Równania i zadania tekstowe - Matematyka z plusem 6

1.Równanie

Równanie to równość, w której występuje niewiadoma oznaczona literą, np. $x + 4 = 10$ albo $3y = 12$. Ma lewą stronę (przed znakiem „=”) i prawą stronę (po nim). Równanie przypomina wagę w równowadze: obie strony są sobie równe. Zapis bez znaku równości, np. $x + 4$, nie jest równaniem, tylko wyrażeniem algebraicznym.

2.Niewiadoma

Niewiadoma to nieznana liczba, której szukamy w równaniu. Oznaczamy ją dowolną literą, najczęściej $x$, $y$ albo $z$. W zadaniu tekstowym najpierw ustalamy, co jest niewiadomą, i zapisujemy to, np.: $x$ - liczba uczniów w klasie.

3.Jakie słowa w zdaniu oznaczają znak równości?

Znak „=” zastępuje w zdaniu słowa: „otrzymamy”, „jest równa”, „wynosi”, „stanowi”. Przykład: „Gdy liczbę $y$ zmniejszymy o 8, otrzymamy 15” to równanie $y - 8 = 15$. „Liczba 2 razy większa od $a$ wynosi 18” to $2a = 18$.

4.Jak zapisać równaniem zdanie z „o ...” albo „... razy”?

Najpierw zapisujemy wyrażenie z niewiadomą, potem stawiamy znak równości i liczbę. „O 9 większa od $x$” to $x + 9$, „4 razy większa od $x$” to $4x$, „6 razy mniejsza od $b$” to $\frac{b}{6}$, „o $x$ mniejsza od 50” to $50 - x$. Przykład: „Liczba 6 razy mniejsza od $b$ wynosi 7” to $\frac{b}{6} = 7$.

5.Część liczby i procent w równaniu

Część liczby zapisujemy jako ułamek razy liczba: „Liczba 6 stanowi $\frac{1}{4}$ liczby $c$” to $\frac{1}{4}c = 6$. Procent zamieniamy na ułamek dziesiętny: 30% kwoty $x$ to $0{,}3x$, więc „30% kwoty to 45 zł” to $0{,}3x = 45$. Gdy cena $x$ spadła o 20%, nowa cena to $x - 0{,}2x = 0{,}8x$.

6.Jak zapisać treść zadania tekstowego za pomocą równania?

1. Ustalamy niewiadomą i oznaczamy ją literą. 2. Za pomocą tej litery zapisujemy inne wielkości z zadania. 3. Łączymy je znakiem „=” z liczbą z treści. Przykład: w słoiku były guziki, dosypano 12 i teraz jest 40. $x$ - liczba guzików na początku, równanie: $x + 12 = 40$.

7.Kolejność działań w zdaniu a nawias w równaniu

Gdy działanie wykonujemy na wyniku poprzedniego działania, bierzemy ten wynik w nawias. „Liczbę $x$ zwiększamy o 3, a wynik mnożymy przez 2 i otrzymujemy 18” to $2(x + 3) = 18$. Natomiast „liczbę $x$ mnożymy przez 2, a potem dodajemy 3 i otrzymujemy 18” to $2x + 3 = 18$. To dwa różne równania.

8.Liczba spełniająca równanie (rozwiązanie równania)

Rozwiązanie równania to liczba, która wstawiona w miejsce niewiadomej daje prawdziwą równość. Mówimy, że ta liczba spełnia równanie. Równanie $x + 15 = 40$ spełnia liczba 25, bo $25 + 15 = 40$. Liczba 20 go nie spełnia, bo $20 + 15 = 35$.

9.Jak odgadnąć rozwiązanie prostego równania?

Pytamy, jaką liczbę trzeba wstawić, i korzystamy z działania odwrotnego. $x - 9 = 20$: od tej liczby po odjęciu 9 zostaje 20, więc to $20 + 9 = 29$. $7x = 56$: $56 : 7 = 8$. $x : 4 = 6$: $6 \cdot 4 = 24$. $40 - x = 25$: $40 - 25 = 15$.

10.Jak sprawdzić, czy liczba spełnia równanie?

Obliczamy wartość lewej strony równania dla tej liczby i porównujemy ją z prawą stroną. Czy $-2$ spełnia równanie $3x + 4 = -2$? $3 \cdot (-2) + 4 = -6 + 4 = -2$, więc tak. Czy spełnia je 2? $3 \cdot 2 + 4 = 10$, a $10 \neq -2$, więc nie.

11.Czy każde równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Nie. Równanie $x + 3 = x$ nie ma rozwiązań, bo żadna liczba po dodaniu 3 nie zostaje taka sama. Równanie $3x = x$ spełnia tylko liczba 0. Równanie $x^2 = 16$ spełniają dwie liczby: 4 i $-4$, bo $4 \cdot 4 = 16$ oraz $(-4) \cdot (-4) = 16$.

12.Dlaczego równanie jest jak waga?

Waga w równowadze ma na obu szalkach ten sam ciężar, a równanie - obie strony równe. Gdy z obu szalek zdejmiemy tyle samo albo ciężar na obu zmniejszymy tyle samo razy, waga dalej jest w równowadze. Tak samo z równaniem $3x + 2 = 14$: po odjęciu 2 od obu stron mamy $3x = 12$, a po podzieleniu obu stron przez 3: $x = 4$.

13.Jakie działania można wykonywać na obu stronach równania?

Do obu stron równania możemy dodać to samo wyrażenie albo od obu stron je odjąć. Obie strony możemy też pomnożyć albo podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Zmienia się wtedy postać równania, ale nie zmienia się jego rozwiązanie.

14.Jak usunąć liczbę dodaną do niewiadomej albo od niej odjętą?

Wykonujemy na obu stronach działanie odwrotne. $x + 16 = 40$ - od obu stron odejmujemy 16: $x = 24$. $y - 7{,}5 = 2$ - do obu stron dodajemy $7{,}5$: $y = 9{,}5$. $12 + z = -5$ - od obu stron odejmujemy 12: $z = -17$.

15.Jak usunąć liczbę, przez którą niewiadoma jest mnożona albo dzielona?

Gdy niewiadoma jest pomnożona przez liczbę, dzielimy obie strony przez tę liczbę: $6x = 15$, więc $x = \frac{15}{6} = 2\frac{1}{2}$; $-5x = 20$, więc $x = 20 : (-5) = -4$. Gdy niewiadoma jest podzielona przez liczbę, mnożymy obie strony przez tę liczbę: $\frac{x}{3} = 7$, więc $x = 21$.

16.Gdy przed niewiadomą stoi ułamek

Obie strony mnożymy przez odwrotność tego ułamka - wtedy przed niewiadomą zostaje 1. $\frac{2}{3}x = 10$: mnożymy przez $\frac{3}{2}$, więc $x = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15$. $-\frac{1}{3}x = 2$: mnożymy przez $-3$, więc $x = -6$. To to samo, co podzielenie obu stron przez ten ułamek.

17.Jak zapisywać kolejne kroki rozwiązywania równania?

Działanie, które wykonujemy na obu stronach, zapisujemy z boku, za kreską. Przykład z rysunku: $4x - 3 = 17$ $|+3$, więc $4x = 20$ $|:4$, więc $x = 5$. Najpierw usuwamy liczbę dodaną albo odjętą, potem liczbę mnożącą niewiadomą.

18.Sprawdzenie rozwiązania równania

Po rozwiązaniu równania wstawiamy otrzymaną liczbę do równania wyjściowego i sprawdzamy, czy obie strony są równe. Dla $4x - 3 = 17$ i $x = 5$: $4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17$, więc 5 jest rozwiązaniem. Gdy strony nie są równe, szukamy błędu w rachunkach.

19.Zamiana stron równania

Strony równania możemy ze sobą zamieniać: $26 = 2 + 3x$ i $3x + 2 = 26$ to te same równania. Często wygodniej mieć niewiadomą po lewej stronie. Rozwiązanie: $3x + 2 = 26$ $|-2$, $3x = 24$ $|:3$, $x = 8$.

20.Gdy przed niewiadomą stoi minus

Najpierw usuwamy liczbę dodaną albo odjętą, a potem obie strony dzielimy przez liczbę stojącą przed niewiadomą - razem z minusem. $5 - 3x = 17$ $|-5$, więc $-3x = 12$ $|:(-3)$, więc $x = -4$. Sprawdzenie: $5 - 3 \cdot (-4) = 5 + 12 = 17$. Prościej: $15 - x = 9$ spełnia $x = 15 - 9 = 6$.

21.Gdy w równaniu jest wyrażenie, które można uprościć

Rozwiązywanie zaczynamy od zapisania wyrażeń w prostszej postaci. $2x + 5 + x - 2 = 18$: upraszczamy lewą stronę do $3x + 3 = 18$, potem $3x = 15$ i $x = 5$. Tak samo $3 \cdot 4x - 5 = 7$: $12x - 5 = 7$, $12x = 12$, $x = 1$.

22.Gdy niewiadoma jest w liczniku ułamka

Obie strony mnożymy przez mianownik, żeby pozbyć się kreski ułamkowej. $\frac{x + 2}{5} = 3$ $|\cdot 5$, więc $x + 2 = 15$ $|-2$, więc $x = 13$. Gdy licznik da się uprościć, robimy to najpierw: $\frac{x + 3x}{2} = 6$, czyli $\frac{4x}{2} = 6$, więc $2x = 6$ i $x = 3$.

23.Jak znaleźć liczbę, dla której wyrażenie ma podaną wartość?

Zapisujemy równanie: wyrażenie = podana wartość, i je rozwiązujemy. Dla jakiego $x$ wartość wyrażenia $2x + 9$ jest równa 1? $2x + 9 = 1$ $|-9$, $2x = -8$ $|:2$, $x = -4$. Sprawdzenie: $2 \cdot (-4) + 9 = -8 + 9 = 1$.

24.Równanie z kątami trójkąta

Suma kątów trójkąta to $180^\circ$, więc z niej układamy równanie. W trójkącie równoramiennym z rysunku kąt między ramionami ma $40^\circ$, a kąty przy podstawie po $\beta$: $\beta + \beta + 40^\circ = 180^\circ$, czyli $2\beta = 140^\circ$, więc $\beta = 70^\circ$.

25.Równanie z kątami przyległymi

Kąty przyległe razem mają $180^\circ$. Gdy jeden ma miarę $\alpha$, a drugi $3\alpha$, to $\alpha + 3\alpha = 180^\circ$, czyli $4\alpha = 180^\circ$, więc $\alpha = 45^\circ$. Na rysunku widać kąty $45^\circ$ i $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

26.Równanie z obwodem prostokąta

Obwód prostokąta to suma długości czterech boków. Prostokąt z rysunku ma boki $y$ i 6 cm, a obwód 26 cm: $2y + 2 \cdot 6 = 26$, czyli $2y + 12 = 26$, więc $2y = 14$ i $y = 7$ cm.

27.Równanie z polem trójkąta

Do wzoru na pole trójkąta $P = \frac{a \cdot h}{2}$ wstawiamy znane liczby i rozwiązujemy równanie. Trójkąt z rysunku ma pole $24~\mathrm{cm^2}$ i bok 8 cm: $\frac{8h}{2} = 24$, czyli $4h = 24$, więc wysokość opuszczona na ten bok to $h = 6$ cm.

28.Pięć etapów rozwiązywania zadania tekstowego

I etap - ustalamy niewiadomą, oznaczamy ją literą i zapisujemy informacje z nią związane. II etap - zapisujemy równanie wynikające z treści zadania. III etap - rozwiązujemy równanie. IV etap - sprawdzamy, czy rozwiązanie jest zgodne z treścią zadania. V etap - zapisujemy odpowiedź.

29.Zadanie typu „o ... więcej, a razem ...”

Ola i Ela mają razem 34 naklejki, Ela ma o 6 więcej. $x$ - liczba naklejek Oli, $x + 6$ - liczba naklejek Eli. Równanie: $x + x + 6 = 34$, czyli $2x + 6 = 34$, $2x = 28$, $x = 14$. Sprawdzenie: Ela ma $14 + 6 = 20$, razem $14 + 20 = 34$. Odp. Ola ma 14 naklejek, a Ela 20.

30.Którą wielkość oznaczyć literą x?

Literą możemy oznaczyć dowolną wielkość z zadania - wynik będzie ten sam. W zadaniu o Oli i Eli (razem 34 naklejki, Ela ma o 6 więcej) można przyjąć: $x$ - liczba naklejek Eli, a $x - 6$ - liczba naklejek Oli. Wtedy $x + x - 6 = 34$, $2x = 40$, $x = 20$, a Ola ma $20 - 6 = 14$.

31.Zadanie typu „... razy więcej, a razem ...”

Piotr ma 2 razy więcej kulek niż Jan, a razem mają 39 kulek. $x$ - liczba kulek Jana, $2x$ - liczba kulek Piotra. Równanie: $x + 2x = 39$, czyli $3x = 39$, więc $x = 13$. Piotr ma $2 \cdot 13 = 26$ kulek. Sprawdzenie: $13 + 26 = 39$.

32.Zadanie o zakupach rozwiązane równaniem

Koszt to cena razy liczba sztuk, a do niego dodajemy inne wydatki. Za 4 jednakowe zeszyty i długopis za 2,50 zł zapłacono 12,10 zł. $x$ - cena zeszytu: $4x + 2{,}5 = 12{,}1$, więc $4x = 9{,}6$ i $x = 2{,}4$. Odp. Zeszyt kosztuje 2,40 zł. Sprawdzenie: $4 \cdot 2{,}40 + 2{,}50 = 12{,}10$.

33.Kolejne liczby w zadaniu z równaniem

Trzy kolejne liczby naturalne to $n$, $n + 1$, $n + 2$. Gdy ich suma wynosi 75: $3n + 3 = 75$, $3n = 72$, $n = 24$ - to liczby 24, 25, 26. Trzy kolejne liczby parzyste to $k$, $k + 2$, $k + 4$. Gdy ich suma wynosi 78: $3k + 6 = 78$, $3k = 72$, $k = 24$ - to liczby 24, 26, 28.

34.Zadanie z procentami rozwiązane równaniem

Po obniżce o 20% zostaje 80% ceny, czyli $0{,}8x$. Gdy po obniżce gra kosztuje 64 zł: $0{,}8x = 64$, więc $x = 64 : 0{,}8 = 80$. Odp. Przed obniżką gra kosztowała 80 zł. Sprawdzenie: 20% z 80 zł to 16 zł, a $80 - 16 = 64$.

35.Zadanie z opłatą stałą i opłatą za jednostkę

Opłata = stała kwota + cena za jednostkę razy liczba jednostek. Wypożyczalnia bierze 8 zł za kask i 4 zł za każdą godzinę jazdy, a Tomek zapłacił 28 zł. $x$ - liczba godzin: $8 + 4x = 28$, więc $4x = 20$ i $x = 5$. Odp. Tomek jeździł 5 godzin.

36.Czy wynik równania pasuje do treści zadania?

Wynik musi mieć sens: liczba osób, monet czy kolejna liczba naturalna musi być liczbą naturalną. Czy trzy kolejne liczby naturalne mogą mieć sumę 50? $3n + 3 = 50$, $3n = 47$, $n = 15\frac{2}{3}$ - to nie jest liczba naturalna, więc takich liczb nie ma.