Czworokąty, wielokąty foremne i jednostki pola - Matematyka z plusem 7

1.Suma miar kątów czworokąta

Suma miar kątów każdego czworokąta wynosi $360^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$. Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a w każdym suma kątów to $180^\circ$. Np. gdy trzy kąty mają $100^\circ$, $70^\circ$ i $120^\circ$, czwarty ma $360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$.

2.Trapez

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy trapezu, a dwa pozostałe boki to ramiona.

3.Kąty przy ramieniu trapezu

Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa $180^\circ$: $\alpha + \delta = 180^\circ$ i $\beta + \gamma = 180^\circ$. Wynika to z kątów odpowiadających przy równoległych podstawach. Np. gdy kąt przy dolnej podstawie ma $65^\circ$, kąt przy tym samym ramieniu i górnej podstawie ma $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

4.Trapez równoramienny

Trapez równoramienny ma ramiona jednakowej długości. Jeśli nie jest równoległobokiem, to kąty przy tej samej podstawie mają równe miary. Np. gdy jeden kąt przy dłuższej podstawie ma $70^\circ$, kąty trapezu to $70^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$ i $110^\circ$.

5.Trapez prostokątny

Trapez prostokątny to trapez, w którym co najmniej jedno ramię jest prostopadłe do podstaw. Przy tym ramieniu ma dwa kąty proste. Np. gdy jego kąt ostry ma $65^\circ$, czwarty kąt ma $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

6.Równoległobok

Równoległobok to czworokąt o dwóch parach boków równoległych. Przeciwległe boki równoległoboku mają równe długości: $AB = DC$ i $AD = BC$. Każdy równoległobok jest też trapezem.

7.Przekątne równoległoboku

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie: gdy $S$ jest punktem ich przecięcia, to $AS = SC$ i $BS = SD$. Np. przy przekątnych 10 cm i 6 cm odcinki od $S$ do wierzchołków mają 5 cm i 3 cm. Przekątne równoległoboku nie muszą być równe ani prostopadłe.

8.Kąty równoległoboku

Suma miar kątów równoległoboku leżących przy tym samym boku wynosi $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$. Kąty przeciwległe są równe. Np. gdy jeden kąt ma $60^\circ$, kąty równoległoboku to $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ i $120^\circ$.

9.Romb

Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Każdy romb jest równoległobokiem, więc ma wszystkie jego własności: przeciwległe boki są równoległe, kąty przeciwległe są równe, a kąty przy jednym boku dają razem $180^\circ$.

10.Przekątne rombu

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są prostopadłe: $AC \perp BD$, $AS = SC$, $BS = SD$. Działa to też w drugą stronę: jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie i są prostopadłe, to ten czworokąt jest rombem.

11.Prostokąt i jego przekątne

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. Przekątne prostokąta mają jednakową długość i przecinają się w połowie: $AC = BD$, $AS = SC$, $BS = SD$. Dlatego punkt $S$ jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków.

12.Kwadrat i jego przekątne

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości, więc jest też rombem. Przekątne kwadratu mają jednakową długość, przecinają się w połowie i są prostopadłe: $AC = BD$, $AC \perp BD$, $AS = SC$, $BS = SD$.

13.Jak rozpoznać czworokąt po jego przekątnych?

Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to jest on równoległobokiem. Jeśli przecinają się w połowie i są prostopadłe, to jest rombem. Jeśli przecinają się w połowie i mają równą długość, to jest prostokątem. Gdy przecinają się w połowie, są prostopadłe i mają równą długość, to jest kwadratem.

14.Zależności między czworokątami

Kwadrat jest prostokątem i rombem. Prostokąt i romb są równoległobokami. Równoległobok jest trapezem, bo ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Nie działa to w drugą stronę: nie każdy trapez jest równoległobokiem, a nie każdy romb jest kwadratem.

15.Jak obliczyć dłuższą podstawę trapezu równoramiennego, gdy znamy krótszą podstawę i odcinki przy wysokościach?

Wysokości poprowadzone z końców krótszej podstawy dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki. Środkowy jest równy krótszej podstawie, a dwa skrajne są równe sobie. Np. krótsza podstawa 5 cm i skrajne odcinki po 2 cm: dłuższa podstawa ma $2 + 5 + 2 = 9$ cm.

16.Wielokąt foremny

Wielokąt foremny ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty jednakowej miary. Przykłady: trójkąt równoboczny (trójkąt foremny), kwadrat (czworokąt foremny), pięciokąt, sześciokąt, ośmiokąt i dwunastokąt foremny.

17.Dlaczego romb i prostokąt, które nie są kwadratami, nie są wielokątami foremnymi?

Taki romb ma wszystkie boki równe, ale jego kąty nie są równe. Taki prostokąt ma wszystkie kąty równe, ale jego boki nie są równe. Wielokąt foremny musi mieć jednocześnie równe boki i równe kąty - spośród czworokątów ma to tylko kwadrat.

18.Podział wielokąta foremnego na trójkąty

Wierzchołki wielokąta foremnego leżą na okręgu. Odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami dzielą $n$-kąt foremny na $n$ przystających trójkątów równoramiennych. Kąt każdego z nich przy środku okręgu ma $360^\circ : n$, np. w pięciokącie $360^\circ : 5 = 72^\circ$.

19.Jak obliczyć miarę kąta wielokąta foremnego?

1. Kąt trójkąta przy środku to $360^\circ : n$. 2. Kąty przy podstawie tego trójkąta równoramiennego mają po ($180^\circ$ minus kąt przy środku) $: 2$. 3. Kąt wielokąta to dwa takie kąty. Np. ośmiokąt: $360^\circ : 8 = 45^\circ$, $(180^\circ - 45^\circ) : 2 = 67{,}5^\circ$, kąt ośmiokąta $2 \cdot 67{,}5^\circ = 135^\circ$.

20.Miary kątów kilku wielokątów foremnych

Trójkąt równoboczny: $60^\circ$, kwadrat: $90^\circ$, pięciokąt foremny: $108^\circ$, sześciokąt foremny: $120^\circ$, ośmiokąt foremny: $135^\circ$, dwunastokąt foremny: $150^\circ$. Im więcej boków, tym większy kąt, ale zawsze mniejszy niż $180^\circ$.

21.Sześciokąt foremny

Odcinki ze środka do wierzchołków dzielą sześciokąt foremny na 6 trójkątów równobocznych, bo kąt przy środku ma $360^\circ : 6 = 60^\circ$. Dlatego bok sześciokąta jest równy promieniowi okręgu, a najdłuższa przekątna ma długość dwóch boków. Sześciokąt konstruujemy, odkładając na okręgu cyrklem 6 razy jego promień.

22.Jak obliczyć liczbę boków wielokąta foremnego, gdy znamy jego kąt?

Kąt trójkąta przy środku to $180^\circ$ minus kąt wielokąta. Liczba boków to $360^\circ$ podzielone przez ten kąt. Np. kąt $165^\circ$: $180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$, $360^\circ : 15^\circ = 24$ boki. Gdy dzielenie nie daje liczby całkowitej, taki wielokąt foremny nie istnieje.

23.Które wielokąty foremne można skonstruować cyrklem i linijką?

Cyrklem i linijką można skonstruować m.in. trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, ośmiokąt i dziesięciokąt foremny. Siedmiokąta i dziewięciokąta foremnego nie da się tak skonstruować - udowodniono to dopiero w XIX wieku.

24.Pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$ obliczamy ze wzoru $P = a \cdot b$. Wzoru używamy tylko wtedy, gdy oba boki są wyrażone w tej samej jednostce. Np. prostokąt o bokach 6 cm i 4 cm ma pole $6 \cdot 4 = 24~\mathrm{cm^2}$.

25.Pole kwadratu

Pole kwadratu o boku $a$ obliczamy ze wzoru $P = a^2$, czyli $P = a \cdot a$. Np. kwadrat o boku 7 cm ma pole $7^2 = 49~\mathrm{cm^2}$.

26.Jak obliczyć pole kwadratu z obwodu, a obwód z pola?

Z obwodu: dzielimy obwód przez 4 i otrzymany bok podnosimy do kwadratu, np. obwód 20 cm: bok $20 : 4 = 5$ cm, pole $5^2 = 25~\mathrm{cm^2}$. Z pola: szukamy liczby, której kwadrat jest równy polu, i mnożymy ją przez 4, np. pole $49~\mathrm{cm^2}$: bok 7 cm, obwód $4 \cdot 7 = 28$ cm.

27.Jak obliczyć pole prostokąta, gdy boki są w różnych jednostkach?

Najpierw zamieniamy długości na tę samą jednostkę, a dopiero potem mnożymy. Np. boki 3 m i 40 cm: $300~\mathrm{cm} \cdot 40~\mathrm{cm} = 12\,000~\mathrm{cm^2}$ albo $3~\mathrm{m} \cdot 0{,}4~\mathrm{m} = 1{,}2~\mathrm{m^2}$. Oba wyniki oznaczają to samo pole.

28.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znamy pole i jeden bok?

Dzielimy pole przez znany bok: $b = P : a$. Jednostki muszą do siebie pasować: pole w $\mathrm{cm^2}$ dzielimy przez bok w cm i otrzymujemy wynik w cm. Np. $P = 48~\mathrm{cm^2}$, $a = 6$ cm, więc $b = 48 : 6 = 8$ cm.

29.Jednostki pola

Jednostki pola to pola kwadratów o boku jednej jednostki długości: milimetr kwadratowy ($1~\mathrm{mm^2}$), centymetr kwadratowy ($1~\mathrm{cm^2}$), decymetr kwadratowy ($1~\mathrm{dm^2}$), metr kwadratowy ($1~\mathrm{m^2}$) i kilometr kwadratowy ($1~\mathrm{km^2}$). Powierzchnie działek i pól podaje się też w arach i hektarach.

30.Skąd się biorą zależności między jednostkami pola?

Wynikają z zależności między jednostkami długości. $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, więc $1~\mathrm{cm^2} = 10~\mathrm{mm} \cdot 10~\mathrm{mm} = 100~\mathrm{mm^2}$. Przelicznik długości mnożymy przez siebie, dlatego sąsiednie jednostki $\mathrm{mm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{m^2}$ różnią się 100 razy, a nie 10 razy.

31.Najważniejsze zależności między jednostkami pola

$1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$, $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{dm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$ (bo $100 \cdot 100 = 10\,000$), $1~\mathrm{km^2} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2}$ (bo $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$ i $1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000$).

32.Jak zamienić pole na mniejszą jednostkę?

Zapisujemy, ile mniejszych jednostek ma jedna większa, i mnożymy przez tę liczbę. Np. $0{,}6~\mathrm{m^2}$ na $\mathrm{cm^2}$: $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{cm} \cdot 100~\mathrm{cm} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$, więc $0{,}6~\mathrm{m^2} = 0{,}6 \cdot 10\,000~\mathrm{cm^2} = 6000~\mathrm{cm^2}$.

33.Jak zamienić pole na większą jednostkę?

Zapisujemy, jaką częścią większej jednostki jest jedna mniejsza, i mnożymy przez tę liczbę. Np. $3200~\mathrm{m^2}$ na $\mathrm{km^2}$: $1~\mathrm{m^2} = 0{,}001~\mathrm{km} \cdot 0{,}001~\mathrm{km} = 0{,}000001~\mathrm{km^2}$, więc $3200~\mathrm{m^2} = 3200 \cdot 0{,}000001~\mathrm{km^2} = 0{,}0032~\mathrm{km^2}$.

34.Zależności odwrotne między jednostkami pola

$1~\mathrm{mm^2} = 0{,}01~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{cm^2} = 0{,}01~\mathrm{dm^2}$, $1~\mathrm{cm^2} = 0{,}0001~\mathrm{m^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 0{,}000001~\mathrm{km^2}$. Wynikają z mnożenia: $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$, $0{,}01 \cdot 0{,}01 = 0{,}0001$, $0{,}001 \cdot 0{,}001 = 0{,}000001$.

35.Ar

Jeden ar ($1~\mathrm{a}$) to pole kwadratu o boku 10 m: $1~\mathrm{a} = 10~\mathrm{m} \cdot 10~\mathrm{m} = 100~\mathrm{m^2}$. W arach podaje się np. powierzchnię działek. Nazwa pochodzi od łacińskiego słowa area, czyli plac.

36.Hektar

Jeden hektar ($1~\mathrm{ha}$) to pole kwadratu o boku 100 m: $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{m} \cdot 100~\mathrm{m} = 10\,000~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{a}$. Przedrostek hekto- oznacza sto razy więcej, więc hektar to sto arów. Ponadto $1~\mathrm{km^2} = 100~\mathrm{ha}$.

37.Jak zamienić metry kwadratowe na ary i hektary?

Korzystamy z zależności $1~\mathrm{m^2} = 0{,}01~\mathrm{a}$ i $1~\mathrm{m^2} = 0{,}0001~\mathrm{ha}$. Np. $630~\mathrm{m^2} = 630 \cdot 0{,}01~\mathrm{a} = 6{,}3~\mathrm{a}$, a $5400~\mathrm{m^2} = 5400 \cdot 0{,}0001~\mathrm{ha} = 0{,}54~\mathrm{ha}$. W drugą stronę mnożymy: $2{,}5~\mathrm{ha} = 2{,}5 \cdot 10\,000~\mathrm{m^2} = 25\,000~\mathrm{m^2}$.

38.Jak porównać powierzchnie podane w różnych jednostkach?

Zamieniamy wszystkie powierzchnie na tę samą jednostkę, np. na $\mathrm{m^2}$, i dopiero wtedy porównujemy. Np. $0{,}4~\mathrm{ha} = 4000~\mathrm{m^2}$, a $35~\mathrm{a} = 3500~\mathrm{m^2}$, więc $0{,}4~\mathrm{ha}$ to więcej niż $35~\mathrm{a}$.

39.Jak obliczyć pole figury złożonej z prostokątów?

Dzielimy figurę na prostokąty i dodajemy ich pola albo uzupełniamy ją do dużego prostokąta i odejmujemy pole brakującej części. Np. prostokąt 8 m na 5 m bez prostokąta 3 m na 2 m w rogu ma pole $8 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 40 - 6 = 34~\mathrm{m^2}$.

40.Metr bieżący a metr kwadratowy

Wykładzinę sprzedaje się z rolki o stałej szerokości. Metr bieżący to kawałek o długości 1 m i szerokości rolki, więc jego pole to szerokość razy 1 m. Np. przy szerokości 4 m metr bieżący ma $4~\mathrm{m^2}$; gdy kosztuje 60 zł, to $1~\mathrm{m^2}$ kosztuje $60 : 4 = 15$ zł.