Objętość, ostrosłupy i rozpoznawanie brył - Matematyka z plusem 6

1.Objętość bryły

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. Jeśli bryłę da się ułożyć z jednakowych sześcianików, jej objętość to liczba tych sześcianików. Prostopadłościan z 5 sześcianików w rzędzie, 3 rzędów i 2 warstw ma objętość $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ takich jednostek.

2.Objętość prostopadłościanu - wzór

Objętość prostopadłościanu to iloczyn długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka: $V = a \cdot b \cdot c$. Dla wymiarów 6 cm, 4 cm i 5 cm: $V = 6 \cdot 4 \cdot 5 = 120~\mathrm{cm^3}$.

3.Objętość sześcianu - wzór

Sześcian ma wszystkie krawędzie równe, więc jego objętość to $V = a \cdot a \cdot a = a^3$, gdzie a to długość krawędzi. Dla krawędzi 3 cm: $V = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27~\mathrm{cm^3}$.

4.Jednostki objętości

Jednostki objętości to $\mathrm{mm^3}$, $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$, $\mathrm{m^3}$ i $\mathrm{km^3}$. $1~\mathrm{cm^3}$ to objętość sześcianu o krawędzi 1 cm, $1~\mathrm{dm^3}$ - sześcianu o krawędzi 1 dm itd. Małe przedmioty mierzymy w $\mathrm{mm^3}$ lub $\mathrm{cm^3}$, pokój w $\mathrm{m^3}$, a wodę w jeziorze w $\mathrm{km^3}$.

5.Zależności między jednostkami objętości

Sześcian o krawędzi 1 dm = 10 cm ma objętość $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000~\mathrm{cm^3}$. Tak samo: $1~\mathrm{cm^3} = 1000~\mathrm{mm^3}$, $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3} = 1\,000\,000~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{km^3} = 1\,000\,000\,000~\mathrm{m^3}$.

6.Jak zamieniać jednostki objętości?

Między $\mathrm{mm^3}$, $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$ i $\mathrm{m^3}$ sąsiednie jednostki różnią się 1000 razy. Na mniejszą jednostkę mnożymy przez 1000 (przecinek o 3 miejsca w prawo): $3{,}5~\mathrm{dm^3} = 3500~\mathrm{cm^3}$. Na większą dzielimy przez 1000 (przecinek o 3 miejsca w lewo): $2400~\mathrm{cm^3} = 2{,}4~\mathrm{dm^3}$.

7.Objętość - te same jednostki

Przed mnożeniem wymiarów wyraź je w tej samej jednostce. Prostopadłościan 2 dm × 15 cm × 4 cm: zamieniamy 2 dm na 20 cm, więc $V = 20 \cdot 15 \cdot 4 = 1200~\mathrm{cm^3}$, czyli $1{,}2~\mathrm{dm^3}$.

8.Litr i mililitr

Litr i mililitr to jednostki objętości cieczy i gazów oraz pojemności naczyń. 1 litr płynu wypełnia naczynie w kształcie sześcianu o krawędzi 1 dm, więc $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$. Ponadto $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$ i $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$.

9.Hektolitr i centylitr

1 hektolitr (1 hl) to 100 razy więcej niż litr: $1~\mathrm{hl} = 100~\mathrm{l}$. 1 centylitr (1 cl) to 100 razy mniej niż litr: $1~\mathrm{cl} = 0{,}01~\mathrm{l} = 10~\mathrm{ml}$. Butelka 50 cl ma więc 500 ml, czyli pół litra.

10.Jak obliczyć pojemność naczynia w litrach?

Wyraź wymiary w decymetrach, oblicz objętość w $\mathrm{dm^3}$ - wynik od razu jest w litrach. Akwarium 80 cm × 25 cm × 30 cm to 8 dm × 2,5 dm × 3 dm: $8 \cdot 2{,}5 \cdot 3 = 60~\mathrm{dm^3} = 60~\mathrm{l}$. Można też liczyć w $\mathrm{cm^3}$: $80 \cdot 25 \cdot 30 = 60\,000~\mathrm{cm^3} = 60\,000~\mathrm{ml} = 60~\mathrm{l}$.

11.Ile waży woda?

1 l wody waży 1 kg. Ponieważ $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{l}$, to $1~\mathrm{m^3}$ wody waży 1000 kg, czyli 1 t. Basen 10 m × 4 m × 2 m mieści $10 \cdot 4 \cdot 2 = 80~\mathrm{m^3}$ wody, która waży 80 t.

12.Wysokość graniastosłupa

Wysokość graniastosłupa to odcinek, który łączy jego podstawy i jest do nich prostopadły. Wysokością nazywamy też długość takiego odcinka. W graniastosłupie prostym każda krawędź boczna jest wysokością graniastosłupa.

13.Objętość graniastosłupa prostego - wzór

Objętość graniastosłupa zależy od pola podstawy i od wysokości: $V = P_p \cdot h$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a h - wysokość. Gdy $P_p = 15~\mathrm{cm^2}$, a $h = 4$ cm: $V = 15 \cdot 4 = 60~\mathrm{cm^3}$. Długości muszą być w tej samej jednostce.

14.Jak obliczyć objętość graniastosłupa trójkątnego?

1) Oblicz pole trójkąta w podstawie. Dla trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych. 2) Pomnóż je przez wysokość graniastosłupa. Przyprostokątne 6 cm i 4 cm, wysokość 10 cm: $P_p = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12~\mathrm{cm^2}$, $V = 12 \cdot 10 = 120~\mathrm{cm^3}$.

15.Jak zmienia się objętość graniastosłupa?

Gdy podstawa się nie zmienia, a wysokość wzrośnie 2 razy, objętość też wzrośnie 2 razy (3 razy wyższy - 3 razy większa objętość). Tak samo przy tej samej wysokości: im większe pole podstawy, tym większa objętość.

16.Jak obliczyć wysokość graniastosłupa z objętości?

Ze wzoru $V = P_p \cdot h$ wynika, że $h = V : P_p$ - objętość dzielimy przez pole podstawy. Gdy $V = 150~\mathrm{cm^3}$, a $P_p = 25~\mathrm{cm^2}$: $h = 150 : 25 = 6$ cm. Sprawdzenie: $25 \cdot 6 = 150$.

17.Pole podstawy graniastosłupa - wzory

Pole podstawy liczymy wzorem na pole danego wielokąta: kwadrat $a \cdot a$, prostokąt $a \cdot b$, równoległobok $a \cdot h$, romb $\frac{e \cdot f}{2}$ (przekątne), trójkąt $\frac{a \cdot h}{2}$, trapez $\frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Romb o przekątnych 6 cm i 8 cm: $P_p = 24~\mathrm{cm^2}$, a przy wysokości 5 cm $V = 24 \cdot 5 = 120~\mathrm{cm^3}$.

18.Graniastosłup leżący - co jest podstawą?

Basen z pochyłym dnem albo namiot to graniastosłup leżący: podstawą jest ściana boczna basenu lub przód namiotu, a wysokością - szerokość basenu lub długość namiotu. Basen o długości 20 m, głębokości 1 m i 3 m oraz szerokości 10 m: $P_p = \frac{(1 + 3) \cdot 20}{2} = 40~\mathrm{m^2}$, $V = 40 \cdot 10 = 400~\mathrm{m^3}$.

19.Ostrosłup

Ostrosłup to bryła, która ma jedną podstawę - wielokąt - oraz ściany boczne, które są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Ten wspólny punkt to wierzchołek ostrosłupa. Kształt ostrosłupa o podstawie kwadratu mają piramidy egipskie.

20.Elementy ostrosłupa

W ostrosłupie wskazujemy: podstawę, ściany boczne, krawędzie podstawy, krawędzie boczne (łączą wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkami podstawy), wierzchołki podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

21.Jak nazywamy tę bryłę?

To ostrosłup trójkątny. Nazwę ostrosłupa bierzemy od podstawy: podstawa trójkąt - ostrosłup trójkątny, czworokąt - czworokątny, pięciokąt - pięciokątny itd. Ostrosłup trójkątny ma 3 ściany boczne, a jego podstawa jest trójkątem.

22.Ile ścian, wierzchołków i krawędzi ma ostrosłup n-kątny?

Ostrosłup, którego podstawa ma n boków, ma n ścian bocznych i $n + 1$ wszystkich ścian, $n + 1$ wierzchołków (n w podstawie i wierzchołek ostrosłupa) oraz $2 \cdot n$ krawędzi (n w podstawie i n bocznych). Ostrosłup pięciokątny: 6 ścian, 6 wierzchołków, 10 krawędzi.

23.Wysokość ostrosłupa

Wysokość ostrosłupa to odcinek, który łączy wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i jest do tej płaszczyzny prostopadły. Jego koniec może leżeć wewnątrz podstawy, na jej brzegu, a nawet poza podstawą. Zwykle wysokość ostrosłupa nie jest krawędzią boczną - inaczej niż w graniastosłupie prostym.

24.Jak narysować ostrosłup?

1) Narysuj podstawę, np. czworokąt w kształcie równoległoboku. 2) Dorysuj wysokość - pionowy odcinek z wnętrza podstawy. 3) Połącz górny koniec wysokości, czyli wierzchołek ostrosłupa, z wierzchołkami podstawy. Krawędzie niewidoczne rysujemy linią przerywaną.

25.Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa n-kątnego składa się z jednego wielokąta (podstawy) i n trójkątów (ścian bocznych). Siatki tego samego ostrosłupa mogą mieć różne kształty, np. trójkąty doczepione do każdego boku podstawy jak gwiazda. Siatkę ostrosłupa trójkątnego tworzą 4 trójkąty.

26.Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola podstawy i pól wszystkich ścian bocznych: $P_c = P_p + P_b$. Ostrosłup ma tylko jedną podstawę. Podstawa - kwadrat o boku 6 cm, ściany boczne - trójkąty o wysokości 5 cm: $P_p = 36$, $P_b = 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 60$, $P_c = 36 + 60 = 96~\mathrm{cm^2}$.

27.Czworościan foremny

Czworościan foremny to ostrosłup, którego wszystkie ściany są jednakowymi trójkątami równobocznymi. Ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi tej samej długości. Szkielet z drutu o długości 30 cm ma krawędź $30 : 6 = 5$ cm.

28.Graniastosłup prosty a ostrosłup

Graniastosłup prosty ma dwie jednakowe podstawy, a jego ściany boczne to prostokąty. Ostrosłup ma jedną podstawę, a jego ściany boczne to trójkąty o wspólnym wierzchołku. W obu bryłach podstawa jest wielokątem, a liczba ścian bocznych jest równa liczbie boków podstawy.

29.Walec

Walec ma dwie równoległe podstawy, które są jednakowymi kołami. Odcinek, który łączy podstawy i jest do nich prostopadły, to wysokość walca (na rysunku h, a r to promień podstawy). Powierzchnia boczna walca po rozcięciu wzdłuż wysokości i rozprostowaniu jest prostokątem. Kształt walca ma np. puszka.

30.Stożek

Stożek ma jedną podstawę, która jest kołem, i wierzchołek. Odcinek, który łączy wierzchołek z podstawą i jest prostopadły do podstawy, to wysokość stożka. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu i rozprostowaniu jest wycinkiem koła. Kształt stożka ma np. rożek do lodów.

31.Kula i koło wielkie kuli

Kształt kuli ma np. pomarańcza. Każdy przekrój kuli jednym cięciem jest kołem. Przekrój przez środek kuli daje największe koło - koło wielkie kuli. Jego promień jest równy promieniowi kuli, a średnica - średnicy kuli.

32.Widok bryły z przodu, z boku i z góry

Bryłę rozpoznajemy po tym, jak wygląda z różnych stron. Stożek: z przodu i z boku trójkąt, z góry koło. Walec stojący: z przodu prostokąt, z góry koło. Kula: z każdej strony koło. Sześcian: z każdej strony kwadrat. Ostrosłup o podstawie kwadratu (jak piramida): z przodu trójkąt, z góry kwadrat z przekątnymi.

33.Czy kula zmieści się w pudełku?

Kula zmieści się w pudełku w kształcie prostopadłościanu, gdy jej średnica (2 razy promień) nie jest większa od żadnego z trzech wymiarów pudełka. Kula o promieniu 6 cm ma średnicę 12 cm, więc nie zmieści się w pudełku 15 cm × 13 cm × 11 cm, bo $11 < 12$.