Potęgi i działania na potęgach - Matematyka z plusem 7

1.Potęga liczby

Iloczyn $n$ jednakowych czynników równych $a$ zapisujemy krótko jako $a^n$ i nazywamy potęgą liczby $a$ o wykładniku $n$. Liczba $a$ to podstawa potęgi, a $n$ to wykładnik potęgi, czyli liczba czynników. Np. $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81$: podstawa to 3, a wykładnik to 4.

2.Jak czytamy potęgi? Kwadrat i sześcian liczby

$5^2$ czytamy: pięć do potęgi drugiej, a $2^7$ - dwa do potęgi siódmej. Potęgę o wykładniku 2 nazywamy też kwadratem liczby, a o wykładniku 3 - sześcianem liczby. Np. $5^2 = 25$ to kwadrat liczby 5, a $4^3 = 64$ to sześcian liczby 4.

3.Potęga o wykładniku 1 i o wykładniku 0

Przyjmujemy, że $a^1 = a$ oraz $a^0 = 1$ dla $a \neq 0$. Np. $9^1 = 9$, $\left(-\frac{2}{3}\right)^1 = -\frac{2}{3}$, $15^0 = 1$, $(-4{,}2)^0 = 1$. Zapis $0^0$ nie oznacza żadnej liczby.

4.Jak obliczyć potęgę ułamka dziesiętnego?

Zapisujemy iloczyn jednakowych czynników i mnożymy. Liczba cyfr po przecinku w wyniku jest równa liczbie cyfr po przecinku w podstawie razy wykładnik. Np. $0{,}2^3 = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008$ (3 cyfry po przecinku), $0{,}5^2 = 0{,}25$, $1{,}1^2 = 1{,}21$.

5.Potęga ułamka zwykłego i liczby mieszanej

Do potęgi podnosimy licznik i mianownik: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $\left(1\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

6.Znak potęgi liczby ujemnej

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią, a o wykładniku nieparzystym - liczbą ujemną. Np. $(-2)^4 = 16$, ale $(-2)^3 = -8$; $(-1)^{10} = 1$, a $(-1)^7 = -1$. Dlatego $(-3)^6 = 3^6$, a $(-3)^5 = -3^5$.

7.Gdzie jest nawias? $(-3)^2$ a $-3^2$

Nawias pokazuje, co podnosimy do potęgi. $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, a $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$, bo do potęgi podnosimy tylko 3. Tak samo $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$, ale $\frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$, bo tu do potęgi podnosimy tylko licznik.

8.Potęgi liczby 10 i liczby 0,1

$10^n$ to jedynka i $n$ zer: $10^4 = 10~000$, $10^6 = 1~000~000$. $0{,}1^n$ ma $n$ cyfr po przecinku, a ostatnia z nich to 1: $0{,}1^3 = 0{,}001$. Podobnie $100^2 = 10~000$, a $0{,}01^2 = 0{,}0001$.

9.Porównywanie potęg o tej samej podstawie większej od 1

Jeśli dwie potęgi mają tę samą podstawę większą od 1, to większa jest ta, która ma większy wykładnik. Np. $3^5 > 3^4$, bo $243 > 81$, oraz $1{,}5^8 > 1{,}5^6$. Kolejne potęgi takiej liczby szybko rosną, np. potęgi liczby 2 to: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

10.Porównywanie potęg o tej samej podstawie dodatniej mniejszej od 1

Jeśli dwie potęgi mają tę samą podstawę dodatnią, ale mniejszą od 1, to większa jest ta, która ma mniejszy wykładnik. Np. $0{,}4^3 > 0{,}4^5$ oraz $\left(\frac{1}{2}\right)^2 > \left(\frac{1}{2}\right)^3$, bo $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$. Na osi liczbowej kolejne potęgi liczby $\frac{1}{2}$ są coraz bliżej zera.

11.Kolejność działań z potęgami

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Np. $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$, a $(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$; $20 - 2^4 = 20 - 16 = 4$.

12.Iloczyn potęg o tych samych podstawach

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ - podstawa się nie zmienia, wykładniki dodajemy. Np. $3^2 \cdot 3^4 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^6$, bo razem jest 6 czynników. Tak samo $x^5 \cdot x^3 = x^8$.

13.Iloraz potęg o tych samych podstawach

$a^m : a^n = a^{m-n}$ dla $a \neq 0$ - podstawa się nie zmienia, wykładniki odejmujemy. Np. $5^7 : 5^3 = 5^{7-3} = 5^4 = 625$, bo trzy czynniki 5 z dzielnej skracają się z trzema czynnikami dzielnika. Iloraz można zapisać kreską ułamkową: $\frac{x^9}{x^2} = x^7$.

14.Mnożenie potęg liczb przeciwnych, np. $(-3)^5 \cdot 3^2$

Najpierw ustalamy znak potęgi liczby ujemnej, a potem stosujemy wzór. $(-3)^5 = -3^5$, więc $(-3)^5 \cdot 3^2 = -3^5 \cdot 3^2 = -3^7$. Gdy podstawa jest ta sama, wzór działa od razu: $(-4)^6 \cdot (-4)^3 = (-4)^9 = -4^9$.

15.Jak zapisać liczbę jako potęgę, żeby użyć wzoru?

Gdy jedna z liczb nie jest potęgą, zapisujemy ją jako potęgę tej samej podstawy: $8 \cdot 2^5 = 2^3 \cdot 2^5 = 2^8$, $81 : 3^2 = 3^4 : 3^2 = 3^2$. Liczba jest swoją pierwszą potęgą: $7^5 \cdot 7 = 7^5 \cdot 7^1 = 7^6$.

16.Ile razy jedna potęga jest większa od drugiej?

Dzielimy większą liczbę przez mniejszą. $3^{10} : 3^6 = 3^4 = 81$, więc $3^{10}$ jest 81 razy większa od $3^6$ (a nie 4 razy). Tak samo połowa liczby $2^{12}$ to $2^{12} : 2 = 2^{11}$.

17.Nazwy dużych liczb jako potęgi liczby 10

Tysiąc to $10^3$, milion - $10^6$, miliard - $10^9$, bilion - $10^{12}$, trylion - $10^{18}$, a googol - $10^{100}$. Wykładnik to liczba zer po jedynce. Np. sto milionów to $10^2 \cdot 10^6 = 10^8$.

18.Zamiana jednostek za pomocą potęg liczby 10

Zapisujemy kolejne zamiany jako potęgi liczby 10 i mnożymy je, dodając wykładniki. $1~\mathrm{km} = 10^3~\mathrm{m}$ i $1~\mathrm{m} = 10^2~\mathrm{cm}$, więc $1~\mathrm{km} = 10^3 \cdot 10^2~\mathrm{cm} = 10^5~\mathrm{cm}$. Podobnie $1~\mathrm{t} = 10^3~\mathrm{kg} = 10^3 \cdot 10^3~\mathrm{g} = 10^6~\mathrm{g}$.

19.Potęgowanie potęgi

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ - podstawa się nie zmienia, wykładniki mnożymy. Np. $(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2} = 5^6$. Tak samo $(x^4)^5 = x^{20}$.

20.Nawias przy potęgowaniu potęgi

$(2^3)^2$ i $2^{3^2}$ to różne liczby. $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$. W zapisie $2^{3^2}$ najpierw obliczamy wykładnik: $3^2 = 9$, więc $2^{3^2} = 2^9 = 512$.

21.Potęgowanie potęgi liczby ujemnej i kilka potęgowań

Wykładniki mnożymy, a znak ustalamy z parzystości nowego wykładnika: $((-2)^3)^3 = (-2)^9 = -2^9$, $((-0{,}5)^2)^5 = (-0{,}5)^{10} = 0{,}5^{10}$. Przy kilku potęgowaniach mnożymy wszystkie wykładniki: $((x^2)^3)^4 = x^{24}$.

22.Jak zapisać potęgę jako potęgę o mniejszej podstawie?

Podstawę zapisujemy jako potęgę mniejszej liczby i stosujemy wzór na potęgowanie potęgi: $16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$, $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$, $100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}$.

23.Porównywanie potęg o różnych podstawach

Zapisujemy obie liczby jako potęgi tej samej podstawy i porównujemy wykładniki. $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$, a $4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}$, więc $4^8 > 8^5$. Gdy wspólna podstawa jest dodatnia i mniejsza od 1, jest odwrotnie: $\left(\frac{1}{4}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} < \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \left(\frac{1}{8}\right)^3$.

24.Zamiana jednostek pola

Zamianę jednostki długości podnosimy do kwadratu. $1~\mathrm{m} = 10^2~\mathrm{cm}$, więc $1~\mathrm{m^2} = (10^2)^2~\mathrm{cm^2} = 10^4~\mathrm{cm^2}$. $1~\mathrm{km} = 10^3~\mathrm{m}$, więc $1~\mathrm{km^2} = (10^3)^2~\mathrm{m^2} = 10^6~\mathrm{m^2}$.

25.Potęga iloczynu

Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Np. $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$, i rzeczywiście $10^3 = 1000$. Tak samo $(3 \cdot 10)^2 = 3^2 \cdot 10^2 = 900$.

26.Potęga ilorazu

Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ dla $b \neq 0$, czyli też $(a : b)^n = a^n : b^n$. Np. $\left(\frac{3}{10}\right)^3 = \frac{3^3}{10^3} = \frac{27}{1000} = 0{,}027$.

27.Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach

Wzór na potęgę iloczynu stosujemy od drugiej strony: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Opłaca się, gdy iloczyn podstaw jest prosty: $4^5 \cdot 25^5 = (4 \cdot 25)^5 = 100^5 = 10^{10}$, $0{,}5^7 \cdot 2^7 = (0{,}5 \cdot 2)^7 = 1^7 = 1$.

28.Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach

$a^n : b^n = (a : b)^n$ dla $b \neq 0$. Najpierw dzielimy podstawy, potem potęgujemy: $15^4 : 5^4 = (15 : 5)^4 = 3^4 = 81$, $\frac{36^3}{12^3} = \left(\frac{36}{12}\right)^3 = 3^3 = 27$.

29.Potęga jednomianu, np. $(-2a)^3$

Do potęgi podnosimy każdy czynnik: liczbę, każdą literę i znak minus. $(3x)^2 = 9x^2$, $(-2a)^3 = -8a^3$, $(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3b^6$, $(-xy)^4 = x^4y^4$.

30.Potęgi liczb zakończonych zerami, np. $300^2$

Liczbę zapisujemy jako iloczyn i do potęgi podnosimy każdy czynnik: $300^2 = (3 \cdot 10^2)^2 = 9 \cdot 10^4 = 90~000$, $20^5 = 2^5 \cdot 10^5 = 3~200~000$. Wynik ma tyle zer, ile zer ma podstawa, pomnożone przez wykładnik.

31.Jak zmienia się pole kwadratu i objętość sześcianu, gdy bok wydłużymy?

Gdy bok kwadratu wydłużymy 5 razy, pole wyniesie $(5a)^2 = 25a^2$, czyli wzrośnie 25 razy. Gdy krawędź sześcianu wydłużymy 3 razy, objętość wyniesie $(3x)^3 = 27x^3$, czyli wzrośnie 27 razy. Na rysunku sześcian o krawędzi $3x$.

32.Pięć wzorów działań na potęgach

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $a^m : a^n = a^{m-n}$ dla $a \neq 0$; $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$; $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$; $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ dla $b \neq 0$. Dwa pierwsze wzory dotyczą potęg o tej samej podstawie, a dwa ostatnie - potęg o tym samym wykładniku.

33.Upraszczanie: sprowadzanie do jednej podstawy

Zapisujemy wszystkie liczby jako potęgi tej samej podstawy, a potem stosujemy wzory: $\frac{9^4}{3^5} = \frac{(3^2)^4}{3^5} = \frac{3^8}{3^5} = 3^3 = 27$. Tak samo $4^3 \cdot 8 = (2^2)^3 \cdot 2^3 = 2^6 \cdot 2^3 = 2^9$.

34.Upraszczanie: rozkład podstawy na iloczyn

Gdy podstawy są różne, rozkładamy podstawę na iloczyn i stosujemy wzór na potęgę iloczynu: $\frac{12^3}{4^4} = \frac{(3 \cdot 4)^3}{4^4} = \frac{3^3 \cdot 4^3}{4^3 \cdot 4} = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$. Podobnie $\frac{6^5}{2^5 \cdot 3^3} = \frac{2^5 \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^3} = 3^2 = 9$.

35.Szacowanie dużych potęg liczby 2

Korzystamy z tego, że $2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3$. Wtedy $2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9$, czyli około miliarda. Tak samo $2^{40} \approx 10^{12}$. Oszacowanie jest trochę mniejsze od prawdziwej wartości, bo $1024 > 1000$.

36.Przedrostki jednostek jako potęgi liczby 10

Przedrostek mówi, ile razy jednostka jest większa od podstawowej: deka- to $10$, hekto- $10^2$, kilo- $10^3$, mega- $10^6$, giga- $10^9$, tera- $10^{12}$. Np. $1~\mathrm{Mg} = 10^6~\mathrm{g}$, a $1~\mathrm{Tm} = 10^{12}~\mathrm{m} = 10^9~\mathrm{km}$.

37.Ile zer ma na końcu iloczyn potęg 2 i 5?

Łączymy w pary czynniki 2 i 5, bo $2 \cdot 5 = 10$. $2^4 \cdot 5^6 = 2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^2 = 10^4 \cdot 25 = 250~000$, więc ta liczba ma na końcu 4 zera. W takim iloczynie zer jest tyle, ile wynosi mniejszy z wykładników.

38.Iloczyn potęg liczb pierwszych

Każdą podstawę rozkładamy na czynniki pierwsze i łączymy potęgi o tych samych podstawach: $6^3 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

39.Suma jednakowych potęg

Przy dodawaniu potęg nie dodajemy wykładników. Sumę jednakowych potęg zamieniamy na mnożenie: $2^7 + 2^7 = 2 \cdot 2^7 = 2^8$, $4^3 + 4^3 + 4^3 + 4^3 = 4 \cdot 4^3 = 4^4$. Błędem jest zapis $2^7 + 2^7 = 2^{14}$.