Pola wielokątów i układ współrzędnych - Matematyka z plusem 7

1.Figury złożone z tych samych części

Jeśli dwie figury są ułożone z tych samych elementów, to mają równe pola, choć mogą mieć różne kształty i obwody. Tak działa tangram - stara chińska układanka z siedmiu elementów. Z tej zasady wyprowadzamy wzory na pola: figurę rozcinamy i układamy z niej prostokąt.

2.Pole równoległoboku

Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru $P = a \cdot h$, gdzie $a$ to długość boku, a $h$ to wysokość opuszczona na ten bok. Trójkąt odcięty wysokością można przenieść na drugą stronę - powstaje prostokąt o bokach $a$ i $h$. Np. $a = 9$ cm, $h = 4$ cm: $P = 9 \cdot 4 = 36~\mathrm{cm^2}$.

3.Dwie wysokości równoległoboku

Równoległobok ma dwie różne wysokości: jedną opuszczoną na bok $a$, drugą na bok $b$. Pole jest jedno: $P = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Gdy znamy pole, wysokość obliczamy dzieleniem, np. boki 8 cm i 5 cm, wysokość na bok 8 cm ma 4 cm: $P = 32~\mathrm{cm^2}$, więc wysokość na bok 5 cm ma $32 : 5 = 6{,}4$ cm.

4.Wysokość, która pada na przedłużenie boku

Wysokość to odcinek prostopadły do prostej, na której leży bok. W równoległoboku o kącie ostrym albo w trójkącie rozwartokątnym wysokość może paść poza bok, na jego przedłużenie. Wzory na pole działają tak samo: mnożymy bok przez wysokość opuszczoną na prostą zawierającą ten bok.

5.Pole rombu z przekątnych

Pole rombu o przekątnych $e$ i $f$ obliczamy ze wzoru $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Przekątne dzielą romb na cztery trójkąty, z których można ułożyć prostokąt o bokach $f$ i $\frac{e}{2}$. Np. przekątne 6 cm i 9 cm: $P = \frac{6 \cdot 9}{2} = 27~\mathrm{cm^2}$.

6.Pole rombu jako równoległoboku

Romb jest równoległobokiem, więc jego pole to też $P = a \cdot h$. Dwa wzory razem pozwalają obliczyć brakującą długość. Np. romb o boku 10 cm i wysokości 9,6 cm ma pole $10 \cdot 9{,}6 = 96~\mathrm{cm^2}$; gdy jedna przekątna ma 12 cm, druga ma $2 \cdot 96 : 12 = 16$ cm.

7.Pole kwadratu z długości przekątnej

Kwadrat jest rombem o równych przekątnych, więc jego pole to $P = \frac{d \cdot d}{2}$, gdzie $d$ to przekątna. Np. przekątna 8 cm: $P = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32~\mathrm{cm^2}$.

8.Pole trójkąta

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru $P = \frac{a \cdot h}{2}$, gdzie $a$ to długość podstawy, a $h$ to wysokość opuszczona na tę podstawę. Z dwóch takich trójkątów można złożyć równoległobok o boku $a$ i wysokości $h$, więc trójkąt ma połowę jego pola. Np. $a = 10$ cm, $h = 3$ cm: $P = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15~\mathrm{cm^2}$.

9.Pole trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest wysokością opuszczoną na drugą. Dlatego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych: $P = \frac{a \cdot b}{2}$. Np. przyprostokątne 6 cm i 8 cm: $P = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24~\mathrm{cm^2}$.

10.Jak obliczyć wysokość trójkąta, gdy znamy pole i podstawę?

Ze wzoru $P = \frac{a \cdot h}{2}$ wynika, że $h = 2P : a$: podwajamy pole i dzielimy przez podstawę. Np. $P = 30~\mathrm{cm^2}$, $a = 12$ cm: $h = 60 : 12 = 5$ cm. Sprawdzenie: $\frac{12 \cdot 5}{2} = 30$.

11.Różne wysokości tego samego trójkąta

Trójkąt ma trzy wysokości, po jednej na każdy bok, a pole jest jedno: $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c = 2P$. Np. trójkąt prostokątny o bokach 6, 8 i 10 ma pole $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$, więc wysokość opuszczona na bok 10 ma $48 : 10 = 4{,}8$.

12.Czy pole zależy od długości boków?

Pole trójkąta zależy od podstawy i wysokości, a nie od tego, jak długie są pozostałe boki. Trójkąt o bardzo długich bokach może mieć małe pole, gdy jest bardzo płaski. Np. podstawa 5 m i wysokość 2 mm: $P = \frac{5000 \cdot 2}{2} = 5000~\mathrm{mm^2} = 50~\mathrm{cm^2}$.

13.Trójkąt wpisany w prostokąt

Gdy podstawą trójkąta jest bok prostokąta, a trzeci wierzchołek leży na przeciwległym boku, to wysokość trójkąta jest równa drugiemu bokowi prostokąta. Taki trójkąt ma zawsze połowę pola prostokąta, gdziekolwiek leży trzeci wierzchołek. Np. prostokąt o polu $40~\mathrm{cm^2}$ - trójkąt ma $20~\mathrm{cm^2}$.

14.Pole trapezu

Pole trapezu o podstawach $a$ i $b$ i wysokości $h$ obliczamy ze wzoru $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Z dwóch takich trapezów można złożyć równoległobok o podstawie $a + b$ i wysokości $h$. Np. $a = 9$ cm, $b = 5$ cm, $h = 4$ cm: $P = \frac{14 \cdot 4}{2} = 28~\mathrm{cm^2}$.

15.Pole trapezu przez podział na prostokąt i trójkąty

Wysokości z końców krótszej podstawy dzielą trapez na prostokąt i dwa trójkąty prostokątne. Np. krótsza podstawa 3, odcinki dłuższej podstawy 2, 3 i 4, wysokość 2: $\frac{2 \cdot 2}{2} + 3 \cdot 2 + \frac{4 \cdot 2}{2} = 2 + 6 + 4 = 12$. Ze wzoru: $\frac{(9 + 3) \cdot 2}{2} = 12$ - wynik ten sam.

16.Jak obliczyć wysokość trapezu, gdy znamy pole i podstawy?

Ze wzoru na pole: $h = 2P : (a + b)$ - podwajamy pole i dzielimy przez sumę podstaw. Np. $P = 45~\mathrm{cm^2}$, podstawy 11 cm i 7 cm: $h = 90 : 18 = 5$ cm.

17.Pole trapezu prostokątnego

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstaw jest jego wysokością. Np. podstawy 6 cm i 4 cm, ramię prostopadłe 3 cm: $P = \frac{(6 + 4) \cdot 3}{2} = 15~\mathrm{cm^2}$.

18.Trapez równoramienny z kątem $45^\circ$ przy podstawie

Wysokość odcina przy dłuższej podstawie trójkąt prostokątny o kątach $45^\circ$ i $45^\circ$, więc jest on równoramienny: wysokość równa się skrajnemu odcinkowi podstawy. Np. podstawy 10 i 4: skrajny odcinek $(10 - 4) : 2 = 3$, więc $h = 3$ i $P = \frac{(10 + 4) \cdot 3}{2} = 21$.

19.Pole figury, gdy długości są w różnych jednostkach

Przed użyciem wzoru zamieniamy wszystkie długości na tę samą jednostkę; wynik dostajemy w tej jednostce do kwadratu. Np. trójkąt o podstawie 2 dm i wysokości 15 cm: $2~\mathrm{dm} = 20~\mathrm{cm}$, $P = \frac{20 \cdot 15}{2} = 150~\mathrm{cm^2}$.

20.Deltoid i jego pole

Deltoid to czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równej długości. Przekątne deltoidu są prostopadłe, a jego pole obliczamy jak pole rombu: $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Np. przekątne 10 cm i 6 cm: $P = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30~\mathrm{cm^2}$.

21.Układ współrzędnych

Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe: pozioma oś $x$ i pionowa oś $y$. Punkt ich przecięcia to początek układu współrzędnych, ma współrzędne $(0, 0)$. Położenie każdego punktu płaszczyzny opisują dwie liczby - jak położenie miasta na mapie opisują długość i szerokość geograficzna.

22.Współrzędne punktu

Punkt zapisujemy jako parę liczb $(x, y)$. Pierwsza liczba to współrzędna $x$, odczytywana na osi poziomej, druga - współrzędna $y$, odczytywana na osi pionowej. Np. $A = (4, 3)$: 4 w prawo i 3 w górę od początku układu; $B = (-2, 4)$: 2 w lewo i 4 w górę; $C = (-3, -2)$: 3 w lewo i 2 w dół.

23.Jak zaznaczyć punkt o danych współrzędnych?

1. Zaczynamy w początku układu $(0, 0)$. 2. Pierwsza współrzędna mówi, o ile przesunąć się poziomo: dodatnia - w prawo, ujemna - w lewo. 3. Druga mówi, o ile przesunąć się pionowo: dodatnia - w górę, ujemna - w dół. Np. $(5, -1)$: 5 jednostek w prawo i 1 w dół.

24.Punkty leżące na osiach układu

Punkty na osi $x$ mają drugą współrzędną równą 0, np. $(-2, 0)$. Punkty na osi $y$ mają pierwszą współrzędną równą 0, np. $(0, 3)$. Początek układu $(0, 0)$ leży na obu osiach.

25.Ćwiartki układu współrzędnych

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. I ćwiartka (prawa górna): obie współrzędne dodatnie. II (lewa górna): $x$ ujemne, $y$ dodatnie. III (lewa dolna): obie ujemne. IV (prawa dolna): $x$ dodatnie, $y$ ujemne. Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.

26.Odcięta i rzędna

Oś pozioma to oś odciętych, a oś pionowa to oś rzędnych. Pierwsza współrzędna punktu to jego odcięta, a druga - rzędna. Np. punkt $(7, -2)$ ma odciętą 7 i rzędną $-2$.

27.Jednostka w układzie współrzędnych

Odcinek jednostkowy ma długość 1. Na osiach liczba 1 nie musi stać przy pierwszej kratce - jednostkę dobiera się do zadania. Np. gdy 1 stoi przy drugiej kratce, jedna kratka to $\frac{1}{2}$; gdy 10 stoi przy czwartej kratce, jedna kratka to $2{,}5$. Przed odczytaniem współrzędnych sprawdź, ile znaczy kratka.

28.Punkty o tej samej odciętej albo o tej samej rzędnej

Punkty o tej samej pierwszej współrzędnej leżą na jednej prostej pionowej, prostopadłej do osi $x$, np. $(3, -1)$, $(3, 2)$, $(3, 6)$. Punkty o tej samej drugiej współrzędnej leżą na jednej prostej poziomej, np. $(-4, 5)$, $(0, 5)$, $(2, 5)$.

29.Długość odcinka poziomego w układzie współrzędnych

Gdy końce odcinka mają tę samą drugą współrzędną, odcinek jest poziomy. Jego długość to różnica pierwszych współrzędnych: większa minus mniejsza. Np. $K = (-3, 2)$, $L = (5, 2)$: $KL = 5 - (-3) = 8$ - tyle kratek dzieli punkty.

30.Długość odcinka pionowego w układzie współrzędnych

Gdy końce odcinka mają tę samą pierwszą współrzędną, odcinek jest pionowy. Jego długość to różnica drugich współrzędnych: większa minus mniejsza. Np. $P = (4, -2)$, $R = (4, 5)$: $PR = 5 - (-2) = 7$.

31.Pole trójkąta o wierzchołkach w punktach kratowych

Wybieramy bok poziomy (albo pionowy) jako podstawę i liczymy jego długość z różnicy współrzędnych. Wysokość to odległość trzeciego wierzchołka od prostej podstawy. Np. $A = (-2, 1)$, $B = (4, 1)$, $C = (1, 5)$: $AB = 6$, wysokość $5 - 1 = 4$, $P = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$.

32.Pole czworokąta o wierzchołkach w punktach kratowych

Rozpoznajemy figurę i odczytujemy z kratek potrzebne długości. Np. $A = (0, 0)$, $B = (6, 0)$, $C = (4, 3)$, $D = (1, 3)$ to trapez: boki $AB$ i $DC$ są poziome, $AB = 6$, $DC = 4 - 1 = 3$, wysokość 3. Pole: $\frac{(6 + 3) \cdot 3}{2} = 13{,}5$.

33.Pole wielokąta przez uzupełnienie do prostokąta

Gdy figury nie da się łatwo podzielić, otaczamy ją prostokątem o bokach wzdłuż kratek i od jego pola odejmujemy pola części, które do figury nie należą. Np. prostokąt $5 \cdot 4 = 20$ bez dwóch trójkątów prostokątnych o polach 3 i 2 daje figurę o polu $20 - 3 - 2 = 15$.

34.Jak znaleźć czwarty wierzchołek prostokąta o bokach wzdłuż kratek?

Boki takiego prostokąta są poziome i pionowe, więc czwarty wierzchołek ma pierwszą współrzędną jednego z sąsiednich wierzchołków, a drugą - drugiego. Np. $A = (-3, -1)$, $B = (2, -1)$, $C = (2, 4)$: czwarty wierzchołek $D = (-3, 4)$ - odcięta jak w $A$, rzędna jak w $C$.

35.Jak znaleźć czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$, gdy znamy $A$, $B$ i $D$?

Bok $DC$ jest równoległy i równy bokowi $AB$, więc od $D$ do $C$ przesuwamy się tak samo jak od $A$ do $B$. Np. $A = (0, 0)$, $B = (5, 0)$, $D = (2, 3)$: z $A$ do $B$ jest 5 w prawo, więc $C = (2 + 5, 3) = (7, 3)$.

36.Kto wymyślił układ współrzędnych?

Za twórcę metody łączącej geometrię z algebrą za pomocą układu współrzędnych uważa się francuskiego matematyka i filozofa René Descartes'a, zwanego Kartezjuszem (1596-1650). Dzięki układowi figury można opisywać liczbami, równaniami i nierównościami.

37.Ile razy jedna powierzchnia jest większa od drugiej?

Zamieniamy obie powierzchnie na tę samą jednostkę i dzielimy większą przez mniejszą. Np. $300~\mathrm{cm^2}$ i $300~\mathrm{mm^2}$: $300~\mathrm{cm^2} = 30\,000~\mathrm{mm^2}$, a $30\,000 : 300 = 100$, więc pierwsza jest 100 razy większa. Te same liczby nie znaczą, że powierzchnie są równe.

38.Wspólny bok w uzasadnianiu przystawania trójkątów

Gdy przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, jest ona bokiem obu trójkątów - to gotowa para równych boków. Np. czworokąt $ABCD$ z przekątną $AC$, w którym $AB = CD$ i $BC = DA$: trójkąty $ABC$ i $CDA$ mają też wspólny bok $AC$, więc są przystające z cechy bbb.

39.Kąty przy liniach kratki albo płytek

Linie poziome kratki są do siebie równoległe, linie pionowe też, a pozioma z pionową tworzą kąt prosty. Gdy odcinek przecina linie kratki, korzystamy z kątów odpowiadających, naprzemianległych i przyległych. Np. odcinek tworzy z linią poziomą kąt $35^\circ$, więc z linią pionową tworzy kąt $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

40.Sumy kątów, które warto pamiętać

Kąty przyległe: $180^\circ$ (kąt półpełny). Kąty trójkąta: $180^\circ$. Kąty ostre trójkąta prostokątnego: $90^\circ$. Kąty czworokąta: $360^\circ$ (kąt pełny). Kąty przy jednym ramieniu trapezu albo przy jednym boku równoległoboku: $180^\circ$.