Graniastosłupy, siatki i pole powierzchni - Matematyka z plusem 6

1.Prostopadłościan - z czego się składa?

Prostopadłościan to bryła, której wszystkie ściany są prostokątami. Ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Krawędź to odcinek, w którym stykają się dwie ściany, a wierzchołek to punkt, w którym stykają się trzy krawędzie. Na rysunku krawędzie niewidoczne zaznaczono linią przerywaną.

2.Sześcian

Sześcian to prostopadłościan, który ma wszystkie krawędzie jednakowej długości. Jego 6 ścian to jednakowe kwadraty. Każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem.

3.Ściany równoległe i prostopadłe w prostopadłościanie

Ściany prostopadłościanu tworzą 3 pary ścian równoległych - to ściany naprzeciwko siebie, np. górna i dolna. Ściany równoległe są jednakowymi prostokątami. Każda ściana jest prostopadła do 4 innych ścian - tych, z którymi ma wspólną krawędź.

4.Krawędzie równoległe, prostopadłe i jednakowej długości

12 krawędzi prostopadłościanu dzieli się na 3 grupy po 4 krawędzie równoległe i jednakowej długości: długość, szerokość i wysokość. Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są do siebie prostopadłe.

5.Wymiary prostopadłościanu

Wymiary prostopadłościanu to długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Zapisujemy je ze znakiem ×, np. 6 cm × 4 cm × 3 cm, jak na rysunku. Pozostałe krawędzie mają te same długości: po 4 krawędzie po 6 cm, po 4 cm i po 3 cm.

6.Jak obliczyć sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu?

Dodajemy trzy wymiary i wynik mnożymy przez 4, bo każdy wymiar powtarza się na 4 krawędziach: $4 \cdot (a + b + c)$. Dla wymiarów 5 cm × 3 cm × 2 cm: $4 \cdot (5 + 3 + 2) = 4 \cdot 10 = 40$ cm. Sześcian ma 12 równych krawędzi, więc suma to $12 \cdot a$.

7.Jak obliczyć krawędź sześcianu, gdy znamy sumę długości wszystkich krawędzi?

Sześcian ma 12 jednakowych krawędzi, więc sumę długości krawędzi dzielimy przez 12. Szkielet z drutu o długości 96 cm ma krawędź $96 : 12 = 8$ cm. W prostopadłościanie suma podzielona przez 4 daje sumę trzech wymiarów $a + b + c$.

8.Siatka prostopadłościanu

Siatka prostopadłościanu to figura płaska, którą otrzymamy, gdy rozetniemy pudełko wzdłuż kilku krawędzi i rozłożymy je na płasko. Składa się z 6 prostokątów, w tym 3 par jednakowych. Ten sam prostopadłościan może mieć siatki o różnych kształtach.

9.Siatka sześcianu

Siatka sześcianu składa się z 6 jednakowych kwadratów. Sześcian ma 11 różnych siatek, np. krzyż (rząd 4 kwadratów i po jednym kwadracie nad nim i pod nim) albo układ schodkowy. Siatką sześcianu nie jest układ z 5 kwadratami w jednym rzędzie ani taki, w którym 4 kwadraty tworzą blok 2 na 2.

10.Jak sprawdzić, czy figura jest siatką prostopadłościanu?

1) Policz ściany: musi być 6 prostokątów. 2) Sprawdź, czy są 3 pary jednakowych prostokątów. 3) Wyobraź sobie składanie: żadne dwie ściany nie mogą trafić na to samo miejsce. 4) Krawędzie, które po złożeniu się stykają, muszą mieć tę samą długość.

11.Jak odczytać długości odcinków na siatce bez mierzenia?

Szukamy krawędzi, które po złożeniu siatki się stykają - mają one taką samą długość. Każdy bok prostokąta w siatce jest jednym z trzech wymiarów prostopadłościanu. Jeśli wymiary to 5 cm, 3 cm i 2 cm, to każdy bok każdej ściany w siatce ma 5 cm, 3 cm albo 2 cm.

12.Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu to suma pól wszystkich 6 ścian. Ściany tworzą 3 pary jednakowych prostokątów, więc liczymy pola trzech różnych ścian, dodajemy je i wynik mnożymy przez 2. Dla 5 cm × 3 cm × 2 cm: $5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 15 + 10 + 6 = 31$, a $2 \cdot 31 = 62~\mathrm{cm^2}$.

13.Pole powierzchni sześcianu

Sześcian ma 6 jednakowych ścian w kształcie kwadratu, więc pole jednej ściany $a \cdot a$ mnożymy przez 6: $P = 6 \cdot a^2$. Dla krawędzi 4 cm: $4 \cdot 4 = 16$, a $6 \cdot 16 = 96~\mathrm{cm^2}$.

14.Pole powierzchni - te same jednostki

Zanim obliczysz pole powierzchni, wyraź wszystkie wymiary w tej samej jednostce. Dla prostopadłościanu 2 dm × 15 cm × 10 cm zamieniamy 2 dm na 20 cm: $20 \cdot 15 + 20 \cdot 10 + 15 \cdot 10 = 300 + 200 + 150 = 650$, a $2 \cdot 650 = 1300~\mathrm{cm^2}$.

15.Pole powierzchni pudełka bez przykrywki (np. basenu)

Gdy bryła nie ma jednej ściany (otwarte pudełko, basen), liczymy tylko ściany, które naprawdę są. Basen 4 m × 3 m × 2 m: dno $4 \cdot 3 = 12$, ściany $2 \cdot 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 = 16 + 12 = 28$, razem $12 + 28 = 40~\mathrm{m^2}$. Sprawdzenie: pole całkowite tego prostopadłościanu to $52~\mathrm{m^2}$, a bez górnej ściany: $52 - 12 = 40~\mathrm{m^2}$.

16.Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to bryła, która ma dwie równoległe ściany zwane podstawami - jednakowe (przystające) wielokąty - oraz ściany boczne, które są prostokątami prostopadłymi do podstaw. Krawędzie boczne mają tę samą długość i są prostopadłe do podstaw. Na rysunku a to krawędź podstawy, a h - krawędź boczna.

17.Elementy graniastosłupa prostego

Graniastosłup ma: dwie podstawy (dolną i górną), ściany boczne, krawędzie podstaw (boki podstaw), krawędzie boczne (łączą podstawy) i wierzchołki. Długość krawędzi bocznej to wysokość graniastosłupa prostego.

18.Jak nazywamy tę bryłę?

To graniastosłup prosty trójkątny. Nazwę graniastosłupa bierzemy od podstawy: gdy podstawą jest trójkąt - trójkątny, czworokąt - czworokątny, pięciokąt - pięciokątny itd. Graniastosłup trójkątny ma 3 ściany boczne, a jego podstawy są trójkątami.

19.Prostopadłościan i sześcian jako graniastosłupy

Wszystkie prostopadłościany, a więc także sześciany, to graniastosłupy proste czworokątne. W prostopadłościanie każda ściana może być podstawą, bo każda ma naprzeciwko jednakową ścianę równoległą, a pozostałe ściany są do niej prostopadłe.

20.Ile ścian, wierzchołków i krawędzi ma graniastosłup n-kątny?

Graniastosłup, którego podstawa ma n boków, ma: $n$ ścian bocznych i $n + 2$ wszystkich ścian, $2 \cdot n$ wierzchołków (po n w każdej podstawie) oraz $3 \cdot n$ krawędzi (po n w każdej podstawie i n krawędzi bocznych). Graniastosłup sześciokątny: 8 ścian, 12 wierzchołków, 18 krawędzi.

21.Jak z liczby wierzchołków lub krawędzi odczytać, jaki to graniastosłup?

Liczbę wierzchołków dzielimy przez 2, a liczbę krawędzi przez 3 - wychodzi liczba boków podstawy n. Graniastosłup o 24 wierzchołkach jest dwunastokątny, bo $24 : 2 = 12$, więc ma 12 krawędzi bocznych. Graniastosłup nie może mieć np. 10 krawędzi, bo 10 nie dzieli się przez 3.

22.Szkielet graniastosłupa

Szkielet bryły to model z samych krawędzi, np. z patyczków połączonych plasteliną. Liczba patyczków to liczba krawędzi, czyli w graniastosłupie n-kątnym $3 \cdot n$. Na szkielet graniastosłupa pięciokątnego potrzeba $3 \cdot 5 = 15$ patyczków, a kulek plasteliny tyle, ile wierzchołków: 10.

23.Siatka graniastosłupa prostego

Siatka graniastosłupa prostego n-kątnego składa się z dwóch jednakowych wielokątów (podstaw) i n prostokątów (ścian bocznych). Ściany boczne często rysujemy jako jeden pas prostokątów o wspólnej wysokości, a podstawy doczepiamy do dwóch przeciwnych boków pasa.

24.Długości odcinków w siatce graniastosłupa

Wysokość pasa ścian bocznych to długość krawędzi bocznej (na rysunku h). Szerokości kolejnych prostokątów to kolejne boki podstawy, więc długość całego pasa jest równa obwodowi podstawy. Bok podstawy i bok ściany bocznej, które po złożeniu się stykają, mają tę samą długość.

25.Jak narysować siatkę graniastosłupa prostego?

1) Narysuj pas prostokątów: wysokość = krawędź boczna, szerokości = kolejne boki podstawy. 2) Do jednego prostokąta doczep od góry podstawę, przykładając ją bokiem równym szerokości tego prostokąta. 3) Drugą podstawę doczep od dołu. 4) Sprawdź, czy sklejane krawędzie mają równe długości.

26.Jak rozpoznać siatkę graniastosłupa?

Siatka graniastosłupa musi mieć dokładnie dwie jednakowe podstawy i tyle prostokątów, ile boków ma podstawa. Podstawy muszą być po złożeniu naprzeciwko siebie, a stykające się krawędzie - równe. Dwa trójkąty i cztery prostokąty nie tworzą siatki graniastosłupa, bo graniastosłup trójkątny ma 3 ściany boczne.

27.Pole powierzchni graniastosłupa - wzór

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian, czyli pól dwóch podstaw i pól ścian bocznych: $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$. $P_c$ - pole powierzchni całkowitej, $P_p$ - pole podstawy, $P_b$ - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych).

28.Jak szybko obliczyć pole powierzchni bocznej?

Ściany boczne tworzą w siatce jeden prostokąt: jego długość to obwód podstawy, a wysokość to krawędź boczna. Dlatego $P_b$ = obwód podstawy · wysokość graniastosłupa. Dla obwodu podstawy 12 cm i wysokości 5 cm: $P_b = 12 \cdot 5 = 60~\mathrm{cm^2}$.

29.Pole powierzchni graniastosłupa krok po kroku

1) Oblicz pole podstawy $P_p$. 2) Oblicz pole powierzchni bocznej $P_b$. 3) Oblicz $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$. Przykład: podstawa - trójkąt prostokątny o bokach 5 cm, 12 cm, 13 cm, wysokość 4 cm. $P_p = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$, $P_b = 4 \cdot (5 + 12 + 13) = 120$, $P_c = 2 \cdot 30 + 120 = 180~\mathrm{cm^2}$.

30.Pole powierzchni graniastosłupa o podstawie kwadratu

Gdy podstawą jest kwadrat o boku a, a wysokość ma h: $P_p = a \cdot a$, a 4 ściany boczne to jednakowe prostokąty, więc $P_b = 4 \cdot a \cdot h$. Dla a = 3 cm i h = 10 cm: $P_p = 9$, $P_b = 4 \cdot 3 \cdot 10 = 120$, $P_c = 2 \cdot 9 + 120 = 138~\mathrm{cm^2}$.

31.Wysokość podstawy a wysokość graniastosłupa

Wysokość podstawy (np. trapezu, rombu, trójkąta) służy do obliczenia pola podstawy. Wysokość graniastosłupa to długość krawędzi bocznej - służy do obliczenia pól ścian bocznych. Trapez prostokątny o podstawach 6 cm i 3 cm, wysokości 4 cm i ramieniu 5 cm, krawędź boczna 6 cm: $P_p = \frac{(6 + 3) \cdot 4}{2} = 18$, $P_b = (6 + 3 + 4 + 5) \cdot 6 = 108$, $P_c = 36 + 108 = 144~\mathrm{cm^2}$.

32.Jak obliczyć pole podstawy, gdy znamy Pc i Pb?

Ze wzoru $P_c = 2 \cdot P_p + P_b$: od pola całkowitego odejmujemy pole powierzchni bocznej i wynik dzielimy przez 2, bo podstawy są dwie. Gdy $P_c = 100~\mathrm{cm^2}$, a $P_b = 64~\mathrm{cm^2}$: $100 - 64 = 36$, $36 : 2 = 18$, więc $P_p = 18~\mathrm{cm^2}$.

33.Pole powierzchni bryły ułożonej z sześcianów

Liczymy kwadraciki na wszystkich zewnętrznych ścianach bryły. Można też policzyć ściany wszystkich sześcianów i odjąć po 2 kwadraty za każde miejsce, w którym dwa sześciany się stykają. Trzy sześciany o krawędzi 1 cm w rzędzie: $3 \cdot 6 = 18$, styki 2, więc $18 - 2 \cdot 2 = 14~\mathrm{cm^2}$.