Liczby dodatnie i liczby ujemne - Matematyka z plusem 6

1.Liczby dodatnie i liczby ujemne

Na osi liczbowej na prawo od zera są liczby dodatnie, a na lewo od zera - liczby ujemne. Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem $-$, a przy liczbach dodatnich znak $+$ można pominąć: $+7 = 7$. Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Na rysunku: $-3$, $-1{,}5$ (ujemne) i $2{,}5$ (dodatnia).

2.Liczby o jednakowych i o różnych znakach

Mówimy, że liczby ujemne mają znak minus, a liczby dodatnie - znak plus. Liczby $-3$ i $-8$ oraz 2 i 9 to liczby o jednakowych znakach, a liczby $-4$ i 6 - liczby o różnych znakach.

3.Liczby naturalne i liczby całkowite

Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3, 4, 5 itd. Liczby całkowite to 0, 1, $-1$, 2, $-2$, 3, $-3$ itd. Każda liczba naturalna jest całkowita, ale liczba $-5$ jest całkowita i nie jest naturalna. Liczby $-2{,}7$ i $\frac{5}{9}$ nie są całkowite.

4.Jak porównywać liczby za pomocą osi liczbowej?

Na lewo od danej liczby leżą liczby od niej mniejsze, a na prawo - większe. Każda liczba dodatnia jest większa od zera i od każdej liczby ujemnej, a każda liczba ujemna jest mniejsza od zera. Na rysunku $-4$ leży na lewo od $-1$, więc $-4 < -1$.

5.Jak porównać dwie liczby ujemne?

Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera, czyli ma mniejszą wartość bezwzględną: $-2 > -6$, $-1{,}3 > -1{,}5$, $-\frac{1}{4} > -\frac{1}{2}$. Wśród liczb ujemnych większa liczba bez znaku oznacza mniejszą liczbę.

6.Liczby przeciwne

Liczby przeciwne to dwie liczby, które leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera, po przeciwnych jego stronach. Mają przeciwne znaki i taką samą wartość bezwzględną. Liczbą przeciwną do $-3\frac{1}{2}$ jest $3\frac{1}{2}$, do 4 jest $-4$, a do 0 jest 0.

7.Bezwzględna wartość liczby

Bezwzględna wartość liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją między pionowymi kreskami: $|-6| = 6$ (czytamy: bezwzględna wartość liczby $-6$), $|6| = 6$, $|0| = 0$. Odległość nie może być ujemna, więc wartość bezwzględna nigdy nie jest liczbą ujemną.

8.Jak obliczyć bezwzględną wartość liczby?

Bezwzględna wartość liczby nieujemnej jest równa tej liczbie: $|2{,}5| = 2{,}5$. Bezwzględna wartość liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna: $|-4\frac{1}{3}| = 4\frac{1}{3}$. Minus stojący przed kreskami zostaje: $-|-9| = -9$.

9.Jak policzyć liczby całkowite leżące między dwiema liczbami?

Wypisujemy po kolei liczby całkowite od najmniejszej do największej i nie zapominamy o zerze. Liczby całkowite większe od $-3{,}5$ i mniejsze od $2\frac{1}{4}$ to $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2 - jest ich 6. Pokazuje je rysunek.

10.Jak odczytać liczbę zaznaczoną na osi liczbowej?

Najpierw ustalamy, ile wynosi jedna działka: różnicę dwóch podpisanych liczb dzielimy przez liczbę odstępów między nimi. Gdy między $-2$ a $-1$ jest 5 odstępów, jedna działka to $\frac{1}{5} = 0{,}2$. Punkt 2 działki na prawo od $-2$ to $-2 + 0{,}4 = -1{,}6$, bo w prawo liczby rosną.

11.Jak dodawać liczby dodatnie i ujemne? (zyski i straty)

Liczbę dodatnią traktujemy jak zysk, a liczbę ujemną jak stratę. Zysk 6 zł i strata 2 zł to razem 4 zł: $6 + (-2) = 4$. Strata 5 zł i zysk 3 zł to razem strata 2 zł: $-5 + 3 = -2$. Dwie straty: $-4 + (-3) = -7$.

12.Dodawanie liczb o jednakowych znakach

Dodajemy liczby bez znaków (ich wartości bezwzględne), a wynikowi dajemy wspólny znak tych liczb: $-7 + (-5) = -12$, $-2{,}3 + (-1{,}4) = -3{,}7$. Suma dwóch liczb ujemnych jest zawsze liczbą ujemną.

13.Dodawanie liczb o różnych znakach

Od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą, a wynikowi dajemy znak tej liczby, która ma większą wartość bezwzględną: $-9 + 4 = -5$, $7 + (-2{,}5) = 4{,}5$, $-3 + 8 = 5$.

14.Suma liczb przeciwnych

Suma dwóch liczb przeciwnych jest równa 0: $8 + (-8) = 0$, $-2{,}4 + 2{,}4 = 0$ - tak jak zysk 1 zł i strata 1 zł dają razem 0 zł. Dodanie zera nie zmienia liczby: $-6 + 0 = -6$.

15.Jak dodawać na osi liczbowej?

Dodając liczbę dodatnią, przesuwamy się na osi w prawo, a dodając liczbę ujemną - w lewo. $-2 + 5$: od $-2$ idziemy 5 jednostek w prawo i dochodzimy do 3, więc $-2 + 5 = 3$. $1 + (-4)$: od 1 idziemy 4 jednostki w lewo do $-3$.

16.Odejmowanie jako dodawanie liczby przeciwnej

Zamiast od jednej liczby odejmować drugą liczbę, możemy do pierwszej liczby dodać liczbę przeciwną do drugiej: $4 - 9 = 4 + (-9) = -5$, $-6 - 3 = -6 + (-3) = -9$, $0{,}2 - 1 = 0{,}2 + (-1) = -0{,}8$. Gdy odjemnik jest większy od odjemnej, różnica jest ujemna.

17.Jak odjąć liczbę ujemną?

Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby do niej przeciwnej, czyli dodatniej: $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$, $-8 - (-3) = -8 + 3 = -5$. Gdy odejmujemy liczbę ujemną, różnica jest większa od odjemnej.

18.Dodawanie i odejmowanie ułamków ze znakiem minus

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem stosujemy te same zasady znaków co dla liczb całkowitych: $\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$, $-1\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -1\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}$. Ułamki dziesiętne: $-4{,}2 - 1{,}5 = -5{,}7$.

19.Jak obliczyć kilka dodawań i odejmowań z liczbami ujemnymi?

Liczymy po kolei od lewej do prawej, a każde odejmowanie możemy zamienić na dodawanie liczby przeciwnej: $5 + (-8) - (-2) = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$. Można też osobno dodać liczby dodatnie ($5 + 2 = 7$) i ujemne ($-8$), a potem wyniki: $7 + (-8) = -1$.

20.Jak znaleźć brakujący składnik albo odjemnik?

Brakujący składnik obliczamy, odejmując od sumy znany składnik: $12 + \square = 5$, więc $\square = 5 - 12 = -7$. Brakujący odjemnik to odjemna minus różnica: $-4 - \square = 6$, więc $\square = -4 - 6 = -10$. Sprawdzenie: $-4 - (-10) = -4 + 10 = 6$.

21.Jak obliczyć różnicę temperatur albo położenia względem poziomu morza?

Od wyższej wartości odejmujemy niższą. Od $-8^\circ\mathrm{C}$ do $5^\circ\mathrm{C}$ różnica temperatur wynosi $5 - (-8) = 5 + 8 = 13$ stopni. Samolot na wysokości 300 m i łódź podwodna na głębokości 40 m ($-40$ m) dzieli $300 - (-40) = 340$ m.

22.Suma kolejnych liczb całkowitych - pary liczb przeciwnych

Liczby przeciwne dają w sumie 0, więc łączymy je w pary. Suma liczb całkowitych od $-6$ do 4: pary $-4$ i 4, $-3$ i 3, $-2$ i 2, $-1$ i 1 dają po 0, zostaje $-6 + (-5) = -11$.

23.Mnożenie przez $-1$

Mnożąc liczbę przez $-1$, otrzymujemy liczbę do niej przeciwną: $(-1) \cdot 9 = -9$, $(-6) \cdot (-1) = 6$, $(-1) \cdot (-1) = 1$. Mnożenie liczby naturalnej przez $-1$ możemy zastąpić dodawaniem: $4 \cdot (-1) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4$.

24.Znak iloczynu dwóch liczb

Iloczyn dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią, a iloczyn dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną: $(+) \cdot (+) = (+)$, $(-) \cdot (-) = (+)$, $(+) \cdot (-) = (-)$, $(-) \cdot (+) = (-)$. Na przykład $(-6) \cdot (-3) = 18$, a $(-6) \cdot 3 = -18$.

25.Jak pomnożyć liczby dodatnie i ujemne?

Najpierw ustalamy znak wyniku, a potem mnożymy liczby bez znaków. $(-2{,}5) \cdot 4$: znaki przeciwne, więc wynik ujemny; $2{,}5 \cdot 4 = 10$, zatem $(-2{,}5) \cdot 4 = -10$. $(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{9}{4}) = \frac{18}{12} = 1\frac{1}{2}$, bo znaki są jednakowe.

26.Znak ilorazu dwóch liczb

Gdy dzielna i dzielnik mają jednakowe znaki, iloraz jest liczbą dodatnią, a gdy mają przeciwne znaki - liczbą ujemną: $(-20) : (-4) = 5$, $(-20) : 4 = -5$, $20 : (-4) = -5$. Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: $(-5) \cdot 4 = -20$.

27.Zero w mnożeniu i dzieleniu

Gdy liczbę 0 mnożymy przez jakąś liczbę, otrzymujemy 0: $(-8) \cdot 0 = 0$, $0 \cdot (-3) = 0$. Gdy 0 dzielimy przez liczbę różną od 0, też otrzymujemy 0: $0 : (-5) = 0$. Nie wolno dzielić przez 0.

28.Jak dzielić ułamki dodatnie i ujemne?

Ustalamy znak ilorazu, a potem dzielimy liczby bez znaków jak zwykle - ułamki zwykłe mnożąc przez odwrotność dzielnika: $(-\frac{3}{4}) : \frac{1}{8} = -(\frac{3}{4} \cdot 8) = -6$. Ułamki dziesiętne: $(-1{,}8) : (-0{,}3) = 6$, bo znaki są jednakowe.

29.Znak iloczynu kilku liczb

Gdy żaden czynnik nie jest zerem, liczymy czynniki ujemne. Parzysta liczba czynników ujemnych daje iloczyn dodatni, a nieparzysta - ujemny: $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$ (3 czynniki ujemne), $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = 24$ (4 czynniki ujemne).

30.Potęga liczby ujemnej

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią, a o wykładniku nieparzystym - ujemną: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$, $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$, $(-3)^4 = 81$. Liczbę ujemną podnoszoną do potęgi piszemy w nawiasie.

31.Kolejność działań z liczbami dodatnimi i ujemnymi

Obowiązuje zwykła kolejność działań: najpierw działania w nawiasach, potem potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. $-3 - 4 \cdot 2 = -3 - 8 = -11$. $2 \cdot (-3)^2 - 20 = 2 \cdot 9 - 20 = 18 - 20 = -2$.

32.Kreska ułamkowa w wyrażeniu z liczbami ujemnymi

Kreska ułamkowa działa jak nawias i znak dzielenia: najpierw obliczamy osobno licznik i mianownik, a potem dzielimy. $\frac{-6 - 12}{-3} = \frac{-18}{-3} = 6$, bo dzielna i dzielnik mają jednakowe znaki.

33.Średnia arytmetyczna liczb dodatnich i ujemnych

Dodajemy wszystkie liczby razem z ich znakami i dzielimy sumę przez liczbę tych liczb. Temperatury $-4^\circ\mathrm{C}$, $-1^\circ\mathrm{C}$, $2^\circ\mathrm{C}$ i $-5^\circ\mathrm{C}$: suma $-4 + (-1) + 2 + (-5) = -8$, a średnia $-8 : 4 = -2^\circ\mathrm{C}$.