą zamianę jednostki zapisujemy jako potęgę liczby 10 i dodajemy wykładniki: $7{,}2~\mathrm{km} = 7{,}2 \cdot 10^3~\mathrm{m} = 7{,}2 \cdot 10^3 \cdot 10^2~\mathrm{cm} = 7{,}2 \cdot 10^5~\mathrm{cm}$, a $4 \cdot 10^3~\mathrm{t} = 4 \cdot 10^3 \cdot 10^3~\mathrm{kg} = 4 \cdot 10^6~\mathrm{kg}$.

9.Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Dla $a \neq 0$ i liczby naturalnej $n$ przyjmujemy: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Np. $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $4^{-1} = \frac{1}{4}$. Potęga o wykładniku ujemnym nie jest liczbą ujemną.

10.Potęgi liczby 10 o wykładnikach ujemnych

$10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ to ułamek dziesiętny, który ma $n$ cyfr po przecinku, a ostatnia z nich to 1: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-5} = 0{,}00001$. Odwrotnie: $0{,}0001 = 10^{-4}$.

11.Jak zapisać małą liczbę w notacji wykładniczej?

Przesuwamy przecinek w prawo, aż stanie zaraz za pierwszą cyfrą różną od zera. Liczba miejsc, o które go przesunęliśmy, to wykładnik ze znakiem minus: $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$, $0{,}06 = 6 \cdot 10^{-2}$, $0{,}0000071 = 7{,}1 \cdot 10^{-6}$.

12.Jak zamienić liczbę z ujemnym wykładnikiem na ułamek dziesiętny?

Mnożenie przez $10^{-n}$ przesuwa przecinek o $n$ miejsc w lewo, a brakujące miejsca uzupełniamy zerami: $6{,}1 \cdot 10^{-5} = 0{,}000061$, $2 \cdot 10^{-3} = 0{,}002$, $4{,}75 \cdot 10^{-2} = 0{,}0475$.

13.Poprawianie zapisu z ujemnym wykładnikiem

Pierwszy czynnik zapisujemy w notacji wykładniczej i dodajemy wykładniki, pilnując znaków: $520 \cdot 10^{-9} = 5{,}2 \cdot 10^2 \cdot 10^{-9} = 5{,}2 \cdot 10^{2 + (-9)} = 5{,}2 \cdot 10^{-7}$, $0{,}08 \cdot 10^{-3} = 8 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3} = 8 \cdot 10^{-5}$.

14.Zamiana mniejszych jednostek na większe

Korzystamy z potęg liczby 10 o wykładnikach ujemnych: $1~\mathrm{cm} = 10^{-2}~\mathrm{m}$, $1~\mathrm{mm} = 10^{-3}~\mathrm{m}$, $1~\mathrm{g} = 10^{-3}~\mathrm{kg}$. Np. $250~\mathrm{g} = 2{,}5 \cdot 10^2 \cdot 10^{-3}~\mathrm{kg} = 2{,}5 \cdot 10^{-1}~\mathrm{kg}$, a $8~\mathrm{mm} = 8 \cdot 10^{-3}~\mathrm{m}$.

15.Mnożenie i dzielenie w notacji wykładniczej z ujemnymi wykładnikami

Stosujemy te same wzory co dla wykładników naturalnych: $(2 \cdot 10^{-3}) \cdot (4 \cdot 10^{-5}) = 8 \cdot 10^{-8}$, $(6 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^{-8}) = 18 \cdot 10^{-3} = 1{,}8 \cdot 10^{-2}$, $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-7}) = 3 \cdot 10^{-4 - (-7)} = 3 \cdot 10^3$.

16.Dodawanie i odejmowanie liczb w notacji wykładniczej

Najpierw sprowadzamy liczby do tej samej potęgi liczby 10, potem dodajemy albo odejmujemy pierwsze czynniki: $2{,}5 \cdot 10^7 + 4 \cdot 10^6 = 2{,}5 \cdot 10^7 + 0{,}4 \cdot 10^7 = 2{,}9 \cdot 10^7$, $6{,}1 \cdot 10^5 - 2{,}3 \cdot 10^5 = 3{,}8 \cdot 10^5$. Przy dodawaniu wykładników nie dodajemy.

17.Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy $a$. Zapisujemy go $\sqrt{a}$, a $a$ to liczba podpierwiastkowa. Np. $\sqrt{64} = 8$, bo $8^2 = 64$; $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$; $\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$. Na rysunku: kwadrat o polu 64 ma bok $\sqrt{64} = 8$.

18.Kiedy pierwiastek kwadratowy nie istnieje?

Liczba podpierwiastkowa pierwiastka kwadratowego nie może być ujemna, bo kwadrat każdej liczby jest nieujemny - zapis $\sqrt{-9}$ nie oznacza żadnej liczby. Wynik też jest nieujemny: $\sqrt{49} = 7$, a nie $-7$, choć $(-7)^2 = 49$. Pierwiastek kwadratowy nazywamy też pierwiastkiem drugiego stopnia.

19.Pierwiastek z liczby mieszanej i z ułamka dziesiętnego

Liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ (a nie $2\frac{1}{2}$). Przy ułamku dziesiętnym sprawdzamy kwadrat: $\sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$, bo $0{,}04^2 = 0{,}0016$.

20.Kolejność działań z pierwiastkami

Zapis $3\sqrt{16}$ oznacza iloczyn $3 \cdot \sqrt{16}$. Pierwiastek obliczamy przed mnożeniem i dodawaniem: $3\sqrt{16} + \sqrt{9} = 3 \cdot 4 + 3 = 15$. Gdy pod pierwiastkiem jest działanie, wykonujemy je najpierw: $\sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$, a nie $10 - 6 = 4$.

21.Szacowanie pierwiastka

Szukamy kwadratów kolejnych liczb naturalnych, między którymi leży liczba podpierwiastkowa: $36 < 40 < 49$, więc $6 < \sqrt{40} < 7$. Podobnie $4 < \sqrt[3]{100} < 5$, bo $64 < 100 < 125$. Na osi $\sqrt{40}$ leży między 6 a 7.

22.Liczby niewymierne

Rozwinięcie dziesiętne liczby $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ jest nieskończone i nieokresowe, więc $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną - nie da się jej zapisać w postaci ułamka. Niewymierne są pierwiastki z liczb naturalnych, które nie są kwadratami liczb naturalnych ($\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$), a także np. $2\sqrt{5}$ i $1 + \sqrt{2}$. Przybliżenia: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

23.Jak znaleźć kolejne cyfry rozwinięcia pierwiastka?

Szukamy liczb, których kwadraty są tuż poniżej i tuż powyżej liczby podpierwiastkowej. Dla $\sqrt{5}$: $2{,}2^2 = 4{,}84 < 5 < 5{,}29 = 2{,}3^2$, więc $\sqrt{5} = 2{,}2\ldots$; potem $2{,}23^2 = 4{,}9729 < 5 < 5{,}0176 = 2{,}24^2$, więc $\sqrt{5} = 2{,}23\ldots$

24.Pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny (trzeciego stopnia) z dowolnej liczby $a$ to taka liczba, której trzecia potęga jest równa $a$. Liczba podpierwiastkowa może być ujemna: $\sqrt[3]{343} = 7$, $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$, $\sqrt[3]{-1000} = -10$. Minus można wyłączyć przed pierwiastek: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. Na rysunku: sześcian o objętości 343 ma krawędź 7.

25.Kwadraty i sześciany, które warto znać

Kwadraty: $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$, $15^2 = 225$. Sześciany: $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $10^3 = 1000$. Dzięki nim od razu wiemy, że np. $\sqrt{196} = 14$, a $\sqrt[3]{125} = 5$.

26.Pierwiastek z kwadratu i kwadrat pierwiastka

Dla nieujemnej liczby $a$: $\sqrt{a^2} = a$, $(\sqrt{a})^2 = a$ i $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$. Dla dowolnej liczby $a$: $\sqrt[3]{a^3} = a$, $(\sqrt[3]{a})^3 = a$ i $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a$. Np. $(\sqrt{11})^2 = 11$, $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, $(\sqrt[3]{-4})^3 = -4$.

27.Potęgowanie i mnożenie wyrażeń z pierwiastkiem

Do potęgi podnosimy każdy czynnik: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$, $(2\sqrt[3]{3})^3 = 2^3 \cdot 3 = 24$. Przy mnożeniu łączymy jednakowe pierwiastki: $\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 4 \cdot 5 = 20$.

28.Pierwiastek z potęgi

Potęgę pod pierwiastkiem zapisujemy jako kwadrat albo sześcian innej potęgi: $\sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25$, $\sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8$, $\sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$.

29.Dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami

Jednakowe pierwiastki dodajemy jak wyrazy podobne: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$, $4\sqrt{5} - 1 + 3 - \sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 2$. Różnych pierwiastków nie łączymy: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ to nie $\sqrt{5}$, a $\sqrt{2}$ i $\sqrt[3]{2}$ też zostają osobno.

30.Dzielenie sumy z pierwiastkiem przez liczbę

Przez liczbę dzielimy każdy składnik sumy: $\frac{10 - 4\sqrt{7}}{2} = \frac{10}{2} - \frac{4\sqrt{7}}{2} = 5 - 2\sqrt{7}$. Jednakowe pierwiastki w liczniku i mianowniku skracamy: $\frac{\sqrt[3]{5} + 5\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{5}} = \frac{6\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{5}} = 2$.

31.Mnożenie sumy przez pierwiastek

Każdy składnik sumy mnożymy przez pierwiastek: $\sqrt{3}(4 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 3$. Dwie sumy mnożymy, mnożąc każdy składnik pierwszej przez każdy składnik drugiej: $(1 + \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2 = 5 + 4\sqrt{2}$.

32.Pierwiastek z iloczynu

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ dla $a \ge 0$ i $b \ge 0$, a $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ dla dowolnych $a$ i $b$. Ułatwia to obliczenia: $\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = 6 \cdot 10 = 60$, $\sqrt[3]{64~000} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{1000} = 4 \cdot 10 = 40$.

33.Pierwiastek z ilorazu

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dla $a \ge 0$ i $b > 0$, a $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ dla $b \neq 0$. Ułamek dziesiętny zamieniamy na zwykły: $\sqrt{0{,}49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{7}{10} = 0{,}7$, $\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$.

34.Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Liczbę podpierwiastkową zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik to kwadrat (przy pierwiastku sześciennym - sześcian) liczby naturalnej, najlepiej największy. $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$, $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[3]{-40} = -\sqrt[3]{8 \cdot 5} = -2\sqrt[3]{5}$.

35.Wyłączanie czynnika z pomocą rozkładu na czynniki pierwsze

Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze i łączymy je w pary (przy pierwiastku sześciennym - w trójki). Z każdej pary jeden czynnik wychodzi przed pierwiastek: $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$, więc $\sqrt{180} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$. Podobnie $2000 = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 2$, więc $\sqrt[3]{2000} = 10\sqrt[3]{2}$.

36.Pierwiastek z wyrażenia z literami

Zakładamy, że litery oznaczają liczby dodatnie. Pierwiastek obliczamy z każdego czynnika: $\sqrt{9x^2} = 3x$, $\sqrt{x^8} = x^4$, bo $(x^4)^2 = x^8$, a $\sqrt[3]{8x^6} = 2x^2$, bo $(2x^2)^3 = 8x^6$.

37.Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

Mnożymy albo dzielimy liczby podpierwiastkowe: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$, $\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$, $\sqrt{72} : \sqrt{2} = \sqrt{36} = 6$, $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{64} = 4$. Na rysunku: prostokąt o bokach $\sqrt{18}$ i $\sqrt{2}$ ma pole 6.

38.Upraszczanie sumy pierwiastków po wyłączeniu czynnika

Najpierw wyłączamy czynniki przed pierwiastki, a potem dodajemy jednakowe pierwiastki: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

39.Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Liczbę przed pierwiastkiem kwadratowym podnosimy do kwadratu i wpisujemy pod pierwiastek: $3\sqrt{6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{54}$. Przy pierwiastku sześciennym podnosimy ją do sześcianu: $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$.

40.Porównywanie liczb z pierwiastkami

Włączamy czynniki pod pierwiastek i porównujemy liczby podpierwiastkowe: $4\sqrt{2} = \sqrt{32}$, a $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, więc $4\sqrt{2} > 3\sqrt{3}$. Większy jest pierwiastek z większej liczby.