Wyrażenia algebraiczne - Matematyka z plusem 6

1.Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb i znaków działań występują litery, np. $a + 4$, $5 \cdot b$, $x - y$, $\frac{n}{3}$, $c^2$. Litera zastępuje liczbę, której nie znamy albo która może się zmieniać, np. liczbę uczniów czy cenę. Wyrażenie bez liter, np. $12 - 3 \cdot 2$, to wyrażenie arytmetyczne.

2.Jak zapisać liczbę o 4 większą albo 4 razy większą od x?

„O 4 większa” oznacza dodawanie: $x + 4$. „4 razy większa” oznacza mnożenie: $4 \cdot x$, czyli $4x$. Przykład: gdy $x = 10$, liczba o 4 większa to 14, a liczba 4 razy większa to 40.

3.Jak zapisać liczbę o 4 mniejszą albo 4 razy mniejszą od x?

„O 4 mniejsza” oznacza odejmowanie: $x - 4$. „4 razy mniejsza” oznacza dzielenie: $x : 4$, czyli $\frac{x}{4}$. Przykład: gdy $x = 20$, liczba o 4 mniejsza to 16, a liczba 4 razy mniejsza to 5. Rysunek zbiera wszystkie cztery zapisy.

4.Kolejność liczb przy „o ... mniejsza” i „... razy mniejsza”

Zaczynamy od liczby, od której ma być mniej. Liczba o 3 mniejsza od $a$ to $a - 3$, a liczba o $a$ mniejsza od 3 to $3 - a$. Liczba 6 razy mniejsza od $b$ to $b : 6$, a liczba $b$ razy mniejsza od 6 to $6 : b$. Zamiana kolejności zmienia wynik.

5.Suma, różnica, iloczyn i iloraz zapisane literami

Suma liczb $a$ i $b$ to $a + b$, różnica - $a - b$, iloczyn - $a \cdot b$, a iloraz - $a : b$, czyli $\frac{a}{b}$. Suma trzech liczb $x$, $y$ i $z$ to $x + y + z$. Jeśli jedną z liczb jest całe wyrażenie, bierzemy je w nawias: iloczyn liczb $y - 2$ i 5 to $(y - 2) \cdot 5$.

6.Kiedy w wyrażeniu potrzebny jest nawias?

Nawias stawiamy, gdy działanie ma dotyczyć całej sumy albo różnicy. Liczba 2 razy większa od sumy $a$ i $b$ to $2(a + b)$, a nie $2a + b$. Połowa liczby $x + 8$ to $\frac{x + 8}{2}$, a nie $x + \frac{8}{2}$. Kreska ułamkowa działa jak nawias: dzieli cały licznik.

7.Część liczby jako wyrażenie algebraiczne

Połowa liczby $n$ to $\frac{n}{2}$, czyli $\frac{1}{2}n$. Jedna trzecia liczby $n$ to $\frac{n}{3} = \frac{1}{3}n$, a dwie trzecie - $\frac{2}{3}n$. Część liczby obliczamy, mnożąc ułamek przez tę liczbę: $\frac{3}{4}$ z 20 uczniów to $\frac{3}{4} \cdot 20 = 15$ uczniów. Rysunek pokazuje $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ paska.

8.Kiedy można pominąć znak mnożenia?

Kropkę mnożenia możemy pominąć między liczbą a literą, między literami i przed nawiasem: $4m$ oznacza to samo co $4 \cdot m$, $ab$ - to samo co $a \cdot b$, $\frac{xy}{2}$ - to samo co $\frac{x \cdot y}{2}$, a $2(y + 3)$ - to samo co $2 \cdot (y + 3)$. Liczbę piszemy wtedy przed literą: $5a$, a nie $a5$.

9.Kiedy kropki mnożenia nie wolno pominąć?

Gdy po kropce stoi liczba zapisana cyframi, np. $b \cdot 4$, $(m + n) \cdot 3$. Bez kropki zapis byłby niejasny. Iloczynu dwóch liczb też nie skracamy: $2 \cdot 5$ to nie 25. Zapis $b \cdot 4$ można zamienić na $4b$, bo zamiana czynników nie zmienia iloczynu.

10.Jak zapisać koszt zakupów za pomocą wyrażenia?

Koszt to cena jednej rzeczy razy liczba rzeczy. Gdy zeszyt kosztuje 3 zł, za $n$ zeszytów płacimy $3n$ zł. Gdy kupujemy różne rzeczy, dodajemy koszty: $a$ biletów po 12 zł i $b$ biletów po 8 zł kosztuje $12a + 8b$ zł. Zysk na jednej rzeczy to cena sprzedaży minus cena zakupu.

11.Jak zapisać wyrażeniem k metrów i 35 centymetrów w centymetrach?

Liczbę większych jednostek mnożymy przez to, ile mniejszych jednostek się w niej mieści, i dodajemy resztę. 1 m = 100 cm, więc $k$ m 35 cm to $(100k + 35)~\mathrm{cm}$. Tak samo: $d$ dni i 5 godzin to $24d + 5$ godzin, a $x$ zł i 40 gr to $100x + 40$ groszy.

12.Droga, prędkość i czas w wyrażeniach algebraicznych

Droga to prędkość razy czas. Rowerzysta jadący z prędkością $15~\mathrm{km/h}$ w ciągu $t$ godzin przejedzie $15t~\mathrm{km}$. Uważaj na jednostki: $15t~\mathrm{km}$ to $15\,000t~\mathrm{m}$, bo 1 km = 1000 m. Gdy ktoś pokonuje $s$ km w ciągu minuty, to w ciągu godziny pokona $60s~\mathrm{km}$.

13.Wiek osób w wyrażeniach algebraicznych

Gdy Ola jest starsza od Kuby o 4 lata, a Kuba ma $x$ lat, to Ola ma $x + 4$ lat. Gdy wiemy, że Ola ma $y$ lat, to Kuba ma $y - 4$ lat. Za 3 lata Kuba będzie miał $x + 3$ lat, a Ola $x + 7$ lat, bo obojgu przybędzie tyle samo lat. Różnica wieku się nie zmienia.

14.Liczba o kilka procent większa albo mniejsza od x

100% to cała liczba, 50% to połowa, a 25% to jedna czwarta. Liczba o 50% większa od $x$ to $x + 0{,}5x = 1{,}5x$, a o 50% mniejsza - $0{,}5x$. O 25% mniejsza to $x - \frac{1}{4}x = 0{,}75x$, a o 25% większa - $1{,}25x$. O 100% większa to $2x$, a o 200% większa - $3x$.

15.Kolejne liczby naturalne, parzyste i nieparzyste

Jeśli $n$ to liczba naturalna, to kolejne liczby po niej to $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, a liczba przed nią to $n - 1$. Kolejne liczby parzyste, tak samo jak kolejne nieparzyste, różnią się o 2. Jeśli $n$ jest parzysta, to następne liczby nieparzyste to $n + 1$, $n + 3$, $n + 5$, a poprzedzające ją liczby nieparzyste to $n - 1$, $n - 3$.

16.Liczba dwucyfrowa zapisana za pomocą cyfr x i y

Cyfra dziesiątek oznacza tyle dziesiątek, ile wynosi, więc liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek $x$ i cyfrze jedności $y$ to $10x + y$. Przykład: $47 = 10 \cdot 4 + 7$. Liczba trzycyfrowa o cyfrze setek $x$, dziesiątek $y$ i jedności $z$ to $100x + 10y + z$. Zapis $xy$ oznaczałby iloczyn, a nie liczbę.

17.Jak znaleźć wyrażenie dla kolejnych figur z patyczków?

Sprawdzamy, ile patyczków przybywa w każdej następnej figurze. Trójkąty ułożone w rzędzie (sąsiednie mają wspólny bok): 1 trójkąt - 3 patyczki, 2 trójkąty - 5, 3 trójkąty - 7. Każdy nowy trójkąt dokłada 2 patyczki, więc w wyrażeniu jest $2n$, a dla $n = 1$ brakuje jeszcze 1 patyczka: $n$ trójkątów to $2n + 1$ patyczków. Sprawdzenie: $2 \cdot 3 + 1 = 7$.

18.Słupki w rzędzie i przerwy między nimi

Gdy słupki stoją w jednym rzędzie, przerw między nimi jest o 1 mniej niż słupków. Przy $n$ słupkach są $n - 1$ przerwy. Jeśli w każdej przerwie są 3 deski, to płot ma $3(n - 1)$ desek. Sprawdzenie: 4 słupki, 3 przerwy, $3 \cdot 3 = 9$ desek.

19.Wzory w geometrii to wyrażenia algebraiczne

Wzory na obwód i pole zapisujemy wyrażeniami algebraicznymi. Prostokąt o bokach $a$ i $b$ (rysunek) ma obwód $2a + 2b$ i pole $ab$. Kwadrat o boku $a$ ma obwód $4a$ i pole $a^2$. Trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h$ ma pole $\frac{ah}{2}$.

20.Wartość wyrażenia algebraicznego

Jeżeli w miejsce liter w wyrażeniu algebraicznym wstawimy liczby i wykonamy obliczenia, otrzymamy wartość wyrażenia algebraicznego. Wartość zależy od wstawionych liczb: wyrażenie $x + 5$ dla $x = 1$ ma wartość 6, a dla $x = 10$ - wartość 15.

21.Jak obliczyć wartość wyrażenia krok po kroku?

1. W miejsce każdej litery wstaw podaną liczbę. 2. Przywróć kropki mnożenia: $5x$ dla $x = 4$ to $5 \cdot 4$. 3. Wykonaj działania w zwykłej kolejności: najpierw działania w nawiasach i potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Przykład z rysunku: $5x - 3$ dla $x = 4$: $5 \cdot 4 - 3 = 20 - 3 = 17$.

22.Dlaczego wartość 3x dla x = 5 to nie 35?

Zapis $3x$ oznacza $3 \cdot x$. Gdy wstawiamy liczbę w miejsce litery, musimy przywrócić kropkę mnożenia: $3 \cdot 5 = 15$. Dopisanie cyfry 5 obok 3 dałoby liczbę 35, a to błąd. Tak samo $ab$ dla $a = 2$ i $b = 6$ to $2 \cdot 6 = 12$, a nie 26.

23.Jak wstawić liczbę ujemną w miejsce litery?

Liczbę ujemną wstawiamy w nawiasie. Wartość $3x + 2$ dla $x = -4$: $3 \cdot (-4) + 2 = -12 + 2 = -10$. Wartość $6 - 2a$ dla $a = -3$: $6 - 2 \cdot (-3) = 6 + 6 = 12$. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, a odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby do niej przeciwnej.

24.Wartość wyrażenia z dwiema literami

Każdą literę zastępujemy jej liczbą, a ta sama litera w całym wyrażeniu oznacza tę samą liczbę. Wartość $2a + 5b$ dla $a = 3$ i $b = -1$: $2 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 6 - 5 = 1$. Wartość $6a - b$ dla $a = \frac{1}{2}$ i $b = 4$: $6 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 3 - 4 = -1$.

25.Wartość wyrażenia z potęgą albo z nawiasem

Najpierw obliczamy działanie w nawiasie i potęgę, potem mnożymy. Wartość $2a^2$ dla $a = 3$: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$, a nie $6^2 = 36$. Wartość $3(x + 4)$ dla $x = 2$: $3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18$.

26.Suma miar kątów wielokąta: wzór $(n - 2) \cdot 180^\circ$

Wielokąt o $n$ bokach ma sumę miar kątów równą $(n - 2) \cdot 180^\circ$. Przekątne z jednego wierzchołka dzielą go na $n - 2$ trójkątów, a w każdym suma kątów to $180^\circ$ - na rysunku pięciokąt i 3 trójkąty. Pięciokąt: $(5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$. Sprawdzenie dla czworokąta: $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

27.Liczba przekątnych wielokąta: wzór $\frac{n(n - 3)}{2}$

Z każdego wierzchołka wielokąta o $n$ bokach wychodzi $n - 3$ przekątnych (nie łączymy wierzchołka z nim samym ani z dwoma sąsiednimi). Gdy pomnożymy $n - 3$ przez liczbę wierzchołków $n$, każdą przekątną policzymy dwa razy - z obu jej końców, więc dzielimy przez 2. Pięciokąt: $\frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ przekątnych; na rysunku widać 2 przekątne z jednego wierzchołka.

28.Opłata ze stałą częścią i dopłatą za każdą jednostkę

Gdy płacimy stałą kwotę i dopłatę za każdą godzinę albo sztukę, zapisujemy: stała kwota + dopłata razy liczba jednostek. Wypożyczenie roweru kosztuje 10 zł plus 4 zł za każdą godzinę, więc za $n$ godzin płacimy $10 + 4n$ zł. Dla $n = 3$: $10 + 4 \cdot 3 = 22$ zł.

29.Kiedy wyrażenie algebraiczne można uprościć?

Gdy w wyrażeniu kilka razy występuje ta sama litera, możemy je zapisać w prostszej postaci. Trójkąt z rysunku ułożony z patyczków o długości $b$ ma boki $3b$, $4b$ i $4b$, więc jego obwód to $3b + 4b + 4b = 11b$ - razem 11 patyczków. Wyrażenia $3b + 4b + 4b$ i $11b$ mają dla każdego $b$ tę samą wartość.

30.Jak dodawać i odejmować wyrażenia z tą samą literą?

Dodajemy albo odejmujemy liczby stojące przed literą, a literę przepisujemy: $4x + 5x = 9x$, $10y - 3y = 7y$. Sama litera oznacza tę literę wziętą 1 raz: $x + 6x = 7x$ (bo $1 + 6 = 7$), $8a - a = 7a$ (bo $8 - 1 = 7$). Przykład: $6x + 2x - 3x = 5x$.

31.Gdy po uproszczeniu wychodzi liczba ujemna albo zero

Liczymy tak samo jak na liczbach całkowitych: $2a - 7a = -5a$ (bo $2 - 7 = -5$), $-3y - 2y = -5y$, $4t - 5t = (-1) \cdot t = -t$. Zapisujemy $-t$, a nie $-1t$. Gdy wychodzi zero, całe wyrażenie jest równe 0: $5b - 5b = 0 \cdot b = 0$.

32.Upraszczanie, gdy przed literą stoi ułamek

Zapis $\frac{x}{2}$ to to samo co $\frac{1}{2}x$, a $\frac{a}{3}$ to to samo co $\frac{1}{3}a$. Dalej działamy na ułamkach: $x - \frac{x}{3} = 1x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$, $\frac{y}{2} + \frac{y}{4} = \frac{2}{4}y + \frac{1}{4}y = \frac{3}{4}y$. Z ułamkami dziesiętnymi tak samo: $1{,}2z + z = 2{,}2z$.

33.Jak mnożyć wyrażenie z literą przez liczbę?

Mnożymy liczby, a literę przepisujemy: $4 \cdot 5x = 20x$, $2y \cdot 8 = 16y$, $\frac{1}{3} \cdot 9a = 3a$, $0{,}5 \cdot 6x = 3x$. Gdy litera jest w liczniku: $\frac{x}{4} \cdot 8 = \frac{1}{4}x \cdot 8 = 2x$. Mnożenie przez liczbę ujemną: $3x \cdot (-2) = -6x$.

34.Jak dzielić wyrażenie z literą przez liczbę?

Dzielimy liczbę stojącą przed literą, a literę przepisujemy: $15x : 5 = 3x$, $\frac{18y}{6} = 3y$, $\frac{4{,}5a}{1{,}5} = 3a$. Dzielenie przez liczbę to mnożenie przez jej odwrotność: $\frac{2}{3}x : 2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{3}x$.

35.Jak uprościć wyrażenie z liczbami i literą?

Oddzielnie wykonujemy działania na liczbach, a oddzielnie na wyrażeniach z tą samą literą. Znak przed liczbą albo wyrażeniem idzie razem z nim. Przykład z rysunku: w $6 + 2a - 4 + 5a$ mamy $2a + 5a = 7a$ i $6 - 4 = 2$, więc wynik to $7a + 2$. Inny przykład: $3x - 5 - 7x + 1 = -4x - 4$.

36.Wyrażenia z różnymi literami

Łączymy tylko wyrażenia z tą samą literą. Różnych liter ani liczby z literą nie łączymy: $3x + 2y - x = 2x + 2y$, a $5a + 4$ zostaje bez zmian - to nie jest $9a$. Przykład: $2x + y + 3 + 4x - 1 = 6x + y + 2$.

37.Dlaczego warto uprościć wyrażenie, zanim obliczysz jego wartość?

Po uproszczeniu liczenie jest krótsze, a wynik ten sam. Wartość $13x - 15x + 4$ dla $x = 1{,}7$: najpierw $13x - 15x + 4 = -2x + 4$, potem $-2 \cdot 1{,}7 + 4 = -3{,}4 + 4 = 0{,}6$. Bez upraszczania trzeba by mnożyć $13 \cdot 1{,}7$ i $15 \cdot 1{,}7$.

38.Obwód figury w jak najprostszej postaci

Dodajemy długości wszystkich boków i upraszczamy. Prostokąt z rysunku o bokach $4x$ i $x$ ma obwód $4x + x + 4x + x = 10x$. Kwadrat o boku $3a$ ma obwód $4 \cdot 3a = 12a$. Prostokąt o bokach $x$ i 2 ma obwód $x + 2 + x + 2 = 2x + 4$.

39.Zadanie tekstowe: zapisz wyrażenie i je uprość

Każdą wielkość zapisujemy za pomocą litery, potem dodajemy i upraszczamy. Ola ma $x$ naklejek, Ela o 6 więcej, a Iza 2 razy więcej niż Ola. Razem: $x + x + 6 + 2x = 4x + 6$ naklejek. Sprawdzenie dla $x = 10$: $10 + 16 + 20 = 46$ oraz $4 \cdot 10 + 6 = 46$.

40.Suma kolejnych liczb naturalnych w najprostszej postaci

Kolejne liczby naturalne zapisujemy jako $n$, $n + 1$, $n + 2$ itd. Suma czterech kolejnych liczb: $n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6$. Sprawdzenie dla $n = 5$: $5 + 6 + 7 + 8 = 26$ oraz $4 \cdot 5 + 6 = 26$.