Koła i okręgi - Matematyka z plusem 8

1.Położenie prostej względem okręgu

Prosta może mieć z okręgiem dwa punkty wspólne (przecina okrąg), jeden punkt wspólny (jest styczna do okręgu) albo nie mieć z nim żadnego punktu wspólnego.

2.Jak ustalić liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu?

Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$: gdy $d < r$ - dwa punkty wspólne, gdy $d = r$ - jeden punkt wspólny (prosta styczna), gdy $d > r$ - brak punktów wspólnych. Np. dla $r = 4$ cm i $d = 3$ cm prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

3.Prosta styczna do okręgu

Prosta jest styczna do okręgu, jeżeli ma z tym okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem styczności. Mówimy też, że okrąg jest styczny do prostej.

4.Własność stycznej do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Ten promień jest najkrótszym odcinkiem łączącym środek okręgu ze styczną - inne takie odcinki są dłuższe od promienia.

5.Konstrukcja stycznej do okręgu w danym punkcie A

1) Prowadzimy półprostą $SA$, gdzie $S$ to środek okręgu. 2) Na tej półprostej wyznaczamy punkt $B$, taki że $|SB| = 2 \cdot |SA|$. 3) Kreślimy symetralną odcinka $SB$ - przechodzi ona przez $A$ i jest prostopadła do promienia $SA$, więc jest styczną.

6.Jak narysować okrąg o środku S styczny do danej prostej?

Z punktu $S$ prowadzimy prostą prostopadłą do danej prostej i zaznaczamy punkt $A$, w którym się przecinają. Odcinek $SA$ to odległość $S$ od prostej. Rysujemy okrąg o środku $S$ i promieniu $SA$ - jest styczny do prostej w punkcie $A$.

7.Odcinek stycznej - twierdzenie Pitagorasa

Gdy z punktu $P$ prowadzimy styczną do okręgu o środku $S$, a $A$ to punkt styczności, to trójkąt $SAP$ ma kąt prosty przy $A$. Wtedy $|SA|^2 + |AP|^2 = |SP|^2$. Np. dla $r = 6$ i $|SP| = 10$: $|AP|^2 = 100 - 36 = 64$, więc $|AP| = 8$.

8.Pole trójkąta o boku leżącym na stycznej

Gdy punkty $A$ i $B$ leżą na stycznej do okręgu o środku $S$ i promieniu $r$, to wysokość trójkąta $SAB$ poprowadzona z $S$ jest równa $r$ (promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej). Zatem $P = \frac{|AB| \cdot r}{2}$, np. dla $|AB| = 8$ i $r = 5$: $P = 20$.

9.Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z jednego punktu

Jeżeli dwie styczne do okręgu o środku $S$ przecinają się w punkcie $P$, a $A$ i $B$ to punkty styczności, to $|PA| = |PB|$. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa: $|PA|^2 = |PS|^2 - r^2 = |PB|^2$.

10.Kąt między dwiema stycznymi

Promienie $SA$ i $SB$ do punktów styczności oraz styczne $PA$ i $PB$ tworzą czworokąt $SAPB$ z dwoma kątami prostymi. Suma kątów czworokąta to $360^\circ$, więc kąt $APB$ to $180^\circ$ minus kąt $ASB$. Np. gdy kąt $ASB$ ma $130^\circ$, to kąt $APB$ ma $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

11.Kąt między styczną a prostą przechodzącą przez środek okręgu

Prosta przez środek $S$ przecina styczną w punkcie $P$, a $A$ to punkt styczności. Trójkąt $SAP$ ma kąt prosty przy $A$, więc kąty przy $S$ i $P$ dają razem $90^\circ$. Np. gdy kąt przy $S$ ma $55^\circ$, to kąt $\alpha$ przy $P$ ma $90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

12.Okrąg styczny do dwóch prostych prostopadłych

Środek takiego okręgu jest odległy o $r$ od każdej z prostych. Środek, dwa punkty styczności i punkt przecięcia prostych są wierzchołkami kwadratu o boku $r$. Odległość środka od punktu przecięcia prostych to przekątna tego kwadratu: $r\sqrt{2}$, np. dla $r = 3$ jest to $3\sqrt{2}$.

13.Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych - są wtedy rozłączne (leżą jeden obok drugiego albo jeden wewnątrz drugiego). Mogą mieć dwa punkty wspólne - wtedy się przecinają. Mogą mieć jeden punkt wspólny - są wtedy styczne (zewnętrznie albo wewnętrznie).

14.Okręgi styczne - prosta przez środki

Prosta przechodząca przez środki dwóch okręgów stycznych przechodzi także przez punkt styczności. Dzięki temu odległość środków takich okręgów obliczamy z samych promieni.

15.Okręgi styczne zewnętrznie

Okręgi styczne zewnętrznie leżą jeden obok drugiego i mają jeden punkt wspólny. Odległość ich środków jest równa sumie promieni: $|AB| = r_1 + r_2$. Np. okręgi o promieniach 3 cm i 5 cm są styczne zewnętrznie, gdy $|AB| = 8$ cm.

16.Okręgi styczne wewnętrznie

Mniejszy okrąg leży wewnątrz większego i ma z nim jeden punkt wspólny. Odległość środków jest równa różnicy promieni: $|AB| = r_1 - r_2$, gdzie $r_1 > r_2$. Np. dla promieni 7 cm i 2 cm: $|AB| = 5$ cm.

17.Jak rozpoznać położenie dwóch okręgów po odległości środków?

Niech $r_1 > r_2$, a $d$ to odległość środków. Gdy $d > r_1 + r_2$ - rozłączne, jeden obok drugiego; $d = r_1 + r_2$ - styczne zewnętrznie; $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ - przecinają się; $d = r_1 - r_2$ - styczne wewnętrznie; $d < r_1 - r_2$ - jeden wewnątrz drugiego. Np. dla promieni 5 i 3 okręgi przecinają się, gdy $2 < d < 8$.

18.Położenie okręgów w układzie współrzędnych

Odległość środków obliczamy z twierdzenia Pitagorasa - różnice współrzędnych to przyprostokątne. Np. dla $A = (1, 2)$ i $B = (7, 10)$: $6^2 + 8^2 = 100$, więc $|AB| = 10$. Gdy promienie mają 4 i 6, to $|AB| = 4 + 6$, czyli okręgi są styczne zewnętrznie.

19.Okrąg przechodzący przez środek drugiego okręgu

Gdy jeden okrąg przechodzi przez środek drugiego, odległość środków jest równa promieniowi tego okręgu, który przechodzi przez środek. Np. dla promieni 3 i 5: gdy mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego, to $d = 3$; gdy większy przechodzi przez środek mniejszego, to $d = 5$.

20.Długość okręgu (obwód koła)

Długość okręgu to długość odcinka, który otrzymamy, gdy rozetniemy okrąg i wyprostujemy tworzącą go linię. Każdy okrąg jest brzegiem koła, dlatego długość okręgu nazywamy też obwodem koła.

21.Liczba π

Stosunek długości okręgu do długości jego średnicy jest dla wszystkich okręgów tą samą liczbą. Oznaczamy ją grecką literą $\pi$ (czytamy: pi): $\frac{l}{d} = \pi$.

22.Rozwinięcie dziesiętne liczby π

Liczba $\pi$ nie jest wymierna: jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, $\pi = 3{,}14159\ldots$ Nazywamy ją też ludolfiną, od Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku podał 35 cyfr po przecinku.

23.Przybliżenia liczby π

W obliczeniach najczęściej przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$. Dawniej używano ułamków zwykłych: $\frac{25}{8} = 3{,}125$, $\frac{22}{7} \approx 3{,}1429$, $\frac{355}{113} \approx 3{,}1415929$. Wynik obliczony z przybliżeniem $\pi$ zapisujemy ze znakiem $\approx$.

24.Wzór na długość okręgu ze średnicy

Z równości $\frac{l}{d} = \pi$ wynika $l = \pi d$, gdzie $l$ to długość okręgu, a $d$ to długość średnicy. Np. okrąg o średnicy 7 cm ma długość $7\pi~\mathrm{cm}$.

25.Wzór na długość okręgu z promienia

Średnica jest dwa razy dłuższa od promienia ($d = 2r$), więc długość okręgu o promieniu $r$ to $l = 2\pi r$. Np. dla $r = 4$ cm: $l = 2\pi \cdot 4 = 8\pi~\mathrm{cm}$.

26.Wynik dokładny i wynik przybliżony

Wynik dokładny zostawiamy z literą $\pi$, np. okrąg o promieniu 3 cm ma długość $6\pi~\mathrm{cm}$. Wynik przybliżony otrzymamy, gdy wstawimy $\pi \approx 3{,}14$: $6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14 = 18{,}84~\mathrm{cm}$. Przy przybliżeniu piszemy znak $\approx$, a nie $=$.

27.Działania na wyrażeniach z π

Liczbę $\pi$ traktujemy jak literę w wyrażeniu: $2\pi + 5\pi = 7\pi$, $6\pi - 1{,}5\pi = 4{,}5\pi$, $3 \cdot 2\pi = 6\pi$, $\pi \cdot \pi = \pi^2$, $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$. Gdy mamy podać wynik dokładny, nie zastępujemy $\pi$ przybliżeniem.

28.Jak obliczyć promień z długości okręgu?

Wstawiamy długość do wzoru $l = 2\pi r$ i dzielimy obie strony przez $2\pi$: $r = \frac{l}{2\pi}$. Np. dla $l = 18$ cm: $18 = 2\pi r$, $r = \frac{18}{2\pi} = \frac{9}{\pi} \approx 2{,}9$ cm.

29.Obwód półkola i ćwiartki koła

Obwód półkola to połowa okręgu i średnica: $\pi r + 2r$. Obwód ćwiartki koła to ćwierć okręgu i dwa promienie: $\frac{2\pi r}{4} + 2r$. Np. dla $r = 4$: półkole ma obwód $4\pi + 8$, a ćwiartka koła $2\pi + 8$.

30.Liczba obrotów koła

Przy jednym pełnym obrocie koło przejeżdża drogę równą swojemu obwodowi. Liczba obrotów = droga : obwód koła (w tych samych jednostkach). Np. koło o średnicy 50 cm ma obwód $50\pi \approx 157$ cm, więc na drodze 100 m = 10 000 cm wykona $10\,000 : 157 \approx 63{,}7$, czyli 63 pełne obroty.

31.Zwiększenie promienia okręgu o a

Gdy promień okręgu zwiększymy o $a$, jego długość wzrośnie o $2\pi a$ - bez względu na to, jak duży był okrąg, bo $2\pi(r + a) = 2\pi r + 2\pi a$. Np. przy zwiększeniu promienia o 1 cm długość rośnie o $2\pi \approx 6{,}28$ cm.

32.Skąd się bierze wzór na pole koła?

Koło dzielimy na wiele równych części (jak kawałki tortu) i układamy je na zmianę ostrzem w górę i w dół. Powstaje figura przypominająca prostokąt o bokach $\pi r$ (połowa długości okręgu) i $r$. Stąd pole koła to $\pi r \cdot r = \pi r^2$.

33.Wzór na pole koła

Pole koła o promieniu $r$: $P = \pi r^2$. Np. koło o promieniu 3 cm ma pole $\pi \cdot 3^2 = 9\pi~\mathrm{cm^2}$, czyli około $9 \cdot 3{,}14 = 28{,}26~\mathrm{cm^2}$.

34.Pole koła, gdy znamy średnicę

Najpierw obliczamy promień $r = \frac{d}{2}$, potem pole $P = \pi r^2$. Np. dla $d = 10$ cm: $r = 5$ cm, $P = 25\pi~\mathrm{cm^2} \approx 78{,}5~\mathrm{cm^2}$. Częsty błąd to wstawienie do wzoru średnicy zamiast promienia ($100\pi$).

35.Jak obliczyć promień z pola koła?

Wstawiamy pole do wzoru $P = \pi r^2$, dzielimy obie strony przez $\pi$ i obliczamy pierwiastek. Np. dla $P = 49\pi~\mathrm{cm^2}$: $r^2 = 49$, więc $r = 7$ cm.

36.Pole koła, gdy znamy obwód

Z obwodu obliczamy promień ($l = 2\pi r$), a potem pole. Np. dla $l = 12\pi$ cm: $r = 6$ cm, $P = \pi \cdot 6^2 = 36\pi~\mathrm{cm^2}$. Odwrotnie: z pola obliczamy promień, a z promienia obwód.

37.Jak zmienia się pole koła przy zmianie promienia?

Gdy promień zwiększymy $k$ razy, pole zwiększy się $k^2$ razy. Np. koło o promieniu 3 ma pole $9\pi$, a o promieniu 6 - pole $36\pi$, czyli 4 razy większe. Gdy promień zwiększymy o jakąś liczbę, obliczamy oba pola i ich różnicę $P_2 - P_1$.

38.Pole pierścienia

Pierścień to część koła między dwoma okręgami o wspólnym środku. Jego pole to różnica pól dwóch kół: $P = \pi R^2 - \pi r^2$. Np. dla $R = 5$ i $r = 3$: $25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50{,}24$. Gdy znamy szerokość pierścienia, to $R$ = $r$ + szerokość.

39.Pole półkola i ćwiartki koła

Półkole ma pole równe połowie pola koła: $\frac{\pi r^2}{2}$, a ćwiartka koła - jednej czwartej: $\frac{\pi r^2}{4}$. Np. dla $r = 6$: półkole ma pole $18\pi$, a ćwiartka koła $9\pi$.

40.Pole figury z wyciętym kołem

Od pola całej figury odejmujemy pole wyciętego koła (albo kół). Np. z kwadratu o boku 10 cm wycięto koło o promieniu 5 cm: $P = 100 - 25\pi \approx 100 - 78{,}5 = 21{,}5~\mathrm{cm^2}$.