Wyrażenia algebraiczne, jednomiany i sumy - Matematyka z plusem 7

1.Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie, w którym obok liczb i znaków działań występują litery, np. $3a - 2$, $\frac{x + y}{2}$, $b^2 + 1$. Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisujemy zwroty matematyczne, wzory, twierdzenia oraz równania i nierówności.

2.Do czego służy litera w wyrażeniu algebraicznym?

Litera zastępuje dowolną liczbę, więc jedno wyrażenie opisuje ogólną regułę. W rzędzie kwadratów z zapałek pierwszy kwadrat ma 4 zapałki, a każdy następny dokłada 3. Do zbudowania $n$ kwadratów potrzeba $1 + n \cdot 3$ zapałek, np. do 50 kwadratów: $1 + 50 \cdot 3 = 151$ zapałek.

3.Kiedy w wyrażeniu algebraicznym można pominąć znak mnożenia?

Kropkę mnożenia zwykle pomijamy między liczbą a literą, między literami i przed nawiasem: $4 \cdot y = 4y$, $a \cdot b = ab$, $2 \cdot (x + 1) = 2(x + 1)$. Kropki nie pomijamy, gdy po niej stoi liczba zapisana cyframi: $n \cdot 3$, $(a + b) \cdot 8$.

4.Suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb a i b

Suma liczb $a$ i $b$ to $a + b$, różnica to $a - b$, iloczyn to $ab$, a iloraz liczby $a$ przez $b$ to $\frac{a}{b}$. W różnicy i w ilorazie ważna jest kolejność: różnica liczb $b$ i $a$ to $b - a$, a iloraz liczby $b$ przez $a$ to $\frac{b}{a}$.

5.Liczba o 4 większa a liczba 4 razy większa

„O 4 większa” oznacza dodawanie, a „4 razy większa” - mnożenie. Od liczby $m$: o 4 większa to $m + 4$, 4 razy większa to $4m$, o 4 mniejsza to $m - 4$, a 4 razy mniejsza to $\frac{m}{4}$.

6.Kwadrat sumy, suma kwadratów, połowa sumy - jak je zapisać?

Działanie nazwane na początku zwrotu wykonujemy na końcu. Kwadrat sumy liczb $x$ i $y$ to $(x + y)^2$, a suma kwadratów tych liczb to $x^2 + y^2$. Połowa sumy liczb $x$ i $y$ to $\frac{x + y}{2}$, a suma połowy liczby $x$ i liczby $y$ to $\frac{x}{2} + y$.

7.Jak zapisać p% liczby x?

Procent zamieniamy na ułamek i mnożymy przez liczbę: $p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100}x$. Na przykład $30\%$ liczby $x$ to $0{,}3x$, $7\%$ liczby $x$ to $0{,}07x$, a $120\%$ liczby $x$ to $1{,}2x$.

8.Liczba o p% większa albo o p% mniejsza od x

Liczba o $30\%$ większa od $x$ to $x + 0{,}3x$, czyli $1{,}3x$, bo to $130\%$ liczby $x$. Liczba o $25\%$ mniejsza od $x$ to $x - 0{,}25x$, czyli $0{,}75x$, bo to $75\%$ liczby $x$.

9.Kolejne liczby całkowite, parzyste i nieparzyste

Gdy $k$ jest liczbą całkowitą, to trzy kolejne liczby całkowite to $k$, $k + 1$, $k + 2$. Liczbę parzystą zapisujemy jako $2k$, a nieparzystą jako $2k + 1$. Kolejne liczby parzyste i kolejne nieparzyste różnią się o 2: po $2k$ jest $2k + 2$, a po $2k + 1$ jest $2k + 3$.

10.Jak zapisać zależności z treści zadania za pomocą wyrażeń?

Jedną wielkość oznaczamy literą, a pozostałe wyrażamy za pomocą tej litery. Ola ma $x$ lat, jej brat jest o 3 lata starszy, a mama 4 razy starsza od Oli. Wtedy brat ma $x + 3$ lat, mama $4x$ lat, a za 2 lata Ola będzie miała $x + 2$ lat.

11.Zamiana jednostek za pomocą wyrażenia algebraicznego

Najpierw zamieniamy każdą część na tę samą jednostkę, potem dodajemy. $x$ zł i $y$ gr to $100x + y$ groszy, bo 1 zł to 100 gr. Te same pieniądze w złotych to $x + \frac{y}{100}$ zł, czyli $x + 0{,}01y$ zł.

12.Liczba dwucyfrowa i trzycyfrowa zapisana za pomocą liter

Liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$ to $10a + b$, np. dla $a = 5$ i $b = 2$ to $50 + 2 = 52$. Liczba trzycyfrowa o cyfrze setek $a$, dziesiątek $b$ i jedności $c$ to $100a + 10b + c$. Zapis $ab$ oznacza iloczyn, a nie liczbę dwucyfrową.

13.Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Wartość liczbowa wyrażenia to liczba, którą otrzymujemy po zastąpieniu liter odpowiednimi liczbami i wykonaniu wskazanych działań. Wartość wyrażenia $2a + 5$ dla $a = 3$ to $2 \cdot 3 + 5 = 11$.

14.Jak obliczyć wartość liczbową wyrażenia? (krok po kroku)

1) Wstawiamy liczby w miejsce liter, liczbę ujemną bierzemy w nawias i piszemy znak mnożenia. 2) Wykonujemy działania w kolejności: potęgowanie, mnożenie, dodawanie i odejmowanie. Dla $x = -3$: $3x^2 - 2x + 1 = 3 \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 1 = 27 + 6 + 1 = 34$.

15.Liczba ujemna w miejscu litery - na co uważać?

Liczbę ujemną zawsze bierzemy w nawias. Dla $x = -4$: $x^2 = (-4)^2 = 16$, ale $-x^2 = -(-4)^2 = -16$, bo najpierw potęgujemy. Minus przed literą zmienia znak liczby: $-x = -(-4) = 4$.

16.Wartość wyrażenia z dwiema literami

Każdą literę zastępujemy jej liczbą w całym wyrażeniu. Dla $x = 2$ i $y = -4$: $x - 3y = 2 - 3 \cdot (-4) = 2 + 12 = 14$, a $xy + x = 2 \cdot (-4) + 2 = -8 + 2 = -6$.

17.Wartość wyrażenia z nawiasami

Najpierw obliczamy wartości w nawiasach, potem mnożymy. Dla $a = -1$ i $b = 1$: $(a + 4)(b - 3) = (-1 + 4) \cdot (1 - 3) = 3 \cdot (-2) = -6$. Dla $a = -2$: $2(-a + 5) = 2 \cdot (2 + 5) = 2 \cdot 7 = 14$.

18.Czy wyrażenie ma wartość dodatnią dla każdej liczby?

Kwadrat każdej liczby jest dodatni albo równy 0, więc np. $a^2 + 3$ ma zawsze wartość co najmniej 3, czyli dodatnią. Żeby pokazać, że wyrażenie nie zawsze ma wartość dodatnią, wystarczy jedna liczba: $a^2 - 2a$ dla $a = 1$ daje $1 - 2 = -1$.

19.Obliczanie wartości z wzoru

Wzór to wyrażenie algebraiczne, do którego wstawiamy dane liczby. Pole trapezu to $\frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Dla podstaw $a = 7$ cm i $b = 3$ cm oraz wysokości $h = 4$ cm pole wynosi $\frac{(7 + 3) \cdot 4}{2} = \frac{40}{2} = 20~\mathrm{cm^2}$.

20.Jednomian

Jednomiany to wyrażenia, które są pojedynczymi liczbami, literami lub iloczynami liczb i liter, np. $7$, $y$, $-4ab$, $\frac{1}{2}x^2y$. Wyrażenie $a + 3$ nie jest jednomianem, bo jest sumą.

21.Uporządkowanie jednomianu

Uporządkowanie jednomianu to zapisanie go w takiej postaci, że na początku znajduje się liczba, a następnie litery w kolejności alfabetycznej. Na przykład $b \cdot 5 \cdot a$ po uporządkowaniu to $5ab$, a $z \cdot x \cdot y$ to $xyz$.

22.Jak uporządkować jednomian? (krok po kroku)

1) Mnożymy czynniki liczbowe i wynik zapisujemy na początku. 2) Litery ustawiamy w kolejności alfabetycznej. 3) Iloczyny takich samych liter zapisujemy w postaci potęg. Przykład: $y \cdot (-2) \cdot x \cdot 3 \cdot y = (-2) \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot y = -6xy^2$.

23.Iloczyn takich samych liter w postaci potęgi

Iloczyn takich samych czynników literowych zapisujemy w postaci potęgi: $a \cdot a \cdot a = a^3$. Wykładnik mówi, ile razy litera występuje jako czynnik: $3x^2 \cdot x = 3 \cdot x \cdot x \cdot x = 3x^3$, a $b \cdot a^2 \cdot b = a^2b^2$.

24.Współczynnik liczbowy jednomianu

Współczynnik liczbowy to liczba występująca na początku uporządkowanego jednomianu. Jednomian $-8x^2y$ ma współczynnik $-8$, jednomian $0{,}4t$ - współczynnik $0{,}4$, a $\frac{2}{3}ab$ - współczynnik $\frac{2}{3}$. Przed odczytaniem współczynnika jednomian trzeba uporządkować.

25.Współczynnik 1, -1 i współczynnik w postaci ułamka

Gdy przed literami nie ma liczby, współczynnik to 1: $x^2y = 1 \cdot x^2y$. Gdy jest tylko minus, współczynnik to $-1$: $-ab = (-1) \cdot ab$. Dzielenie przez liczbę to mnożenie przez ułamek: $\frac{x}{5} = \frac{1}{5}x$, $-\frac{3a}{2} = -\frac{3}{2}a$. Współczynnika zwykle nie zapisujemy liczbą mieszaną.

26.Mnożenie jednomianów

Iloczyn jednomianów jest jednomianem. Mnożymy osobno współczynniki liczbowe i osobno litery, a takie same litery zapisujemy w postaci potęg. Na przykład $(-3a) \cdot 2ab = (-3) \cdot 2 \cdot a \cdot a \cdot b = -6a^2b$.

27.Znak iloczynu kilku jednomianów

Liczymy czynniki z minusem: parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, a nieparzysta - ujemny. $(-x) \cdot (-2y) \cdot (-3) = -6xy$, bo są trzy minusy. $(-a) \cdot (-4a) = 4a^2$, bo są dwa minusy.

28.Mnożenie jednomianów ze współczynnikami w postaci ułamków

Współczynniki mnożymy jak zwykłe ułamki i skracamy, gdy się da. $\frac{2}{3}x \cdot 6xy = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot x \cdot x \cdot y = 4x^2y$, a $\frac{a}{4} \cdot \frac{2b}{5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot a \cdot b = \frac{1}{10}ab$.

29.Iloczyn jednomianów podzielony przez liczbę

Najpierw mnożymy jednomiany, potem dzielimy współczynnik przez liczbę z mianownika: $\frac{6x \cdot 5y}{3} = \frac{30xy}{3} = 10xy$. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $4a : \frac{1}{2} = 4a \cdot 2 = 8a$.

30.Jednomian jako iloczyn dwóch jednomianów

Jednomian można zapisać jako iloczyn dwóch jednomianów na wiele sposobów: $12a^2b = 3a \cdot 4ab = 6a^2 \cdot 2b = (-2a) \cdot (-6ab)$. Brakujący czynnik znajdujemy, pytając, przez co trzeba pomnożyć: $10x^2y = 5x \cdot 2xy$, bo $5 \cdot 2 = 10$ i $x \cdot xy = x^2y$.

31.Pole prostokąta w postaci jednomianu

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków. Gdy szerokość to $x$, a długość jest 3 razy większa, czyli $3x$, pole wynosi $x \cdot 3x = 3x^2$. Dla $x = 4$ cm pole to $3 \cdot 4^2 = 48~\mathrm{cm^2}$, co zgadza się z $4 \cdot 12 = 48$.

32.Suma algebraiczna i wyrazy sumy algebraicznej

Suma algebraiczna to wyrażenie algebraiczne, które można zapisać w postaci sumy jednomianów. Jednomiany, które dodajemy, to wyrazy sumy algebraicznej. $4x - 3y + 2 = 4x + (-3y) + 2$, więc wyrazy tej sumy to $4x$, $-3y$ i $2$. Sumy jednomianów nazywa się też wielomianami.

33.Jak wypisać wyrazy sumy algebraicznej?

Każdy wyraz bierze znak, który stoi przed nim. W sumie $a^2 - 5ab - \frac{1}{2}b + 7$ wyrazy to $a^2$, $-5ab$, $-\frac{1}{2}b$ i $7$. Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby dodatniej, więc w sumie $3x - (-6)$ wyrazy to $3x$ i $6$.

34.Jednomiany podobne

Jednomiany podobne to jednomiany, które po uporządkowaniu różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym. Podobne są np. $5xy$, $-yx$ i $\frac{1}{2}xy$, bo mają te same litery w tych samych potęgach. Jednomiany $3x^2y$ i $3xy^2$ nie są podobne, bo różnią się wykładnikami. Wszystkie liczby są jednomianami podobnymi.

35.Redukcja wyrazów podobnych

Redukcja wyrazów podobnych to uproszczenie sumy algebraicznej polegające na dodaniu jednomianów podobnych. Gdy dodajemy jednomiany podobne, wystarczy dodać współczynniki, a część literową przepisać: $6x - 2x + 0{,}5x = (6 - 2 + 0{,}5)x = 4{,}5x$.

36.Jak zredukować wyrazy podobne w dłuższej sumie? (krok po kroku)

1) Podkreślamy w jednakowy sposób wyrazy podobne. 2) W każdej grupie dodajemy współczynniki. 3) Zapisujemy wynik, zwykle od najwyższej potęgi. Przykład: $4a^2 - 3a + 5 - a^2 + 7a - 2 = 3a^2 + 4a + 3$, bo $4 - 1 = 3$, $-3 + 7 = 4$ i $5 - 2 = 3$.

37.Redukcja z odejmowaniem jednomianu ujemnego i ze współczynnikiem 1

Odjęcie jednomianu ujemnego to dodanie jednomianu przeciwnego: $3x - (-2x) = 3x + 2x = 5x$. Litera bez liczby ma współczynnik 1, więc $5y - y = 4y$, $-y - y = -2y$, a $4 - 9b - (-b) = 4 - 9b + b = 4 - 8b$.

38.Wartość sumy algebraicznej - najpierw redukcja

Dla każdej liczby wartość wyrażenia po redukcji jest taka sama jak przed redukcją, więc najpierw redukujemy, potem wstawiamy liczbę. $5x - 2 + x^2 - 4x - x^2 + 3 = x + 1$, bo $x^2 - x^2 = 0$. Dla $x = -4$ wartość to $-4 + 1 = -3$ - tyle samo wyjdzie po wstawieniu $-4$ do całej sumy.

39.Obwód figury w postaci sumy algebraicznej

Obwód to suma długości wszystkich boków, więc dodajemy wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne. Trójkąt o bokach $2a$, $a + 3$ i $3a - 1$ ma obwód $2a + a + 3 + 3a - 1 = 6a + 2$. Dla $a = 2$ boki mają 4, 5 i 5, a obwód $6 \cdot 2 + 2 = 14$.

40.Typowe błędy przy redukcji wyrazów podobnych

Dodajemy tylko jednomiany podobne: $2x + 3y$ zostaje bez zmian, a nie $5xy$. Przy redukcji litery i wykładniki się nie zmieniają: $x + x = 2x$, a nie $x^2$, oraz $3x^2 - x^2 = 2x^2$, a nie $3$ ani $2x^4$.