Działania na sumach algebraicznych - Matematyka z plusem 7

1.Opuszczanie nawiasu poprzedzonego znakiem plus

Jeżeli składniki sumy algebraicznej stoją w nawiasie, który nie jest poprzedzony żadnym znakiem albo jest poprzedzony znakiem plus, to nawias możemy opuścić, nie zmieniając znaków wyrazów w nawiasie: $3x + (2y - 5) = 3x + 2y - 5$, $(a - 4b) + 6 = a - 4b + 6$.

2.Opuszczanie nawiasu poprzedzonego znakiem minus

Jeżeli nawias jest poprzedzony znakiem minus, to opuszczając go, zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny: $5a - (2b + 3) = 5a - 2b - 3$, $-(4x - 1) + y = -4x + 1 + y$. Wynika to z równości $a - (b + c) = a - b - c$, np. $10 - (3 + 2) = 10 - 3 - 2 = 5$.

3.Dodawanie sum algebraicznych (krok po kroku)

1) Opuszczamy nawiasy - stoi przed nimi plus albo nic, więc znaki się nie zmieniają. 2) Redukujemy wyrazy podobne. Przykład: $(3x - 2) + (5 - x) = 3x - 2 + 5 - x = 2x + 3$.

4.Odejmowanie sum algebraicznych (krok po kroku)

1) Odejmowaną sumę bierzemy w nawias. 2) Opuszczamy nawias poprzedzony minusem, zmieniając znaki wszystkich jego wyrazów. 3) Redukujemy wyrazy podobne. Przykład: $(4a + 3b) - (a - 2b) = 4a + 3b - a + 2b = 3a + 5b$.

5.Minus przed nawiasem na początku wyrażenia

Minus przed pierwszym nawiasem też zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie: $-(2x - 3) - 5 = -2x + 3 - 5 = -2x - 2$. Gdy minus stoi przed dwoma nawiasami, zmieniamy znaki w każdym z nich: $-(a + b) - (a - b) = -a - b - a + b = -2a$.

6.Typowy błąd przy nawiasie poprzedzonym minusem

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu, a nie tylko pierwszego. Poprawnie: $7 - (x - 3) = 7 - x + 3 = 10 - x$. Błędnie: $7 - x - 3 = 4 - x$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $7 - (1 - 3) = 7 + 2 = 9$ i $10 - 1 = 9$.

7.Upraszczanie wyrażenia przed obliczeniem jego wartości

Najpierw opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne, potem wstawiamy liczby - rachunki są krótsze. $(x + 2y) - (3 - y) + (x - 1) = x + 2y - 3 + y + x - 1 = 2x + 3y - 4$. Dla $x = 3$ i $y = -2$: $6 - 6 - 4 = -4$.

8.Działania na sumach oznaczonych literami

Gdy litera oznacza całą sumę algebraiczną, wstawiamy tę sumę w nawiasie. Niech $A = 2x - y$ i $B = x + 3y$. Wtedy $A - B = (2x - y) - (x + 3y) = 2x - y - x - 3y = x - 4y$, a $A + B = 3x + 2y$.

9.Zapisywanie poleceń „dodaj” i „odejmij” dla sum

Każdą sumę lub różnicę z polecenia bierzemy w nawias, a potem upraszczamy. Do liczby $3a$ dodaj różnicę $b - a$: $3a + (b - a) = 2a + b$. Od sumy liczb $x$ i $3y$ odejmij różnicę $2x - y$: $(x + 3y) - (2x - y) = -x + 4y$.

10.Jak znaleźć brakującą sumę algebraiczną?

Brakujący składnik to suma minus znany składnik: z $\square + (2x - 1) = 6x + 4$ mamy $\square = (6x + 4) - (2x - 1) = 4x + 5$. Brakujący odjemnik to odjemna minus różnica: z $(5a + 2) - \square = 3a$ mamy $\square = (5a + 2) - 3a = 2a + 2$.

11.Nawiasy w nawiasach

Opuszczamy nawiasy po kolei, zaczynając od wewnętrznego. $a - [2a - (a - b)] = a - [2a - a + b] = a - [a + b] = a - a - b = -b$. W każdym kroku stosujemy te same reguły: minus przed nawiasem zmienia znaki wyrazów w nawiasie.

12.Obwód prostokąta w postaci sumy algebraicznej

Dodajemy długości czterech boków i redukujemy wyrazy podobne. Prostokąt o bokach $2x + 1$ i $x - 3$ ma obwód $(2x + 1) + (x - 3) + (2x + 1) + (x - 3) = 6x - 4$. Dla $x = 5$ boki mają 11 i 2, a obwód wynosi $6 \cdot 5 - 4 = 26$.

13.Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

Dla dowolnych liczb $a$, $b$, $c$ zachodzi równość $a(b + c) = ab + ac$. Widać to na prostokącie o bokach $a$ i $b + c$: jego pole to $a(b + c)$, a zarazem suma pól dwóch mniejszych prostokątów, czyli $ab + ac$. Na liczbach: $3 \cdot (10 + 2) = 30 + 6 = 36$.

14.Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną

Każdy wyraz sumy mnożymy przez jednomian, a wyniki dodajemy: $-2(3x - 5y) = -6x + 10y$, bo $-2 \cdot 3x = -6x$ i $-2 \cdot (-5y) = 10y$. Tak samo, gdy liczba stoi za nawiasem: $(x - 2y + 3) \cdot 4 = 4x - 8y + 12$.

15.Mnożenie jednomianu z literami przez sumę

Jednomian mnożymy przez każdy wyraz sumy według zasad mnożenia jednomianów: $3a(2a - b + 1) = 6a^2 - 3ab + 3a$. Nie zapominaj o wyrazie, który jest liczbą: $3a \cdot 1 = 3a$, a nie 3.

16.Mnożenie sumy przez jednomian ujemny

Mnożenie przez jednomian ujemny zmienia znak każdego wyrazu sumy: $-x(4 - x) = -4x + x^2$, bo $-x \cdot (-x) = x^2$. Podobnie $-5(a - 2b + 1) = -5a + 10b - 5$.

17.Mnożenie jednomianów przez sumy i redukcja wyrazów podobnych

Najpierw mnożymy każdy nawias, potem redukujemy wyrazy podobne. $2x(x + 3) - 3(x^2 - 1) = 2x^2 + 6x - 3x^2 + 3 = -x^2 + 6x + 3$. Liczbę razem ze znakiem przed nią, tu $-3$, mnożymy przez każdy wyraz nawiasu.

18.Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

Każdy wyraz sumy dzielimy przez tę liczbę: $(15x - 6) : 3 = 5x - 2$, $(8a - 2) : 4 = 2a - \frac{1}{2}$. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną zmieniają się znaki wszystkich wyrazów: $(10x - 4) : (-2) = -5x + 2$.

19.Iloraz zapisany kreską ułamkową - dwa sposoby

Sposób 1: dzielimy przez mianownik każdy składnik sumy: $\frac{6x - 9y + 2}{3} = \frac{6x}{3} - \frac{9y}{3} + \frac{2}{3} = 2x - 3y + \frac{2}{3}$. Sposób 2: mnożymy każdy składnik przez odwrotność mianownika: $\frac{1}{3}(6x - 9y + 2) = 2x - 3y + \frac{2}{3}$.

20.Odejmowanie ilorazu, w którego liczniku jest suma

Ułamek, w którego liczniku jest suma, traktujemy jak nawias. $x - \frac{4x + 6}{2} = x - (2x + 3) = x - 2x - 3 = -x - 3$. Częsty błąd to zmiana znaku tylko pierwszego wyrazu licznika.

21.Dzielenie sumy algebraicznej przez ułamek

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $(3x - 1) : \frac{1}{2} = 2(3x - 1) = 6x - 2$, a $(4a + 2) : \frac{2}{3} = \frac{3}{2}(4a + 2) = 6a + 3$.

22.Pole trapezu zapisane na różne sposoby

Z prawa rozdzielności wynika, że wzór na pole trapezu można zapisać na kilka sposobów: $\frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{ah}{2} + \frac{bh}{2}$. Dla $a = 6$, $b = 4$ i $h = 3$ każdy z tych zapisów daje 15.

23.Średnia arytmetyczna wyrażeń algebraicznych

Średnia arytmetyczna liczb $a$ i $b$ to $\frac{a + b}{2}$, a liczb $a$, $b$ i $c$ to $\frac{a + b + c}{3}$. Średnia liczb $3k - 2$ i $3k + 6$ to $\frac{3k - 2 + 3k + 6}{2} = \frac{6k + 4}{2} = 3k + 2$.

24.Jak odgadnąć pomyślaną liczbę za pomocą wyrażenia?

Pomyślaną liczbę oznaczamy literą, zapisujemy kolejne polecenia jako jedno wyrażenie i upraszczamy je. Pomyśl $x$, odejmij 1, pomnóż przez 4 i dodaj 4: $(x - 1) \cdot 4 + 4 = 4x - 4 + 4 = 4x$. Gdy ktoś poda wynik 28, pomyślał liczbę $28 : 4 = 7$.

25.Mnożenie sum algebraicznych

Mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy i dodajemy wyniki: $(a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by$. Widać to na prostokącie o bokach $a + b$ i $x + y$: jego pole jest sumą pól czterech mniejszych prostokątów.

26.Mnożenie sum krok po kroku

Przykład: $(3a + 2)(x + 4)$. Mnożymy $3a$ przez $x$ i przez 4, a potem 2 przez $x$ i przez 4: $3a \cdot x + 3a \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 = 3ax + 12a + 2x + 8$. Dwie sumy po dwa wyrazy dają przed redukcją cztery wyrazy.

27.Mnożenie sum, w których są minusy

Każdy wyraz mnożymy razem ze znakiem, który stoi przed nim. $(a - 3)(2x - y) = a \cdot 2x + a \cdot (-y) + (-3) \cdot 2x + (-3) \cdot (-y) = 2ax - ay - 6x + 3y$. Minus razy minus daje plus.

28.Mnożenie sum i redukcja wyrazów podobnych

Gdy w obu sumach jest ta sama litera, po mnożeniu redukujemy wyrazy podobne. $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $4 \cdot (-4) = -16$ i $1 - 2 - 15 = -16$.

29.Mnożenie sum ze współczynnikami

Współczynniki mnożymy tak jak w jednomianach: $(2x - 1)(3x + 4) = 6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4$. Sprawdzenie dla $x = 1$: $1 \cdot 7 = 7$ i $6 + 5 - 4 = 7$.

30.Kwadrat sumy algebraicznej - jak go obliczyć?

Kwadrat zapisujemy jako iloczyn dwóch takich samych sum i mnożymy każdy wyraz przez każdy: $(x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4) = x^2 + 4x + 4x + 16 = x^2 + 8x + 16$. Nie wolno podnieść do kwadratu tylko samych wyrazów: $(x + 4)^2$ to nie $x^2 + 16$.

31.Minus przed iloczynem sum

Najpierw mnożymy sumy i wynik bierzemy w nawias, potem zmieniamy znak każdego wyrazu. $-(x + 2)(x - 3) = -(x^2 - 3x + 2x - 6) = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$.

32.Mnożenie sumy dwóch wyrazów przez sumę trzech wyrazów

Każdy z dwóch wyrazów mnożymy przez każdy z trzech, więc przed redukcją jest 6 wyrazów. $(x + 2)(x^2 - x + 3) = x^3 - x^2 + 3x + 2x^2 - 2x + 6 = x^3 + x^2 + x + 6$.

33.Pole prostokąta w postaci sumy algebraicznej

Pole to iloczyn boków, więc mnożymy sumy i redukujemy wyrazy podobne. Prostokąt o bokach $x + 4$ i $x - 1$ ma pole $(x + 4)(x - 1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4$. Dla $x = 2$ boki mają 6 i 1, a pole $4 + 6 - 4 = 6$.

34.Porównywanie pól za pomocą sum algebraicznych

Zapisujemy oba pola jako sumy algebraiczne i porównujemy je. Kwadrat o boku $a$ ma pole $a^2$, a prostokąt o bokach $a + 2$ i $a - 2$ ma pole $(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2a + 2a - 4 = a^2 - 4$. Pole kwadratu jest więc o 4 większe.

35.Jak sprawdzić wynik mnożenia sum?

Wstawiamy tę samą liczbę do wyrażenia przed przekształceniem i po nim - obie wartości muszą być równe. $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3$. Dla $x = 2$: $5 \cdot (-1) = -5$ oraz $8 - 10 - 3 = -5$. Różne wartości oznaczają błąd w rachunkach.

36.Iloczyn dwóch kolejnych liczb

Kolejne liczby naturalne to $n$ i $n + 1$, a ich iloczyn to $n(n + 1) = n^2 + n$. Jest on zawsze parzysty, bo jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta. Iloczyn kolejnych liczb nieparzystych $2k + 1$ i $2k + 3$ to $4k^2 + 8k + 3$.

37.Jak uzasadnić, że wartość wyrażenia nie zależy od zmiennej?

Przekształcamy wyrażenie do najprostszej postaci - jeśli zostaje sama liczba, wartość jest zawsze taka sama. $(n + 3)(n + 1) - n(n + 4) = n^2 + 4n + 3 - n^2 - 4n = 3$, więc dla każdej liczby $n$ wynik to 3.

38.Jak uzasadnić podzielność za pomocą wyrażenia?

Upraszczamy wyrażenie i zapisujemy je jako iloczyn danej liczby i liczby całkowitej. $(n + 5)(n + 2) - n(n + 2) = n^2 + 7n + 10 - n^2 - 2n = 5n + 10 = 5(n + 2)$. Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n + 2$ też jest całkowita, więc wynik dzieli się przez 5. Sprawdzenie dla $n = 1$: $6 \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 15$.

39.Pole prostokąta po zmianie boków o procent

Zmienione boki zapisujemy jako jednomiany i mnożymy. Długość $a$ wzrosła o $30\%$, a szerokość $b$ zmalała o $10\%$: nowe boki to $1{,}3a$ i $0{,}9b$, a pole $1{,}3a \cdot 0{,}9b = 1{,}17ab$, czyli o $17\%$ więcej niż $ab$. Procentów nie dodajemy ani nie odejmujemy.

40.Wyrażenie z treści zadania o monetach

Każdy rodzaj monet liczymy osobno: liczba monet razy ich wartość. W skarbonce jest $m$ monet: 4 pięciozłotówki, a reszta to złotówki. Złotówek jest $m - 4$, więc kwota to $4 \cdot 5 + (m - 4) = 20 + m - 4 = m + 16$ zł.