Symetrie - Matematyka z plusem 8

1.Figury symetryczne względem prostej

Dwie figury są symetryczne względem prostej, gdy jedna jest odbiciem drugiej względem tej prostej. Po złożeniu kartki wzdłuż prostej figury nakładają się na siebie, tak jak kleks odbity na złożonej kartce. Napis na karetce pisze się w odbiciu lustrzanym, aby kierowca jadący przed nią przeczytał go poprawnie we wstecznym lusterku.

2.Kiedy dwa punkty są symetryczne względem prostej k?

Dwa punkty nieleżące na prostej k są symetryczne względem prostej k, jeżeli: leżą na prostej prostopadłej do prostej k, leżą po przeciwnych stronach prostej k i leżą w równych odległościach od prostej k. Punkt leżący na prostej k jest symetryczny sam do siebie względem tej prostej.

3.Jak znaleźć ekierką punkt P' symetryczny do punktu P względem prostej m?

1) Ekierką rysujemy prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłą do prostej m. 2) Mierzymy odległość punktu P od prostej m, np. 2 cm. 3) Po drugiej stronie prostej m, na tej prostopadłej, odmierzamy linijką albo cyrklem tę samą odległość, czyli 2 cm. Otrzymany punkt to P'.

4.Jak znaleźć cyrklem punkt A' symetryczny do punktu A względem prostej k?

1) Z punktu A kreślimy łuk, który przecina prostą k w dwóch punktach. 2) Z obu otrzymanych punktów, nie zmieniając promienia, kreślimy po drugiej stronie prostej dwa łuki. 3) Punkt przecięcia tych łuków to A'. Punkty A, A' i dwa punkty na prostej k są wierzchołkami rombu, a prosta AA' i prosta k zawierają jego przekątne.

5.Jak narysować odcinek albo wielokąt symetryczny względem prostej?

Odbijamy tylko końce odcinka albo wierzchołki wielokąta: znajdujemy punkty do nich symetryczne względem prostej i łączymy je w tej samej kolejności. Na rysunku czworokąt A'B'C'D' jest symetryczny do czworokąta ABCD względem prostej l: punkt A' to odbicie punktu A, B' to odbicie B itd.

6.Własności figur symetrycznych względem prostej

Figury symetryczne względem prostej są przystające, bo jedną można nałożyć na drugą. Odcinki symetryczne względem prostej mają równe długości, a kąty symetryczne mają równe miary. Np. jeśli $AB = 3~\mathrm{cm}$ i $\angle ABC = 50^\circ$, to w odbiciu $A'B' = 3~\mathrm{cm}$ i $\angle A'B'C' = 50^\circ$.

7.Symetria względem osi układu współrzędnych

Względem osi $x$ zmienia się znak drugiej współrzędnej: punkt $(x, y)$ przechodzi na $(x, -y)$. Względem osi $y$ zmienia się znak pierwszej współrzędnej: $(x, y)$ przechodzi na $(-x, y)$. Na rysunku punkt $A = (3, 2)$ ma odbicie $A' = (3, -2)$ względem osi $x$ oraz $A'' = (-3, 2)$ względem osi $y$.

8.Prosta a i jej odbicie symetryczne względem prostej k

Jeśli prosta a jest równoległa do k, to jej odbicie a' też jest równoległe do a. Jeśli a przecina k, to a' przecina k w tym samym punkcie i pod tym samym kątem, ale z drugiej strony. Gdy a tworzy z k kąt $45^\circ$, proste a i a' są prostopadłe. Gdy a jest prostopadła do k albo pokrywa się z k, odbiciem jest ta sama prosta.

9.Oś symetrii figury i figura osiowosymetryczna

Jeżeli figura jest symetryczna sama do siebie względem prostej k, to prostą k nazywamy osią symetrii tej figury. Po złożeniu wzdłuż osi obie części figury nakładają się na siebie. Figurę, która ma oś symetrii, nazywamy figurą osiowosymetryczną. Figura może mieć jedną oś, kilka osi albo nieskończenie wiele osi.

10.Ile osi symetrii ma trójkąt?

Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii. Trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny, ma 1 oś - prostą zawierającą wysokość poprowadzoną do podstawy. Trójkąt różnoboczny nie ma osi symetrii. Na rysunku trójkąt ABC ma ramiona AC i BC równej długości, a jego oś przechodzi przez wierzchołek C i środek podstawy AB.

11.Ile osi symetrii mają czworokąty?

Kwadrat ma 4 osie, prostokąt (nie kwadrat) - 2 osie przechodzące przez środki przeciwległych boków, romb (nie kwadrat) - 2 osie zawierające przekątne. Trapez równoramienny i deltoid (nie romb) mają po 1 osi. Równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem, nie ma osi symetrii. Na rysunku osie rombu leżą na przekątnych AC i BD.

12.Osie symetrii wielokąta foremnego, koła i półkola

Wielokąt foremny o $n$ bokach ma $n$ osi symetrii, np. pięciokąt foremny ma 5 osi, a sześciokąt foremny 6. Koło i okrąg mają nieskończenie wiele osi - każdą prostą przechodzącą przez środek. Półkole ma 1 oś: prostą prostopadłą do średnicy, przechodzącą przez jej środek.

13.Ile osi symetrii mają odcinek, prosta i półprosta?

Odcinek ma 2 osie symetrii: prostą, na której leży, i swoją symetralną. Prosta ma nieskończenie wiele osi: siebie samą i każdą prostą do niej prostopadłą. Półprosta ma 1 oś - prostą, na której leży.

14.Litery, które mają oś symetrii

W zwykłym druku wielkimi literami pionową oś symetrii mają m.in. litery A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Poziomą oś mają m.in. B, C, D, E, H, I, K, O, X. Litery H, I, O, X mają po dwie osie. W ozdobnych krojach pisma litery mogą tych osi nie mieć. Wyraz ma oś symetrii, gdy złożony wzdłuż niej nakłada się na siebie, np. TOT (oś pionowa) albo KOD (oś pozioma).

15.Jak uzupełnić figurę, aby była osiowosymetryczna?

Wybieramy prostą, która ma być osią symetrii. Dla każdego wierzchołka figury leżącego poza tą prostą znajdujemy punkt symetryczny względem niej. Potem łączymy otrzymane punkty tak, jak połączone są wierzchołki danej figury. Figura razem ze swoim odbiciem ma wybraną prostą za oś symetrii.

16.Najkrótsza droga z A do B przez punkt na prostej k

Gdy punkty A i B leżą po tej samej stronie prostej k, znajdujemy punkt B' symetryczny do B względem k. Dla każdego punktu C prostej k odcinki BC i B'C są równe, więc droga A-C-B jest tak długa jak A-C-B'. Jest najkrótsza, gdy C leży na odcinku AB', czyli w punkcie przecięcia AB' z prostą k.

17.Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek. Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka - drugą jest prosta, na której leży odcinek.

18.Własność symetralnej odcinka

Symetralną odcinka AB tworzą wszystkie punkty jednakowo oddalone od jego końców. Jeśli punkt P leży na symetralnej AB, to $PA = PB$. Punkt, który nie leży na symetralnej, jest bliżej tego końca odcinka, po którego stronie symetralnej leży.

19.Konstrukcja symetralnej odcinka AB

1) Z punktu A kreślimy łuki po obu stronach odcinka AB, o promieniu większym niż połowa długości odcinka. 2) Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuki z punktu B. 3) Przez dwa punkty przecięcia łuków prowadzimy prostą - to symetralna odcinka AB. Wystarczą dwa punkty, bo każdy z nich jest jednakowo oddalony od A i B.

20.Jak konstrukcyjnie znaleźć środek odcinka i środek okręgu?

Środek odcinka to punkt przecięcia odcinka z jego symetralną, więc wystarczy skonstruować symetralną. Symetralna każdej cięciwy okręgu przechodzi przez środek okręgu. Aby znaleźć środek narysowanego okręgu, rysujemy dwie nierównoległe cięciwy i konstruujemy ich symetralne - przecinają się one w środku okręgu.

21.Wierzchołek trójkąta na symetralnej boku

Jeśli wierzchołek C trójkąta ABC leży na symetralnej boku AB, to $AC = BC$, więc trójkąt jest równoramienny i kąty przy podstawie AB są równe. Np. gdy $\angle CAB = 35^\circ$, to $\angle ABC = 35^\circ$ i $\angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ = 110^\circ$.

22.Symetralna odcinka w układzie współrzędnych

Środek odcinka o końcach $P = (1, -3)$ i $R = (1, 5)$ to $M = (1, 1)$, bo $\frac{1 + 1}{2} = 1$ i $\frac{-3 + 5}{2} = 1$. Odcinek PR jest pionowy, więc symetralna jest prostą poziomą przez M: tworzą ją punkty o drugiej współrzędnej 1, np. $K = (-3, 1)$ i $L = (5, 1)$.

23.Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. Leży ona na osi symetrii kąta. Np. dwusieczna kąta o mierze $70^\circ$ dzieli go na dwa kąty po $35^\circ$. Rozważamy dwusieczne kątów o miarach mniejszych od $180^\circ$.

24.Konstrukcja dwusiecznej kąta $\alpha$

1) Z wierzchołka kąta $\alpha$ kreślimy łuk o dowolnym promieniu, który przecina oba ramiona. 2) Z punktów przecięcia łuku z ramionami kreślimy łuki o jednakowym promieniu, które przecinają się wewnątrz kąta. 3) Z wierzchołka prowadzimy półprostą przez punkt przecięcia łuków - to dwusieczna kąta $\alpha$.

25.Własność dwusiecznej kąta

Dwusieczną kąta tworzą wszystkie punkty tego kąta, które są jednakowo odległe od obu ramion kąta. Odległość punktu od ramienia mierzymy wzdłuż odcinka prostopadłego do ramienia. Punkt leżący poza dwusieczną jest bliżej tego ramienia, po którego stronie dwusiecznej leży.

26.Jak skonstruować kąty $45^\circ$, $22{,}5^\circ$, $30^\circ$ i $15^\circ$?

Konstruujemy kąt prosty, np. jako kąt między odcinkiem a jego symetralną, i dzielimy go dwusieczną: $90^\circ : 2 = 45^\circ$, potem $45^\circ : 2 = 22{,}5^\circ$. Kąt $60^\circ$ to kąt trójkąta równobocznego, który konstruujemy cyrklem z trzech równych boków. Jego dwusieczna daje $30^\circ$, a kolejna $15^\circ$.

27.Dwusieczna kąta w trójkącie - jak obliczyć kąty?

Najpierw liczymy brakujący kąt trójkąta z sumy $180^\circ$, potem dzielimy go dwusieczną na połowy i znów korzystamy z sumy kątów. Na rysunku $\angle A = 70^\circ$ i $\angle B = 40^\circ$, więc $\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$. Dwusieczna kąta C dzieli go na dwa kąty po $35^\circ$ i odcina mniejszy trójkąt z wierzchołkiem B. Jego trzeci kąt, przy boku AB, ma miarę $180^\circ - 40^\circ - 35^\circ = 105^\circ$.

28.Kąt między dwusiecznymi kątów przyległych

Dwusieczne dwóch kątów przyległych są prostopadłe. Kąty przyległe mają razem $180^\circ$, a dwusieczne biorą połowę każdego z nich, więc tworzą kąt $180^\circ : 2 = 90^\circ$. Np. dla kątów $130^\circ$ i $50^\circ$: $65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$.

29.Dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego

Jeśli kąt między ramionami ma miarę $\alpha$, to dwusieczne kątów przy podstawie przecinają się (od strony podstawy) pod kątem $\frac{\alpha}{2} + 90^\circ$. Np. dla $\alpha = 40^\circ$: kąty przy podstawie mają po $70^\circ$, ich połowy po $35^\circ$, a kąt między dwusiecznymi $180^\circ - 2 \cdot 35^\circ = 110^\circ$, czyli $20^\circ + 90^\circ$.

30.Przekątna trapezu na dwusiecznej kąta

Gdy przekątna AC trapezu ABCD ($AB \parallel CD$) leży na dwusiecznej kąta przy A, to $\angle DAC = \angle CAB$, a $\angle CAB = \angle DCA$ jako kąty naprzemianległe. Zatem trójkąt ACD jest równoramienny i $AD = DC$: ramię trapezu jest równe krótszej podstawie.

31.Figury symetryczne względem punktu

Dwie figury są symetryczne względem punktu S, jeżeli jedną z nich można otrzymać, obracając drugą wokół punktu S o $180^\circ$. Odcinki łączące odpowiadające sobie punkty obu figur przecinają się w punkcie S, który jest środkiem każdego z tych odcinków.

32.Kiedy punkty A i A' są symetryczne względem punktu S?

Punkty A i A' są symetryczne względem punktu S, jeżeli punkt S jest środkiem odcinka AA'. Aby znaleźć A', rysujemy półprostą AS i odmierzamy na niej za punktem S odcinek $SA' = AS$. Punkt S jest symetryczny sam do siebie. Na rysunku trójkąt A'B'C' jest symetryczny do trójkąta ABC względem punktu O.

33.Odcinek i wielokąt symetryczny względem punktu

Znajdujemy punkty symetryczne do końców odcinka albo do wierzchołków wielokąta i łączymy je w tej samej kolejności. Odcinki symetryczne względem punktu mają jednakową długość i są równoległe, a kąty symetryczne mają jednakowe miary. Na rysunku czworokąt A'B'C'D' jest symetryczny do ABCD względem punktu O, więc $A'B' \parallel AB$ i $A'B' = AB$.

34.Symetria względem początku układu współrzędnych

Względem punktu $(0, 0)$ zmieniają się znaki obu współrzędnych: punkt $(x, y)$ przechodzi na $(-x, -y)$, bo $(0, 0)$ jest środkiem odcinka łączącego te punkty. Na rysunku $A = (2, 3)$ przechodzi na $A' = (-2, -3)$, a $B = (4, -1)$ na $B' = (-4, 1)$.

35.Środek symetrii figury i figura środkowosymetryczna

Jeżeli figura jest symetryczna sama do siebie względem punktu S, to punkt S nazywamy środkiem symetrii tej figury. Figurę, która ma środek symetrii, nazywamy figurą środkowosymetryczną. Po obrocie takiej figury o $180^\circ$ wokół środka symetrii otrzymujemy tę samą figurę.

36.Które figury mają środek symetrii?

Środek symetrii mają m.in.: odcinek (jego środek), okrąg i koło (ich środek), równoległobok, prostokąt, romb i kwadrat (punkt przecięcia przekątnych) oraz litery H, I, N, O, S, X, Z. Nie mają go: żaden trójkąt, trapez, który nie jest równoległobokiem, ani litery A, E, T. Na rysunku przekątne równoległoboku przecinają się w jego środku symetrii.

37.Czworokąty i wielokąty foremne ze środkiem symetrii

Czworokąt ma środek symetrii tylko wtedy, gdy jest równoległobokiem, czyli gdy jego przekątne dzielą się na połowy. Wielokąt foremny o parzystej liczbie boków (kwadrat, sześciokąt foremny, ośmiokąt foremny) ma środek symetrii, a o nieparzystej liczbie boków (trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny) - nie ma.

38.Ile środków symetrii może mieć figura?

Większość figur środkowosymetrycznych ma jeden środek symetrii. Jeżeli figura ma więcej niż jeden środek symetrii, to ma ich nieskończenie wiele, np. prosta: każdy jej punkt jest jej środkiem symetrii. Środek symetrii nie musi należeć do figury, np. środek okręgu nie leży na okręgu.

39.Prosta przez środek symetrii figury

Każda prosta przechodząca przez środek symetrii figury dzieli ją na dwie części o równych polach. Gdy jedną część obrócimy o $180^\circ$ wokół środka symetrii, dokładnie pokryje się ona z drugą. Dlatego prostokąt przetniemy na pół dowolną prostą przechodzącą przez punkt przecięcia jego przekątnych.

40.Oś symetrii a środek symetrii

Figura, która ma dwie prostopadłe osie symetrii, ma też środek symetrii - jest nim punkt przecięcia osi (np. prostokąt, romb, odcinek). Nie każda figura z kilkoma osiami ma środek: trójkąt równoboczny ma 3 osie i nie ma środka symetrii. Równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem, ma środek symetrii, ale nie ma osi.