Równania i zadania tekstowe - Matematyka z plusem 7

1.Równanie

Równanie to równość dwóch wyrażeń, w której występuje litera oznaczająca nieznaną liczbę, np. $3x + 4 = 19$ albo $2(y - 1) = y + 5$. Wyrażenie przed znakiem „=” to lewa strona równania (L), a wyrażenie za nim - prawa strona równania (P).

2.Niewiadoma

Niewiadoma to litera w równaniu, która oznacza liczbę, której nie znamy. Równanie może mieć jedną niewiadomą ($5x - 2 = 13$), dwie ($x + y = 10$) lub więcej. Niewiadomą oznaczamy dowolną literą, np. $x$, $y$, $a$, $n$, $t$.

3.Do czego służą równania?

Równaniem zapisujemy problem, w którym szukamy nieznanej liczby. Rząd $n$ kwadratów ułożonych z zapałek obok siebie wymaga $3n + 1$ zapałek. Ile kwadratów ułożymy z 31 zapałek? Zapisujemy równanie $3n + 1 = 31$. Spełnia je $n = 10$, bo $3 \cdot 10 + 1 = 31$.

4.Jak zapisać „o ... większa” i „o ... mniejsza”?

Liczba o 5 większa od $x$ to $x + 5$, a liczba o 5 mniejsza od $x$ to $x - 5$. Zdanie „Liczba 30 jest o 8 większa od $x$” zapisujemy $30 = x + 8$, a zdanie „Liczba 30 jest o 8 mniejsza od $x$” zapisujemy $30 = x - 8$.

5.Jak zapisać „... razy większa” i „... razy mniejsza”?

Liczba 3 razy większa od $x$ to $3x$, a liczba 3 razy mniejsza od $x$ to $\frac{x}{3}$, czyli $\frac{1}{3}x$. Zdanie „Liczba 24 jest 4 razy większa od $y$” zapisujemy $24 = 4y$, a zdanie „Liczba 2 razy mniejsza od $z$ jest równa 9” zapisujemy $\frac{z}{2} = 9$.

6.Jak zapisać sumę liczby i liczby z nią związanej?

Najpierw każdą liczbę zapisujemy za pomocą niewiadomej, potem łączymy je działaniem. Suma liczby $x$ i liczby od niej o 3 większej jest równa 41: $x + (x + 3) = 41$. Do liczby $x$ dodano liczbę dwukrotnie od niej mniejszą i otrzymano 30: $x + \frac{1}{2}x = 30$. Dwukrotność liczby $x$ to $2x$.

7.Jak zapisać równanie o cenach?

Cenę jednej rzeczy oznaczamy literą, a pozostałe ceny zapisujemy za jej pomocą. Herbata kosztuje $x$ zł, a kawa o 4 zł więcej, czyli $x + 4$ zł. Dwie kawy kosztują tyle co trzy herbaty: $2(x + 4) = 3x$. Nawias jest potrzebny, bo mnożymy całą cenę kawy.

8.Jak ułożyć równanie z obwodu figury?

Dodajemy długości wszystkich boków i przyrównujemy sumę do obwodu. Trójkąt o bokach $x$, $x + 2$ i $9$ ma obwód 25: $x + (x + 2) + 9 = 25$, czyli $2x + 11 = 25$. Stąd $x = 7$, a boki mają długości 7, 9 i 9.

9.Jak ułożyć równanie z pola prostokąta?

Pole prostokąta to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków. Prostokąt o bokach $x$ i 5 ma pole 40: $5 \cdot x = 40$, więc $x = 8$. Gdy znamy obwód, np. 26, dodajemy cztery boki: $2x + 2 \cdot 5 = 26$, $2x = 16$, $x = 8$.

10.Rozwiązanie równania (pierwiastek równania)

Rozwiązaniem równania (lub pierwiastkiem równania) nazywamy każdą liczbę, która spełnia równanie, czyli po wstawieniu w miejsce niewiadomej daje prawdziwą równość. Liczba 4 jest rozwiązaniem równania $2x + 1 = 9$, bo $2 \cdot 4 + 1 = 9$.

11.Jak sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem równania?

Wstawiamy liczbę w miejsce niewiadomej i osobno obliczamy wartość lewej strony (L) i prawej strony (P). Gdy $L = P$, liczba jest rozwiązaniem, a gdy $L \neq P$ - nie jest. Dla $2x + 5 = 4(x - 1) + 3$ i $x = 3$: $L = 2 \cdot 3 + 5 = 11$, $P = 4 \cdot 2 + 3 = 11$, więc 3 jest rozwiązaniem.

12.Ile rozwiązań może mieć równanie z jedną niewiadomą?

Równanie może mieć jedno rozwiązanie ($x + 3 = 5$ spełnia tylko 2), dwa ($x^2 = 9$ spełniają 3 i $-3$), trzy lub więcej, nieskończenie wiele ($x + x = 2x$ spełnia każda liczba) albo nie mieć żadnego rozwiązania ($x + 1 = x$).

13.Jakie liczby spełniają równanie $x^2 = 49$?

Dwie liczby przeciwne: 7 i $-7$, bo $7^2 = 49$ i $(-7)^2 = 49$. Na osi liczbowej leżą w tej samej odległości od zera. Równanie $x^2 = 0$ ma jedno rozwiązanie: 0, a równanie $x^2 = -49$ nie ma rozwiązań, bo kwadrat liczby nie jest ujemny.

14.Kiedy iloczyn jest równy zero?

Iloczyn jest równy 0 wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0. Dlatego równanie $x(x - 5) = 0$ spełniają liczby 0 i 5, a równanie $(x + 2)(x - 1) = 0$ - liczby $-2$ i 1. Każdy czynnik przyrównujemy do zera.

15.Równanie tożsamościowe

Równanie tożsamościowe to równanie, które spełniają wszystkie liczby. Przykłady: $2(x + 3) = 2x + 6$, $a + 4 = 4 + a$, $0 \cdot x = 0$. Po uporządkowaniu obu stron otrzymujemy dwa takie same wyrażenia.

16.Równanie sprzeczne

Równanie sprzeczne to równanie, którego nie spełnia żadna liczba. Przykłady: $x + 4 = x + 1$ (żadna liczba powiększona o 4 nie jest równa tej samej liczbie powiększonej o 1), $0 \cdot x = 5$, $x^2 = -9$ (kwadrat liczby nie jest ujemny).

17.Zbiór rozwiązań równania i równania równoważne

Zbiór wszystkich liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania. Dwa równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy równaniami równoważnymi. Równania $x + 3 = 5$ i $4x = 8$ są równoważne (oba spełnia tylko 2), a równania $x = 2$ i $x^2 = 4$ nie są, bo drugie spełnia też $-2$.

18.Wartość bezwzględna liczby

Symbol $|x|$ czytamy: wartość bezwzględna liczby $x$. Wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest równa tej liczbie, a wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą do niej przeciwną: $|6| = 6$, $|0| = 0$, $|-2{,}5| = 2{,}5$. Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

19.Metoda równań równoważnych

Rozwiązując równanie, zastępujemy je coraz prostszym równaniem równoważnym. Wolno: do obu stron dodać to samo wyrażenie, od obu stron odjąć to samo wyrażenie, obie strony pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Mnożyć przez 0 nie wolno: z każdego równania powstałoby $0 = 0$.

20.Jak zapisujemy przekształcenia równania?

Działanie, które wykonujemy na obu stronach, piszemy za kreską pionową obok równania: $4x + 3 = 15 \quad | -3$, potem $4x = 12 \quad | :4$, czyli $x = 3$. Zapis „$| \cdot 6$” oznacza, że obie strony mnożymy przez 6, a „$| + 2x$”, że do obu stron dodajemy $2x$.

21.Dzielenie przez współczynnik przy niewiadomej

Na końcu dzielimy obie strony przez współczynnik liczbowy stojący przy niewiadomej, także ujemny: $-3x = 12 \quad | :(-3)$, więc $x = -4$. Gdy współczynnik jest ułamkiem, mnożymy obie strony przez jego odwrotność: $\frac{2}{3}x = 4 \quad | \cdot \frac{3}{2}$, więc $x = 6$.

22.Przenoszenie wyrazów na drugą stronę równania

Dodawanie lub odejmowanie tego samego wyrażenia po obu stronach zapisujemy krócej: przenosimy wyraz na drugą stronę, zmieniając jego znak na przeciwny. Niewiadome zbieramy po jednej stronie, a liczby - po drugiej: $5x - 4 = 2x + 11$, $5x - 2x = 11 + 4$, $3x = 15$, $x = 5$.

23.Skąd pochodzi nazwa „algebra”?

Od arabskiego słowa al-dżabr. Tak nazywało się przenoszenie wyrazów z jednej strony równania na drugą, którego używał arabski astronom i matematyk Muhammad Alchwarizmi. Algebra to nauka o działaniach na symbolach literowych.

24.Jak rozwiązać równanie z nawiasami?

Najpierw opuszczamy nawiasy: liczbę przed nawiasem mnożymy przez każdy wyraz w nawiasie, a minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie, np. $7 - (2x - 3) = 7 - 2x + 3$. Przykład: $3(x - 2) = x + 4$, $3x - 6 = x + 4$, $2x = 10$, $x = 5$.

25.Jak po przekształceniach rozpoznać równanie sprzeczne lub tożsamościowe?

Gdy niewiadome się zredukują, zostaje równość dwóch liczb. Fałszywa równość oznacza równanie sprzeczne: $2(x + 4) = 2x + 3$ daje $8 = 3$. Prawdziwa równość oznacza równanie tożsamościowe: $5 - (x - 1) = 6 - x$ daje $6 - x = 6 - x$, czyli $6 = 6$.

26.Jak rozwiązać równanie z ułamkami zwykłymi?

Obie strony mnożymy przez wspólny mianownik wszystkich ułamków (najlepiej najmniejszy), żeby pozbyć się mianowników. Mnożymy każdy wyraz, także ten bez ułamka: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10 \quad | \cdot 6$, $3x + 2x = 60$, $5x = 60$, $x = 12$.

27.Ułamek z sumą lub różnicą w liczniku

Kreska ułamkowa zastępuje nawias, więc po pomnożeniu licznik bierzemy w nawias. Minus przed ułamkiem zmienia znaki całego licznika: $\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 1 \quad | \cdot 12$, $4(x + 1) - 3(x - 2) = 12$, $4x + 4 - 3x + 6 = 12$, $x = 2$.

28.Jak rozwiązać równanie z ułamkami dziesiętnymi?

Obie strony mnożymy przez 10, 100 itd., żeby wszystkie liczby były całkowite. Przykład: $0{,}3x + 1{,}2 = 0{,}1x \quad | \cdot 10$, $3x + 12 = x$, $2x = -12$, $x = -6$.

29.Jak rozwiązać równanie z iloczynem dwóch nawiasów?

Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego. Wyrazy z $x^2$ po obu stronach się redukują i zostaje zwykłe równanie: $(x + 2)(x - 3) = x^2 + 4$, $x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 + 4$, $-x = 10$, $x = -10$.

30.Sprytny sposób: ten sam czynnik po obu stronach

Gdy obie strony są iloczynami z tą samą liczbą różną od zera, dzielimy przez nią obie strony, zamiast opuszczać nawiasy: $25(3x - 1) = 25(x + 7) \quad | :25$, $3x - 1 = x + 7$, $2x = 8$, $x = 4$. Podobnie $17(x - 2) = 0$ daje $x - 2 = 0$, czyli $x = 2$.

31.Plan rozwiązywania równania

Pozbywamy się mianowników, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik. Opuszczamy nawiasy. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą. Redukujemy wyrazy podobne. Dzielimy obie strony przez współczynnik przy niewiadomej. Na koniec warto sprawdzić wynik w równaniu początkowym.

32.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania?

Oznaczamy literą jedną z szukanych wielkości i opisujemy pozostałe wielkości za pomocą tej litery. Układamy równanie zgodnie z informacjami z zadania i je rozwiązujemy. Obliczamy pozostałe wielkości, sprawdzamy, czy wynik pasuje do treści i ma sens (np. liczba osób jest naturalna), i piszemy odpowiedź.

33.Jak oznaczyć dwie wielkości, gdy znamy ich łączną liczbę?

Jedną wielkość oznaczamy $x$, a drugą zapisujemy jako różnicę łącznej liczby i $x$. W skarbonce jest 20 monet po 2 zł i po 5 zł, razem 67 zł. Dwuzłotówek jest $x$, a pięciozłotówek $20 - x$: $2x + 5(20 - x) = 67$, $-3x = -33$, $x = 11$. Dwuzłotówek jest 11, a pięciozłotówek 9.

34.Jak zapisać dwie liczby, gdy jedna jest o kilka większa od drugiej?

Mniejszą liczbę oznaczamy $x$, a większą - $x + 8$, gdy różnią się o 8. Gdy ich suma to 50: $x + (x + 8) = 50$, $2x = 42$, $x = 21$. Liczby to 21 i 29. Sprawdzenie: $21 + 29 = 50$ i $29 - 21 = 8$.

35.Jak ułożyć równanie, gdy znamy części całości?

Całość oznaczamy $x$, a części zapisujemy jako ułamki liczby $x$. Połowa książek na półce to powieści, jedna czwarta to komiksy, a pozostałe 5 to atlasy: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 5 = x$. Po pomnożeniu przez 4: $2x + x + 20 = 4x$, więc $x = 20$ książek.

36.Jak rozwiązywać zadania o wieku?

Obecny wiek oznaczamy $x$. Za $n$ lat osoba będzie miała $x + n$ lat, a $n$ lat temu miała $x - n$ lat. Wszyscy starzeją się o tyle samo lat. Mama ma 4 razy więcej lat niż syn, a za 12 lat będzie od niego 2 razy starsza: $4x + 12 = 2(x + 12)$, $2x = 12$, $x = 6$. Syn ma 6 lat, a mama 24.

37.Jak zapisać, że ktoś komuś coś oddał?

Ten, kto oddaje, ma o tyle mniej, a ten, kto dostaje - o tyle więcej. Hania ma 5 razy więcej naklejek niż Piotr. Gdy da mu 12 naklejek, będą mieli po tyle samo: $5x - 12 = x + 12$, $4x = 24$, $x = 6$. Piotr ma 6 naklejek, a Hania 30.

38.Zadania z punktami dodanymi i odjętymi

Liczbę dobrych odpowiedzi oznaczamy $x$, a pozostałych - jako różnicę. Test ma 20 zadań: za dobrą odpowiedź są 4 punkty, a za złą odejmuje się 1 punkt. Wynik to 55 punktów: $4x - (20 - x) = 55$, $5x = 75$, $x = 15$. Dobrych odpowiedzi jest 15, a złych 5.

39.Jak wykorzystać sumę kątów trójkąta w równaniu?

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^\circ$, a w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Gdy kąt między ramionami jest o $30^\circ$ większy od kąta przy podstawie: $x + x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$, $3x = 150^\circ$, $x = 50^\circ$. Kąty mają $50^\circ$, $50^\circ$ i $80^\circ$.

40.Jak ułożyć równanie z pola trapezu?

Pole trapezu to $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Trapez ma pole $30~\mathrm{cm^2}$, wysokość 4 cm, a jedna podstawa jest o 3 cm dłuższa od drugiej: $\frac{(x + x + 3) \cdot 4}{2} = 30$, $2(2x + 3) = 30$, $4x + 6 = 30$, $x = 6$. Podstawy mają 6 cm i 9 cm.