Rachunek prawdopodobieństwa - Matematyka z plusem 8

1.Liczba możliwości przy dwóch decyzjach

Gdy pierwszą decyzję można podjąć na $a$ sposobów, a do każdego takiego wyboru drugą decyzję na $b$ sposobów, to wszystkich możliwości jest $a \cdot b$. Np. 4 bluzy i 3 czapki można zestawić na $4 \cdot 3 = 12$ sposobów.

2.Tabela wszystkich możliwości

Możliwości można wypisać w tabeli: w wierszach wyniki pierwszej decyzji, w kolumnach - drugiej, a w polach pary wyników. Tabela o 3 wierszach i 5 kolumnach ma $3 \cdot 5 = 15$ pól, czyli 15 możliwości. W tabeli łatwo też zaznaczyć pary, które spełniają warunek.

3.Wypisywanie wszystkich możliwości

Do każdego wyniku pierwszej decyzji dopisujemy po kolei wszystkie wyniki drugiej decyzji. Np. bluzy A i B oraz czapki 1, 2, 3 dają pary: A1, A2, A3, B1, B2, B3 - razem $2 \cdot 3 = 6$ możliwości.

4.Wybór ze zwracaniem (wyniki mogą się powtarzać)

Gdy po wybraniu elementu wkładamy go z powrotem, przy każdym wyborze mamy tyle samo możliwości. Np. z klocków z cyframi 1, 2, 3, 4 losujemy cyfrę dziesiątek, zwracamy ją i losujemy cyfrę jedności: $4 \cdot 4 = 16$ liczb.

5.Wybór bez zwracania (wyniki nie mogą się powtarzać)

Gdy wybranego elementu nie wkładamy z powrotem, przy każdym kolejnym wyborze mamy o jedną możliwość mniej. Np. z klocków z cyframi 1, 2, 3, 4 losujemy dwie cyfry bez zwracania: $4 \cdot 3 = 12$ liczb dwucyfrowych.

6.Wybór dwóch osób do różnych zadań

Gdy dwie osoby z tej samej grupy mają różne zadania, pierwszą wybieramy na $n$ sposobów, a drugą spośród pozostałych na $n - 1$ sposobów. Pary $AB$ i $BA$ liczymy jako różne, bo osoby zamieniają się rolami. Np. przewodniczącego i zastępcę spośród 10 osób wybierzemy na $10 \cdot 9 = 90$ sposobów.

7.Wybór po jednej osobie z dwóch grup

Gdy wybieramy jedną osobę z jednej grupy i jedną z drugiej, mnożymy liczebności grup. Np. z 9 chłopców i 11 dziewcząt parę chłopiec - dziewczynka można wybrać na $9 \cdot 11 = 99$ sposobów.

8.Czy kolejność decyzji zmienia liczbę możliwości?

Nie. Możemy najpierw wybrać chłopca, a potem dziewczynkę, albo odwrotnie - liczba możliwości jest ta sama, bo $9 \cdot 11 = 11 \cdot 9$. Liczy się to, ile jest możliwości w każdej decyzji, a nie to, którą podejmujemy najpierw.

9.Liczba możliwości przy więcej niż dwóch decyzjach

Mnożymy liczby możliwości wszystkich decyzji. Np. obiad z jednej z 3 zup, jednego z 4 drugich dań i jednego z 2 deserów można wybrać na $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ sposoby.

10.Przydzielanie miejsc kilku osobom

Pierwsza osoba wybiera jedno z $n$ miejsc, druga - jedno z $n - 1$ pozostałych, trzecia - jedno z $n - 2$ itd. Np. trzem osobom w sali z 10 wolnymi miejscami można przydzielić miejsca na $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ sposobów.

11.Dodawanie liczby możliwości z odrębnych przypadków

Gdy wybór odbywa się w jednym z dwóch odrębnych przypadków, liczymy możliwości w każdym przypadku osobno i dodajemy wyniki. Np. zestaw kanapka i napój w sklepie I (3 kanapki, 4 napoje) albo w sklepie II (5 kanapek, 2 napoje): $3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 = 12 + 10 = 22$ zestawy.

12.Kiedy mnożymy, a kiedy dodajemy liczby możliwości?

Mnożymy, gdy podejmujemy kolejne decyzje i każda łączy się z każdą (np. danie i napój). Dodajemy, gdy możliwości dzielą się na odrębne przypadki, które się nie łączą (np. obiad w jednej albo w drugiej restauracji).

13.Ile jest liczb dwucyfrowych i trzycyfrowych?

Pierwsza cyfra liczby nie może być zerem, więc wybieramy ją na 9 sposobów, a każdą następną - na 10 sposobów. Liczb dwucyfrowych jest $9 \cdot 10 = 90$, a trzycyfrowych $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$.

14.Liczby, których cyfry spełniają warunek

Liczymy możliwości dla każdej cyfry osobno i mnożymy. Liczba dwucyfrowa nieparzysta: dziesiątki 9 sposobów, jedności 1, 3, 5, 7 lub 9 - $9 \cdot 5 = 45$. Liczba trzycyfrowa o różnych cyfrach: $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ (druga cyfra może być zerem, ale nie może powtórzyć pierwszej).

15.Kody z cyfr

Kod czterocyfrowy (PIN) z dowolnych cyfr można utworzyć na $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000$ sposobów, bo na każdym miejscu może stać każda z 10 cyfr, także 0. Gdy cyfry mają być różne: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ sposobów.

16.Doświadczenie losowe i jego wyniki

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie znamy z góry, np. rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli z pudełka. Rzut sześcienną kostką do gry ma 6 możliwych wyników: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek.

17.Zdarzenie i wyniki sprzyjające

Zdarzenie to zbiór wyników doświadczenia, które spełniają podany warunek, np. „wypadnie parzysta liczba oczek". Wyniki, które spełniają ten warunek, to wyniki sprzyjające temu zdarzeniu: tutaj 2, 4 i 6.

18.Prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia to $P = \frac{n}{N}$, gdzie $n$ - liczba wyników sprzyjających, $N$ - liczba wszystkich wyników. Np. w rzucie kostką liczba pierwsza (2, 3, 5): $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

19.Kiedy wyniki są jednakowo prawdopodobne?

Gdy żaden wynik nie jest uprzywilejowany: każda ścianka symetrycznej kostki, każda strona monety i każda kula w pudełku mają tę samą szansę. Sumy oczek z dwóch rzutów nie są jednakowo prawdopodobne, dlatego liczymy pary wyników (pierwszy rzut, drugi rzut), a nie sumy.

20.Losowanie jednej kuli z pudełka

Każda kula ma tę samą szansę, więc $N$ to liczba wszystkich kul, a $n$ - liczba kul danego koloru. Np. w pudełku są 3 kule czerwone, 5 zielonych i 2 białe: $P(\text{zielona}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, a $P(\text{biała}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

21.Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest liczbą od 0 do 1. Zdarzenie pewne (np. w rzucie kostką wypadnie mniej niż 7 oczek) ma prawdopodobieństwo 1. Zdarzenie niemożliwe (np. wypadnie 8 oczek) ma prawdopodobieństwo 0.

22.Rzut dwiema monetami

Są 4 jednakowo prawdopodobne wyniki: OO, OR, RO, RR (O - orzeł, R - reszka), bo $2 \cdot 2 = 4$. Wyniki OR i RO są różne. Np. prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł, to $\frac{3}{4}$.

23.Dwa rzuty kostką - wszystkie wyniki

Wynik to para liczb oczek (pierwszy rzut, drugi rzut). Wszystkich wyników jest $N = 6 \cdot 6 = 36$ i wszystkie są jednakowo prawdopodobne. Np. dwie szóstki to jeden wynik, więc $P = \frac{1}{36}$.

24.Suma oczek w dwóch rzutach kostką

Sumy od 2 do 12 można otrzymać różną liczbą par. Najwięcej par daje suma 7 (6 par), a sumy 2 i 12 - tylko po jednej. Np. suma 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1), więc $P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

25.Jak obliczyć prawdopodobieństwo przy dwóch losowaniach?

1) Liczymy wszystkie możliwości $N$ (iloczyn). 2) Liczymy możliwości $n$ spełniające warunek (np. z tabeli). 3) Obliczamy $P = \frac{n}{N}$ i skracamy. Np. w torebce I są 2 czerwone i 1 niebieska kulka, a w torebce II - 1 czerwona i 3 niebieskie. Ten sam kolor: $n = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5$, $N = 3 \cdot 4 = 12$, $P = \frac{5}{12}$.

26.Prawdopodobieństwo przy losowaniu ze zwracaniem

Po pierwszym losowaniu kulę wkładamy z powrotem, więc przy obu losowaniach jest tyle samo kul. Np. 3 białe i 2 czarne kule, losujemy dwa razy ze zwracaniem: $N = 5 \cdot 5 = 25$, obie białe: $n = 3 \cdot 3 = 9$, $P = \frac{9}{25}$.

27.Prawdopodobieństwo przy losowaniu bez zwracania

Wylosowanej kuli nie zwracamy, więc za drugim razem jest o jedną kulę mniej. Np. 3 białe i 2 czarne kule, losujemy kolejno dwie: $N = 5 \cdot 4 = 20$, obie białe: $n = 3 \cdot 2 = 6$, $P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

28.Liczenie wyników, które NIE spełniają warunku

Czasem łatwiej policzyć wyniki niesprzyjające i odjąć je od wszystkich: $n = N -$ liczba wyników niesprzyjających. Np. dwa rzuty kostką czworościenną (liczby 1-4), co najmniej jedna czwórka: bez czwórki jest $3 \cdot 3 = 9$ wyników, więc $n = 16 - 9 = 7$ i $P = \frac{7}{16}$.

29.Zdarzenie „co najmniej jeden" i zdarzenie przeciwne

„Co najmniej jeden" znaczy: jeden albo więcej. Przeciwne do niego jest zdarzenie „ani jeden". Prawdopodobieństwa zdarzenia i zdarzenia do niego przeciwnego dają razem 1. Np. gdy $P(\text{co najmniej jedna czwórka}) = \frac{7}{16}$, to $P(\text{ani jednej czwórki}) = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

30.Losowy wybór przedmiotu, a potem rzut

Gdy najpierw losowo wybieramy jeden z przedmiotów, a potem rzucamy, wszystkie możliwości to iloczyn. Np. wybieramy jedną z 2 kostek (czerwoną lub niebieską) i rzucamy: $N = 2 \cdot 6 = 12$. Czerwona kostka i 6 oczek to jeden wynik, więc $P = \frac{1}{12}$.

31.Dwie osoby losowo wybierają jedno z kilku miejsc

Gdy każda z dwóch osób wybiera losowo jedno z $k$ miejsc, wszystkich par wyborów jest $k \cdot k$, a par z tym samym miejscem - $k$. Np. dla 4 kawiarni: $P(\text{ta sama}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$, a $P(\text{różne}) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

32.Gra w rzucanie kostką - remis i wygrana

Dwóch graczy rzuca kostką, wygrywa większa liczba oczek. Przy kostkach czworościennych: $N = 4 \cdot 4 = 16$, remis daje 4 pary, więc $P(\text{remis}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Pozostałe 12 par dzieli się po równo, więc pierwszy gracz wygrywa z $P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

33.Rzut dwiema różnymi kostkami

Przy rzucie kostką czworościenną (1-4) i sześcienną (1-6) wszystkich wyników jest $N = 4 \cdot 6 = 24$. Np. suma 10 to tylko (4, 6), więc $P = \frac{1}{24}$. Suma 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), więc $P = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

34.Dwaj wskazani zawodnicy na dwóch pierwszych miejscach

Gdy $k$ równorzędnych zawodników zajmuje miejsca losowo, pierwsze dwa miejsca można obsadzić na $k \cdot (k - 1)$ sposobów. Dwaj wskazani zawodnicy zajmują je na 2 sposoby (AB albo BA). Np. dla 6 zawodników: $P = \frac{2}{6 \cdot 5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

35.Losowo wybrana liczba

Gdy losowo wybieramy liczbę dwucyfrową, $N = 90$, a $n$ to liczba liczb z daną własnością. Np. liczb dwucyfrowych podzielnych przez 10 jest 9 (10, 20, …, 90), więc $P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.

36.Losowanie kartek z literami po kolei

Gdy losujemy kolejno wszystkie kartki i układamy je w kolejności losowania, liczba ułożeń to iloczyn malejących liczb. Np. kartki A, B, C dają $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ ułożeń, więc prawdopodobieństwo ułożenia ABC to $\frac{1}{6}$.

37.Gra sprawiedliwa

Gra jest sprawiedliwa, gdy każdy gracz ma takie samo prawdopodobieństwo wygranej. Np. rzucamy dwiema monetami: Ola wygrywa, gdy wypadną takie same strony (OO, RR), a Ela - gdy różne (OR, RO). Obie mają $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, więc gra jest sprawiedliwa.

38.Zapis prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo zapisujemy zwykle ułamkiem nieskracalnym, ale można też ułamkiem dziesiętnym albo w procentach. Np. $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%$, a $\frac{3}{5} = 0{,}6 = 60\%$.

39.Iloczyn liczb oczek w dwóch rzutach

Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Np. dla dwóch kostek czworościennych: obie nieparzyste (1 lub 3) to $2 \cdot 2 = 4$ pary z 16, więc $P(\text{nieparzysty}) = \frac{1}{4}$, a $P(\text{parzysty}) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

40.Różnica liczb oczek w dwóch rzutach

Od większej liczby oczek odejmujemy mniejszą. Przy dwóch rzutach kostką sześcienną różnicę 0 daje 6 par, 1 - 10 par, 2 - 8 par, 3 - 6 par, 4 - 4 pary, 5 - 2 pary (razem 36). Najbardziej prawdopodobna jest różnica 1: $P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.