Proste, kąty, trójkąty i przystawanie trójkątów - Matematyka z plusem 7

1.Jak oznaczamy proste, półproste i odcinki?

Prostą oznaczamy małą literą (prosta $a$) albo dwoma jej punktami (prosta $AB$). Półprosta $AB$ ma początek w punkcie $A$ i przechodzi przez punkt $B$. Odcinek oznaczamy dwiema wielkimi literami (odcinek $AB$) albo jedną małą (odcinek $b$). Zapis $AB$ oznacza też długość odcinka; długość można zapisać również jako $|AB|$.

2.Czym różni się półprosta $AB$ od półprostej $BA$?

Pierwsza litera w nazwie półprostej to jej początek. Półprosta $AB$ zaczyna się w punkcie $A$ i biegnie przez $B$ dalej bez końca, a półprosta $BA$ zaczyna się w $B$ i biegnie przez $A$. Obie zawierają odcinek $AB$, ale biegną w przeciwne strony.

3.Wzajemne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie

Dwie różne proste na płaszczyźnie albo się przecinają (mają dokładnie jeden punkt wspólny), albo nie mają punktów wspólnych - wtedy są równoległe. Szczególny przypadek prostych przecinających się to proste prostopadłe.

4.Proste prostopadłe

Dwie proste, które przecinają się pod kątem prostym ($90^\circ$), są prostopadłe. Zapisujemy to tak: $a \perp b$. Prostopadłość sprawdzamy ekierką.

5.Proste równoległe

Dwie proste, które nie mają punktów wspólnych, są równoległe. Zapisujemy to tak: $c \parallel d$. Przyjmujemy, że prosta jest równoległa sama do siebie.

6.Kiedy dwa odcinki są prostopadłe, a kiedy równoległe?

Odcinki są prostopadłe, gdy leżą na prostych prostopadłych - nie muszą mieć punktu wspólnego. Odcinki są równoległe, gdy leżą na prostych równoległych albo na jednej prostej. Przyjmujemy, że odcinek jest równoległy sam do siebie.

7.Punkty współliniowe

Punkty współliniowe to punkty, które leżą na jednej prostej. Przez dwa różne punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Trzy różne punkty mogą leżeć na jednej prostej albo nie być współliniowe.

8.Nierówność dla trzech punktów: $AB + BC \geq AC$

Dla dowolnych trzech różnych punktów $A$, $B$, $C$ zachodzi nierówność $AB + BC \geq AC$. Droga z $A$ do $C$ przez punkt $B$ nigdy nie jest krótsza od odcinka $AC$. Jest mu równa tylko wtedy, gdy $B$ leży na odcinku $AC$.

9.Jak sprawdzić, czy trzy punkty są współliniowe, gdy znamy odległości między nimi?

Jeśli $AB + BC = AC$, to punkty $A$, $B$, $C$ są współliniowe i $B$ leży między $A$ i $C$. Dodaj dwie krótsze odległości i porównaj z najdłuższą. Np. $KL = 3$, $LM = 5$, $KM = 8$: $3 + 5 = 8$, więc punkty są współliniowe, a $L$ leży między $K$ i $M$. Gdy suma jest większa, punkty nie leżą na jednej prostej.

10.Jak obliczyć długość $AC$, gdy punkt $C$ leży na prostej $AB$ i znamy $BC$?

Punkt $C$ może leżeć po jednej albo po drugiej stronie punktu $B$, więc są dwie możliwości: $AC$ to suma długości $AB$ i $BC$ albo ich różnica (dłuższa minus krótsza). Np. $AB = 6$, $BC = 2$: $AC = 6 + 2 = 8$ albo $AC = 6 - 2 = 4$.

11.Odległość punktu od prostej i odległość między prostymi równoległymi

Odległość punktu $A$ od prostej $p$ to długość odcinka $AB$ prostopadłego do $p$, gdzie punkt $B$ leży na prostej $p$. To najkrótszy odcinek łączący punkt z prostą. Odległość między prostymi równoległymi to długość odcinka prostopadłego do obu prostych, o końcach na tych prostych.

12.Konstrukcja prostej prostopadłej do prostej $k$, przechodzącej przez punkt $A$

1. Z punktu $A$ kreślimy łuk, który przecina prostą $k$ w dwóch punktach. 2. Z tych dwóch punktów kreślimy przecinające się łuki o jednakowych promieniach. 3. Przez punkt przecięcia łuków i punkt $A$ prowadzimy prostą - jest prostopadła do $k$.

13.Kąt

Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwie części. Każda z tych części razem z półprostymi to kąt. Półproste to ramiona kąta, a ich wspólny początek to wierzchołek kąta.

14.Rodzaje kątów według miary

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$. Kąt prosty ma $90^\circ$. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$. Kąt wklęsły ma więcej niż $180^\circ$ i mniej niż $360^\circ$. Kąt pełny ma $360^\circ$.

15.Jak oznaczamy kąty?

Kąty oznaczamy małymi literami greckimi: $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma), $\delta$ (delta), $\omega$ (omega) albo trzema wielkimi literami, np. $\sphericalangle ACB$. Środkowa litera to wierzchołek, a dwie pozostałe to punkty na ramionach. Półproste wyznaczają dwa kąty, więc na rysunku łukiem pokazujemy, o który chodzi. Zapis oznacza też miarę kąta.

16.Jak nazywamy kąty $\alpha$ i $\beta$ na rysunku i ile wynosi ich suma?

To kąty przyległe: mają wspólne ramię, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą. Razem dają kąt półpełny: $\alpha + \beta = 180^\circ$. Np. kąt przyległy do kąta $50^\circ$ ma $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

17.Jak nazywamy dwa kąty oznaczone na rysunku literą $\alpha$ i co wiemy o ich miarach?

To kąty wierzchołkowe: mają wspólny tylko wierzchołek, a ich ramiona leżą na dwóch przecinających się prostych. Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Kąt $\beta$ jest przyległy do każdego z nich, więc $\beta = 180^\circ - \alpha$.

18.Proste $a$ i $b$ są równoległe. Jak nazywamy zaznaczone kąty i co wiemy o ich miarach?

To kąty odpowiadające: jeden leży przy prostej $a$, drugi przy prostej $b$, w takim samym położeniu względem siecznej i swojej prostej. Prosta przecinająca dwie proste równoległe jest nachylona do każdej z nich pod takim samym kątem, więc kąty odpowiadające są równe.

19.Proste $a$ i $b$ są równoległe. Jak nazywa się ta para kątów i co wiemy o ich miarach?

To kąty naprzemianległe: leżą po przeciwnych stronach siecznej, jeden przy prostej $a$, drugi przy prostej $b$, oba między prostymi (albo oba na zewnątrz nich). Przy prostych równoległych kąty naprzemianległe są równe.

20.Minuty kątowe - jak liczyć kąty w stopniach i minutach?

Jeden stopień to 60 minut kątowych: $1^\circ = 60'$, np. $0{,}5^\circ = 30'$. Stopnie i minuty odejmujemy osobno. Jak obliczyć kąt przyległy do kąta $47^\circ 25'$? Zamieniamy $180^\circ = 179^\circ 60'$ i odejmujemy: $179^\circ 60' - 47^\circ 25' = 132^\circ 35'$.

21.Kąty wokół punktu i kąt wklęsły

Kąty, które razem wypełniają całe otoczenie punktu, mają sumę $360^\circ$ (kąt pełny). Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa kąty, które razem dają $360^\circ$. Np. gdy jeden z nich ma $130^\circ$, drugi, wklęsły, ma $360^\circ - 130^\circ = 230^\circ$.

22.Kąty na tarczy zegara

Pełny obrót wskazówki to $360^\circ$. Wskazówka minutowa obraca się o $360^\circ : 60 = 6^\circ$ na minutę. Godzinowa obraca się o $360^\circ : 12 = 30^\circ$ na godzinę, czyli o $0{,}5^\circ$ na minutę. Np. o godzinie 4:00 wskazówki tworzą kąt $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

23.Koło podzielone na równe części - jak obliczyć kąt?

Kąt pełny ma $360^\circ$, więc gdy koło podzielimy na $n$ równych części, kąt jednej części to $360^\circ : n$. Kąt obejmujący kilka części to ten kąt pomnożony przez liczbę części. Np. przy 8 częściach jedna ma $360^\circ : 8 = 45^\circ$, a trzy części to $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

24.Podział trójkątów ze względu na kąty

Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty. Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty. Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty albo rozwarty, bo suma jego kątów to $180^\circ$.

25.Podział trójkątów ze względu na boki

Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa boki równej długości - to ramiona, a trzeci bok to podstawa. Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki równe, więc jest też równoramienny. Trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.

26.Nierówność trójkąta

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków: $b + c > a$, $a + c > b$, $a + b > c$. Np. z odcinków 2 cm, 3 cm i 6 cm nie zbudujemy trójkąta, bo $2 + 3 < 6$.

27.Jak sprawdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

1. Zamień wszystkie długości na tę samą jednostkę. 2. Dodaj dwie krótsze długości. 3. Jeśli suma jest większa od najdłuższej, trójkąt istnieje; jeśli jest równa albo mniejsza, nie istnieje. Np. 40 cm, 0,5 m i 80 cm: $0{,}5~\mathrm{m} = 50~\mathrm{cm}$ i $40 + 50 = 90 > 80$, więc trójkąt istnieje.

28.Jakie długości może mieć trzeci bok trójkąta?

Trzeci bok jest dłuższy od różnicy dwóch danych boków i krótszy od ich sumy. Np. gdy dwa boki mają 4 cm i 9 cm, trzeci bok ma więcej niż $9 - 4 = 5$ cm i mniej niż $9 + 4 = 13$ cm.

29.Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów każdego trójkąta jest równa $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Gdy znamy dwa kąty, trzeci obliczamy, odejmując je od $180^\circ$. Np. przy kątach $48^\circ$ i $75^\circ$ trzeci ma $180^\circ - 48^\circ - 75^\circ = 57^\circ$.

30.Dlaczego suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$?

Przez jeden wierzchołek trójkąta prowadzimy prostą równoległą do przeciwległego boku. Przy tym wierzchołku powstają trzy kąty, które tworzą kąt półpełny. Środkowy to kąt trójkąta, a dwa boczne są równe pozostałym kątom trójkąta, bo to kąty naprzemianległe. Dlatego $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

31.Kąty w trójkącie równoramiennym

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary. Gdy kąt między ramionami ma np. $40^\circ$, każdy kąt przy podstawie ma $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$. Gdy kąt przy podstawie ma np. $65^\circ$, kąt między ramionami ma $180^\circ - 2 \cdot 65^\circ = 50^\circ$.

32.Kąty w trójkącie prostokątnym i w trójkącie równobocznym

W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi $90^\circ$, bo $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty $90^\circ$, $45^\circ$ i $45^\circ$.

33.Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny tworzą bok trójkąta i przedłużenie sąsiedniego boku. Jest przyległy do kąta trójkąta przy tym wierzchołku, więc ma $180^\circ$ minus ten kąt. Równa się też sumie dwóch pozostałych kątów trójkąta. Np. przy kątach $50^\circ$ i $60^\circ$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$.

34.Figury przystające

Figury przystające mają taki sam kształt i taką samą wielkość. Po wycięciu można je tak przyłożyć jedną do drugiej, że dokładnie się pokryją, nawet gdy jedna jest obrócona albo odwrócona.

35.Trójkąty przystające

Trójkąty przystające mają odpowiednie boki tej samej długości i odpowiednie kąty tej samej miary. Odpowiednie kąty leżą naprzeciw odpowiednich boków. Aby stwierdzić przystawanie, nie trzeba porównywać wszystkich boków i kątów - wystarczy jedna z cech przystawania: bbb, bkb albo kbk.

36.Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach $a$, $b$, $c$

1. Rysujemy dowolną prostą i zaznaczamy na niej odcinek $a$. 2. Z jednego końca odcinka $a$ kreślimy łuk o promieniu $b$, a z drugiego końca - łuk o promieniu $c$. 3. Punkt przecięcia łuków łączymy z końcami odcinka $a$.

37.Cecha przystawania bbb (bok, bok, bok)

Jeżeli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. Np. trójkąt o bokach 3, 5, 7 przystaje do trójkąta o bokach 7, 3, 5 - kąty nie są potrzebne.

38.Cecha przystawania bkb (bok, kąt, bok)

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające. Ważne: równy kąt musi leżeć między tymi dwoma bokami.

39.Cecha przystawania kbk (kąt, bok, kąt)

Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak odpowiedni bok drugiego trójkąta, a kąty leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Gdy znamy kąt naprzeciw boku, kąt przy boku obliczamy z sumy kątów $180^\circ$.

40.Jak uzasadnić, że dwa trójkąty są przystające?

1. Wypisz równe boki i kąty, także te odczytane z rysunku (wspólny bok, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe). 2. Brakujący kąt oblicz z sumy kątów $180^\circ$. 3. Sprawdź, do której cechy pasują dane: bbb, bkb albo kbk, i gdzie leży kąt. 4. Nazwij tę cechę. Np. bok 5 i kąty $40^\circ$ i $75^\circ$ przy nim w obu trójkątach - przystają z cechy kbk.