Procenty i ułamki, jaki to procent, diagramy - Matematyka z plusem 6

1.Co oznacza symbol %?

Symbol % czytamy „procent”. Słowo to pochodzi od łacińskiego „pro centum”, czyli „na sto”. Gdy 40% uczniów jeździ rowerem, to na każdych 100 uczniów przypada 40 takich, czyli $\frac{40}{100}$ liczby wszystkich uczniów.

2.Jeden procent

Jeden procent danej wielkości to setna część tej wielkości: $1\% = \frac{1}{100}$. Procenty pewnych wielkości (np. powierzchni, liczby osób, długości, kwoty) to inaczej zapisane ułamki tych wielkości: $3\% = \frac{3}{100}$, $58\% = \frac{58}{100}$, $140\% = \frac{140}{100}$.

3.Jak zamienić procent na ułamek dziesiętny?

Zapisujemy procent jako ułamek o mianowniku 100, a potem jako ułamek dziesiętny - przecinek przesuwamy o 2 miejsca w lewo: $4\% = \frac{4}{100} = 0{,}04$, $38\% = \frac{38}{100} = 0{,}38$, $160\% = \frac{160}{100} = 1{,}6$. Brakujące miejsca po przecinku uzupełniamy zerami.

4.Jak zamienić procent na ułamek zwykły nieskracalny?

Zapisujemy procent jako ułamek o mianowniku 100 i skracamy go: $35\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ (skracamy przez 5), $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ (przez 20), $150\% = \frac{150}{100} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ (przez 50).

5.Procent zawsze jest ułamkiem pewnej wielkości

W praktyce procent nie występuje jako samodzielny ułamek - zawsze jest ułamkiem pewnej wielkości. $40\% = 0{,}4$, ale 40% pewnej kwoty to $0{,}4$ tej kwoty, a nie $0{,}4$ zł. $100\% = 1$, ale 100% uczniów to wszyscy uczniowie, a nie 1 uczeń.

6.Procenty, które warto zapamiętać

100% to całość, 50% to połowa, 25% to ćwierć, 75% to trzy czwarte, 20% to jedna piąta, 10% to jedna dziesiąta, a 200% to 2 razy więcej. Na rysunku zamalowano kolejno 25%, 50% i 75% koła.

7.Procenty większe niż 100%

100% to cała wielkość. Gdy coś jest większe od tej całości, ma więcej niż 100%: półtora raza więcej to 150%, 2 razy więcej to 200%, 3 razy więcej to 300%. Gdy przyszło 2 razy więcej gości, niż zaproszono, liczba gości stanowiła 200% liczby zaproszonych.

8.Jak ustalić, jaki procent figury zamalowano?

Liczymy, na ile równych części podzielono figurę i ile z nich zamalowano. Zapisujemy ułamek, rozszerzamy go do mianownika 100 i zamieniamy na procent. Na rysunku zamalowano 7 z 20 równych części: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35\%$.

9.Jak obliczyć, jaki procent zostaje do całości?

Wszystkie części całości razem to 100%. Gdy znamy procent jednej części, resztę obliczamy, odejmując go od 100%. Gdy 35% klasy to chłopcy, to dziewczęta stanowią $100\% - 35\% = 65\%$ klasy. Gdy części są dwie znane, najpierw je dodajemy, a sumę odejmujemy od 100%.

10.Jak porównać ułamek i procent tej samej wielkości?

Zamieniamy obie liczby na tę samą postać - najwygodniej obie na procenty albo obie na ułamki dziesiętne. Co jest większe: $\frac{3}{4}$ pojemności czy 70% pojemności? $\frac{3}{4} = 75\%$, a $75\% > 70\%$, więc więcej jest $\frac{3}{4}$. Rysunek: $\frac{3}{4}$ paska i $\frac{7}{10}$ paska, czyli 70%.

11.Kiedy ułamek wielkości to mniej niż 100% lub mniej niż 50% tej wielkości?

Ułamek to mniej niż 100%, gdy licznik jest mniejszy od mianownika ($\frac{5}{9}$), dokładnie 100%, gdy są równe ($\frac{9}{9}$), a więcej niż 100%, gdy licznik jest większy ($\frac{9}{5}$). Ułamek to mniej niż 50%, gdy licznik jest mniejszy od połowy mianownika: $\frac{4}{10} < 50\%$, bo 4 to mniej niż połowa z 10.

12.Jak zamienić ułamek zwykły na procent przez rozszerzanie lub skracanie?

Łatwo zamienić na procent ułamek, który da się rozszerzyć lub skrócić do mianownika 100. Rozszerzanie: $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\%$ (przez 5). Skracanie: $\frac{120}{400} = \frac{30}{100} = 30\%$ (przez 4). Można też skracać kilka razy, aż dojdziemy do mianownika 100.

13.Ułamki o mianownikach 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 jako procenty

Liczby 2, 4, 5, 10, 20, 25 i 50 są dzielnikami liczby 100, więc ułamek o takim mianowniku zawsze rozszerzymy do mianownika 100. Warto znać: $\frac{1}{2} = 50\%$, $\frac{1}{4} = 25\%$, $\frac{1}{5} = 20\%$, $\frac{1}{10} = 10\%$, $\frac{1}{20} = 5\%$, $\frac{1}{25} = 4\%$, $\frac{1}{50} = 2\%$.

14.Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba?

Najpierw ustalamy, jakim ułamkiem jednej liczby jest druga: w liczniku piszemy część, a w mianowniku całość. Potem zamieniamy ten ułamek na procent. 18 osób spośród 40 to $\frac{18}{40} = \frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 45\%$ grupy.

15.Co znaczy wynik procentowy ankiety?

Wynik procentowy mówi, ile osób przypada na każde 100 pytanych, ale nie znaczy, że pytano dokładnie 100 osób. Gdy przepytano 300 widzów, a 210 z nich uznało film za dobry, to $\frac{210}{300} = \frac{70}{100} = 70\%$ widzów uznało film za dobry.

16.Jak obliczyć, jaki procent całości stanowi reszta?

Są dwa sposoby. Spośród 50 drzew 14 to grusze. Sposób 1: obliczamy resztę $50 - 14 = 36$ i $\frac{36}{50} = \frac{72}{100} = 72\%$. Sposób 2: grusze to $\frac{14}{50} = \frac{28}{100} = 28\%$, więc pozostałe drzewa to $100\% - 28\% = 72\%$.

17.Która liczba jest w mianowniku: „jaki procent liczby a stanowi liczba b”?

W mianowniku piszemy liczbę, od której liczymy procent, czyli tę po słowach „jaki procent”. Liczba 10 to $\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 25\%$ liczby 40. Liczba 40 to $\frac{40}{10} = 4 = 400\%$ liczby 10. Zamiana licznika z mianownikiem daje zupełnie inny wynik.

18.Jaki to procent, gdy wielkości mają różne jednostki?

Przed zapisaniem ułamka zamieniamy obie wielkości na tę samą jednostkę. Ile procent godziny to 15 minut? $1~\mathrm{h} = 60~\mathrm{min}$, więc $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 25\%$. Ile procent metra to 40 cm? $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, więc $\frac{40}{100} = 40\%$.

19.Jaki to procent, gdy całość trzeba najpierw obliczyć?

Gdy znamy tylko części, całość to ich suma. W autobusie jechało 12 dorosłych i 18 dzieci, razem $12 + 18 = 30$ osób. Dorośli to $\frac{12}{30} = \frac{4}{10} = 40\%$ pasażerów, a dzieci $\frac{18}{30} = \frac{6}{10} = 60\%$. Sprawdzenie: $40\% + 60\% = 100\%$.

20.Frekwencja

Frekwencja to procent osób obecnych wśród wszystkich, które powinny być. Gdy z 25 uczniów klasy obecnych jest 23, frekwencja wynosi $\frac{23}{25} = \frac{92}{100} = 92\%$. Gdy obecni są wszyscy, frekwencja wynosi 100%.

21.Jak zamienić ułamek dziesiętny na procent?

Zapisujemy ułamek dziesiętny jako setne (w razie potrzeby dopisujemy zero na końcu) i zamieniamy na procent - przecinek przesuwa się o 2 miejsca w prawo: $0{,}08 = \frac{8}{100} = 8\%$, $0{,}4 = 0{,}40 = \frac{40}{100} = 40\%$, $2{,}5 = 2{,}50 = \frac{250}{100} = 250\%$.

22.Jak zamienić dowolny ułamek zwykły na procent metodą dzielenia?

Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Dzielimy licznik przez mianownik (np. na kalkulatorze), a otrzymany ułamek dziesiętny zamieniamy na procent: $\frac{63}{180} = 63 : 180 = 0{,}35 = 35\%$, $\frac{57}{30} = 57 : 30 = 1{,}9 = 1{,}90 = 190\%$. Tą metodą zamienimy na procent każdy ułamek.

23.Jak zamienić ułamek na procent, gdy dzielenie daje wiele cyfr po przecinku?

Wynik dzielenia najpierw zaokrąglamy, najlepiej do drugiego miejsca po przecinku (do części setnych), a potem to zaokrąglenie zamieniamy na procent: $\frac{5}{7} = 5 : 7 \approx 0{,}714 \approx 0{,}71 = 71\%$. Gdy trzecia cyfra po przecinku to 5 lub więcej, zaokrąglamy w górę.

24.Zaokrąglanie wyniku procentowego

W praktyce często zaokrąglamy też otrzymany procent, np. do dziesiątek, i mówimy „około”. Gdy na 900 pytanych osób 333 odpowiedziały „tak”, to $\frac{333}{900} = 333 : 900 = 0{,}37 = 37\% \approx 40\%$, czyli około 40% pytanych odpowiedziało „tak”.

25.Diagram kołowy

Diagram kołowy pokazuje podział całości (100%) na części. Każdy wycinek koła to procent całości, a wszystkie wycinki razem dają 100%. Połowa koła to 50%, ćwierć koła to 25%. Rysunek: ulubiona pora roku - lato 40%, wiosna 25%, zima 20%, jesień 15%.

26.Kiedy wyniki ankiety można pokazać na diagramie kołowym?

Tylko wtedy, gdy każdy ankietowany mógł wskazać jedną odpowiedź - wtedy wyniki sumują się do 100%. Gdy można było wskazać kilka odpowiedzi, suma wyników przekracza 100% i diagramu kołowego użyć nie można. Wtedy rysujemy na przykład diagram słupkowy.

27.Diagram słupkowy

Na diagramie słupkowym każdy wynik to słupek, którego wysokość odczytujemy na osi z procentami - im wyższy słupek, tym większy procent. Rysunek: ankieta „Jakie owoce lubisz?”, w której można było wskazać kilka owoców. Wyniki dają razem 180%, więc pasuje tu diagram słupkowy, a nie kołowy.

28.Jak porównywać wyniki odczytane z diagramu?

Szukamy największego i najmniejszego wycinka lub słupka - to najczęstsza i najrzadsza odpowiedź. Gdy pytamy, ile razy jedna odpowiedź była częstsza od drugiej, dzielimy ich procenty: 40% to $40 : 20 = 2$ razy więcej niż 20%. Gdy pytamy, o ile więcej, odejmujemy procenty.

29.Jak opisać wynik z diagramu ułamkiem?

Procenty z diagramu porównujemy ze znanymi ułamkami: ponad 50% to ponad połowa, około 25% to około ćwierć, ponad 75% to ponad trzy czwarte, 10% to co dziesiąta osoba, 20% to co piąta. Mały procent zapisujemy jako „1 na …”: 5% to 1 osoba na 20, a 1% to 1 osoba na 100.

30.Jak obliczyć procent kilku odpowiedzi razem i procent osób, które czegoś nie wybrały?

Na diagramie kołowym każdy wybrał jedną odpowiedź, więc procenty wycinków można dodawać: lato 40% i wiosna 25% to razem 65%, a „ani lato, ani wiosna” to $100\% - 65\% = 35\%$. Gdy można było wskazać kilka odpowiedzi, procentów nie dodajemy, ale osoby, które nie wskazały odpowiedzi wybranej przez 64%, to $100\% - 64\% = 36\%$.

31.Diagram słupkowy porównujący dwie grupy

Gdy porównujemy dwie grupy, np. dziewczęta i chłopców, przy każdej odpowiedzi stoją dwa słupki obok siebie, a legenda mówi, który kolor oznacza którą grupę. Gdy jazdę na rowerze wskazało 30% dziewcząt i 45% chłopców, to wśród chłopców ta odpowiedź jest bardziej popularna.

32.Jak narysować diagram słupkowy z tabeli wyników?

Rysujemy pionową oś z procentami w równych odstępach, np. co 10% albo co 20%. Dla każdej odpowiedzi rysujemy słupek tej samej szerokości, sięgający do jej procentu na osi. Każdy słupek podpisujemy nazwą odpowiedzi, a cały diagram - tytułem.