Procenty w zadaniach i przekształcanie wzorów - Matematyka z plusem 7

1.Jak zapisać p% liczby x?

Procent to setna część, więc $p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100} \cdot x$. Na przykład $15\%$ liczby $x$ to $0{,}15x$, $80\%$ to $0{,}8x$, a $5\%$ to $0{,}05x$. Na rysunku zamalowano 3 z 20 równych części, czyli $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\%$ całości.

2.Jak zapisać liczbę o p% większą lub o p% mniejszą od x?

Liczba o $15\%$ mniejsza od $x$ to $x - 0{,}15x = 0{,}85x$, a liczba o $10\%$ większa od $x$ to $x + 0{,}1x = 1{,}1x$. Zdanie „Liczba 30 jest o $20\%$ większa od $x$” zapisujemy $1{,}2x = 30$, więc $x = 25$.

3.Jak obliczyć liczbę, gdy znamy jej procent?

Szukaną liczbę oznaczamy $x$ i układamy równanie. Wiadomo, że $40\%$ liczby to 18: $0{,}4x = 18$, więc $x = 18 : 0{,}4 = 45$. Sprawdzenie: $0{,}4 \cdot 45 = 18$.

4.Jak ułożyć równanie, gdy dwie wielkości razem dają sumę, a jedna jest o p% mniejsza?

Większą wielkość oznaczamy $x$, a mniejszą zapisujemy jako procent $x$. Dwa sady mają razem 70 drzew, a w mniejszym jest o $25\%$ drzew mniej niż w większym: $x + 0{,}75x = 70$, $1{,}75x = 70$, $x = 40$. W mniejszym sadzie jest 30 drzew.

5.Jak opisać zmiany dwóch cen za pomocą tabeli?

Oznaczamy literą jedną cenę i opisujemy pozostałe ceny za jej pomocą. W tabeli w wierszach piszemy ceny przed zmianą i po zmianie, a w kolumnach - rzeczy. Kurtka kosztowała $x$ zł, spodnie o 100 zł mniej. Kurtkę przeceniono o $25\%$, spodnie podrożały o $25\%$ i kosztowały tyle samo: $0{,}75x = 1{,}25(x - 100)$, $0{,}75x = 1{,}25x - 125$, $x = 250$. Kurtka kosztowała 250 zł, spodnie 150 zł.

6.Kolejne zmiany ceny: o procent i o kwotę

Kolejność zmian ma znaczenie. Obniżka o $10\%$, a potem o 50 zł daje cenę $0{,}9x - 50$. Obniżka o 50 zł, a potem o $10\%$ daje $0{,}9(x - 50)$, bo procent liczymy od ceny już obniżonej. Gdy w pierwszym przypadku towar tanieje razem o 130 zł: $0{,}9x - 50 = x - 130$, $x = 800$ zł.

7.Jak zapisać zysk i stratę w procentach?

Sprzedaż z zyskiem $p\%$ daje $(100 + p)\%$ ceny zakupu, a sprzedaż ze stratą $p\%$ daje $(100 - p)\%$ ceny zakupu. Towar kupiony za $x$ zł sprzedany z zyskiem $20\%$ kosztuje $1{,}2x$, a ze stratą $5\%$ - $0{,}95x$. Sam zysk to $0{,}2x$, a sama strata - $0{,}05x$.

8.Ile elementów dodać, aby stanowiły p% całości?

Dodane elementy zwiększają też całość. W klasie jest 20 chłopców. Ile dziewcząt musi dołączyć, aby stanowiły $20\%$ klasy? $x = 0{,}2(20 + x)$, $x = 4 + 0{,}2x$, $0{,}8x = 4$, $x = 5$. Sprawdzenie: 5 z 25 osób to $20\%$.

9.Ile elementów usunąć, aby stanowiły p% całości?

Usunięte elementy zmniejszają też całość. W pudełku jest 30 zielonych i 10 czerwonych kredek. Ile zielonych wyjąć, aby stanowiły $50\%$ kredek? $30 - x = 0{,}5(40 - x)$, $30 - x = 20 - 0{,}5x$, $0{,}5x = 10$, $x = 20$. Zostaje 10 zielonych z 20 kredek.

10.Roztwór, syrop, solanka

Po rozpuszczeniu pewnej substancji w wodzie otrzymujemy roztwór. Syrop to roztwór cukru, a solanka to roztwór soli. Masa roztworu to masa rozpuszczonej substancji i masa wody razem: 1 kg soli w 9 kg wody daje 10 kg solanki.

11.Roztwór pięcioprocentowy

Roztwór jest pięcioprocentowy, gdy masa rozpuszczonej substancji stanowi $5\%$ masy całego roztworu: $s = 0{,}05 \cdot r$ ($s$ - masa rozpuszczonej substancji, $r$ - masa roztworu). W 60 kg solanki pięcioprocentowej są $0{,}05 \cdot 60 = 3$ kg soli. Na rysunku sól to 1 z 20 równych części, czyli $5\%$.

12.Jak obliczyć, jaki procent roztworu stanowi substancja?

Masę substancji dzielimy przez masę całego roztworu, a nie przez masę wody. 2 kg cukru rozpuszczone w 6 kg wody dają 8 kg syropu: $\frac{2}{8} = 0{,}25 = 25\%$. Iloraz $\frac{2}{6}$ byłby błędem, bo 6 kg to tylko woda.

13.Dolewanie wody do roztworu

Gdy dolewamy wody, masa substancji się nie zmienia, a masa roztworu rośnie o masę dolanej wody. 30 kg solanki pięcioprocentowej zawiera $0{,}05 \cdot 30 = 1{,}5$ kg soli. Aby otrzymać solankę trzyprocentową: $1{,}5 = 0{,}03(30 + x)$, $50 = 30 + x$, $x = 20$ kg wody.

14.Jak pozbyć się ułamków dziesiętnych w równaniu z procentami?

Mnożymy obie strony przez 100. Każdą stronę mnożymy jeden raz: przy iloczynie mnożymy tylko jeden czynnik, np. tylko liczbę przed nawiasem. $0{,}08 \cdot 15 = 0{,}05(15 + x) \quad | \cdot 100$ daje $8 \cdot 15 = 5(15 + x)$, czyli $120 = 75 + 5x$ i $x = 9$.

15.Dosypywanie substancji do roztworu

Gdy dosypujemy $x$ kg substancji, rośnie i masa substancji, i masa roztworu - obie o $x$. 8 kg solanki dziesięcioprocentowej zawiera $0{,}8$ kg soli. Aby otrzymać solankę dwudziestoprocentową: $0{,}8 + x = 0{,}2(8 + x)$, $0{,}8 + x = 1{,}6 + 0{,}2x$, $0{,}8x = 0{,}8$, $x = 1$ kg soli.

16.Odparowanie wody z roztworu

Gdy odparowujemy wodę, masa substancji się nie zmienia, a masa roztworu maleje. 20 kg solanki trzyprocentowej zawiera $0{,}6$ kg soli. Aby otrzymać solankę pięcioprocentową: $0{,}6 = 0{,}05(20 - x)$, $12 = 20 - x$, $x = 8$ kg odparowanej wody.

17.Prędkość średnia

Prędkość średnia $v$ to iloraz przebytej drogi przez czas, w jakim została przebyta: $v = \frac{s}{t}$ ($s$ - droga, $t$ - czas). Samochód, który przejechał 150 km w 2 h, jechał ze średnią prędkością $\frac{150}{2} = 75~\mathrm{km/h}$.

18.Jak wyznaczyć drogę i czas ze wzoru $v = \frac{s}{t}$?

Mnożymy obie strony przez $t$ (wolno, bo $t \neq 0$): $v \cdot t = s$, czyli $s = v \cdot t$. Potem dzielimy obie strony przez $v$ (wolno, bo $v \neq 0$): $t = \frac{s}{v}$. Przy prędkości $60~\mathrm{km/h}$ drogę 150 km pokonamy w czasie $\frac{150}{60} = 2{,}5$ h.

19.Co wolno robić, przekształcając wzór?

Postępujemy jak przy rozwiązywaniu równań: do obu stron równości dodajemy (lub od nich odejmujemy) to samo wyrażenie, a obie strony mnożymy (lub dzielimy) przez to samo wyrażenie, zakładając, że jest ono różne od zera. Możemy też przenosić wyrażenia na drugą stronę równości, zmieniając ich znak na przeciwny.

20.Jak wyznaczyć wielkość ze wzoru z sumą?

Ze wzoru $p = k + 4m$ wyznaczamy $m$. Od obu stron odejmujemy $k$: $p - k = 4m$. Obie strony dzielimy przez 4: $\frac{p - k}{4} = m$. Zamieniamy strony równości, żeby wzór był wygodniejszy do odczytania: $m = \frac{p - k}{4}$.

21.Jak wyznaczyć wielkość, która jest czynnikiem iloczynu?

Dzielimy obie strony przez pozostałe czynniki. Ze wzoru na energię potencjalną $E = m \cdot g \cdot h$ otrzymujemy $m = \frac{E}{g \cdot h}$. Ze wzoru na pole prostokąta $P = a \cdot b$ otrzymujemy $b = \frac{P}{a}$.

22.Jak wyznaczyć wielkość z mianownika?

Najpierw mnożymy obie strony przez mianownik, potem dzielimy. Ze wzoru na ciśnienie $p = \frac{F}{S}$: $p \cdot S = F$, więc $S = \frac{F}{p}$. Tak samo ze wzoru na gęstość $d = \frac{m}{V}$ otrzymujemy $V = \frac{m}{d}$.

23.Jak wyznaczyć wielkość z licznika ułamka?

Mnożymy obie strony przez mianownik, a potem dzielimy przez pozostałe czynniki licznika. Ze wzoru $M = \frac{c \cdot y}{d}$ wyznaczamy $y$: $M \cdot d = c \cdot y$, więc $y = \frac{M \cdot d}{c}$.

24.Wzór $E = mc^2$

Wzór $E = mc^2$ opisuje związek między całkowitą energią ciała $E$, jego masą $m$ i prędkością światła $c$. Odkrył go Albert Einstein w 1905 roku jako część szczególnej teorii względności. Masę wyznaczamy, dzieląc obie strony przez $c^2$: $m = \frac{E}{c^2}$.

25.Jak wyznaczyć wielkość ze wzoru $n = 0{,}25b$?

Dzielimy obie strony przez współczynnik: $b = \frac{n}{0{,}25} = 4n$, bo $1 : 0{,}25 = 4$. Podobnie ze wzoru $k = \frac{1}{3}a$ po pomnożeniu obu stron przez 3 otrzymujemy $a = 3k$.

26.Jak wyznaczyć bok lub wysokość ze wzoru na pole trójkąta?

Pole trójkąta to $P = \frac{a \cdot h}{2}$, gdzie $h$ to wysokość poprowadzona do boku $a$. Mnożymy obie strony przez 2: $2P = a \cdot h$, potem dzielimy: $a = \frac{2P}{h}$, $h = \frac{2P}{a}$. Trójkąt o polu $12~\mathrm{cm^2}$ i boku 6 cm ma wysokość $\frac{24}{6} = 4$ cm.

27.Jak wyznaczyć wysokość lub podstawę ze wzoru na pole trapezu?

Z $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ mamy $2P = (a + b) \cdot h$. Stąd $h = \frac{2P}{a + b}$ oraz $a + b = \frac{2P}{h}$, czyli $a = \frac{2P}{h} - b$. Trapez o polu $21~\mathrm{cm^2}$ i podstawach 4 cm i 10 cm ma wysokość $\frac{42}{14} = 3$ cm.

28.Jak wyznaczyć wielkość ze wzoru z nawiasem?

Ze wzoru $D = 4(m + 3n)$ wyznaczamy $n$. Dzielimy obie strony przez 4: $\frac{D}{4} = m + 3n$. Odejmujemy $m$: $\frac{D}{4} - m = 3n$. Dzielimy przez 3: $n = \left(\frac{D}{4} - m\right) : 3$, czyli $n = \frac{D - 4m}{12}$.

29.Założenia przy przekształcaniu wzorów

Zanim podzielimy obie strony przez wyrażenie, zakładamy, że jest ono różne od zera, bo przez 0 dzielić nie wolno. Założenie zapisujemy skrótem „Zał.”, np. Zał. $y \neq 0$. We wzorach fizycznych i geometrycznych wielkości są zwykle dodatnie, więc zwykle nie trzeba przyjmować dodatkowych założeń.

30.Jak wyznaczyć wielkość z mianownika z sumą?

Ze wzoru $T = \frac{c}{d + 2}$ wyznaczamy $d$. Zał. $d + 2 \neq 0$. Mnożymy obie strony przez $d + 2$: $T(d + 2) = c$. Zał. $T \neq 0$, dzielimy przez $T$: $d + 2 = \frac{c}{T}$. Odejmujemy 2: $d = \frac{c}{T} - 2$.

31.Typowy błąd przy przekształcaniu ilorazu

Dzieląc lub mnożąc, działamy na całych stronach równości. Ze wzoru $w = \frac{a}{b} \cdot c$ wyznaczamy $c$: mnożymy obie strony przez $b$: $w \cdot b = a \cdot c$, potem dzielimy przez $a$: $c = \frac{w \cdot b}{a}$. Błędem byłby zapis $\frac{w}{a} = b \cdot c$, bo $b$ stoi w mianowniku, a nie jest czynnikiem.

32.Jak wyznaczyć wielkość pomnożoną przez nawias?

Ze wzoru $5 + k(a + 1) = c$ wyznaczamy $k$. Odejmujemy 5: $k(a + 1) = c - 5$. Zał. $a + 1 \neq 0$, dzielimy obie strony przez $a + 1$: $k = \frac{c - 5}{a + 1}$.

33.Jak zapisać zdanie z kilkoma liczbami zależnymi od a?

Każdą liczbę zapisujemy w nawiasie, potem łączymy je działaniem. Liczba o 1 mniejsza od $a$ to $(a - 1)$. Różnica liczby $a$ i liczby o 3 mniejszej od $a$: $a - (a - 3) = a - a + 3 = 3$. Suma liczby $a$ i liczby o 2 większej: $a + (a + 2) = 2a + 2$.

34.Jak po uporządkowaniu rozpoznać, ile rozwiązań ma równanie?

Porządkujemy równanie do postaci $ax = b$. Gdy $a \neq 0$, równanie ma jedno rozwiązanie $x = \frac{b}{a}$, np. $3x = 6$ daje $x = 2$. Gdy $a = 0$ i $b = 0$ ($0 \cdot x = 0$), równanie jest tożsamościowe. Gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ ($0 \cdot x = 3$), równanie jest sprzeczne.

35.Jak sprawdzić, czy dwa równania mają to samo rozwiązanie?

Rozwiązujemy oba albo sprawdzamy, czy jedno powstaje z drugiego przez dozwolone przekształcenie. Równania $4x - 6 = 2$ i $2x - 3 = 1$ są równoważne, bo drugie to pierwsze podzielone przez 2; oba spełnia $x = 2$. Równanie $x - 6 = 2$ ma rozwiązanie 8 - przez 4 podzielono tylko $4x$.

36.Równanie z tym samym czynnikiem w każdym wyrazie

Gdy każdy wyraz zawiera ten sam czynnik różny od zera, dzielimy przez niego obie strony. $45(y + 2) = 45(3y - 4)$ daje $y + 2 = 3y - 4$, czyli $y = 3$. $12(z - 4) + 12(z + 4) = 0$ dzielimy przez 12: $z - 4 + z + 4 = 0$, $2z = 0$, $z = 0$.

37.Czy to samo równanie można rozwiązać różnymi sposobami?

Tak, jeśli każdy krok jest dozwolonym przekształceniem. $8x = 40 - 12x$: sposób 1 - dodajemy $12x$: $20x = 40$, $x = 2$. Sposób 2 - najpierw dzielimy obie strony przez 4: $2x = 10 - 3x$, potem dodajemy $3x$: $5x = 10$, $x = 2$. Dzieląc, dzielimy każdy wyraz po obu stronach.

38.Średnia arytmetyczna w równaniu

Średnia arytmetyczna dwóch liczb to ich suma podzielona przez 2. Średnia liczby $x$ i liczby o 4 większej jest równa 15: $\frac{x + (x + 4)}{2} = 15$, $2x + 4 = 30$, $x = 13$. Liczby to 13 i 17. Gdy zadanie mówi o liczbach całkowitych, a rozwiązanie nie jest całkowite, takich liczb nie ma.

39.Jak uzasadnić, że równanie $x^2 + 5 = 0$ nie ma rozwiązań?

Kwadrat każdej liczby jest dodatni albo równy 0: $x^2 \geq 0$. Zatem $x^2 + 5 \geq 5$, czyli lewa strona nigdy nie jest równa 0. Żadna liczba nie spełnia tego równania, więc jest ono sprzeczne.

40.Zadanie o zmianie ceny jednej sztuki

Cenę jednej sztuki przed zmianą oznaczamy $x$; po podwyżce o 20 gr to $x + 0{,}2$ zł. Za 4 sztuki po podwyżce płaci się tyle co przedtem za 5: $4(x + 0{,}2) = 5x$, $4x + 0{,}8 = 5x$, $x = 0{,}8$ zł. Sztuka kosztowała 80 gr, a po podwyżce 1 zł.