Ostrosłupy: siatki, pole, objętość i odcinki - Matematyka z plusem 8

1.Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa $n$-kątnego składa się z podstawy ($n$-kąta) i $n$ trójkątów, które są ścianami bocznymi. Trójkąty mogą być dołączone do boków podstawy albo do siebie nawzajem. Ten sam ostrosłup ma wiele różnych siatek. Boki, które po złożeniu się sklejają, muszą mieć równe długości.

2.Kiedy rysunek nie jest siatką ostrosłupa?

Gdy liczba trójkątów nie jest równa liczbie boków podstawy (np. pięciokąt i 4 trójkąty), gdy są dwie podstawy, gdy sklejane boki mają różne długości albo gdy trójkąty są za niskie. Na przykład kwadrat z czterema trójkątami, które razem tworzą większy kwadrat, nie jest siatką: po złożeniu wierzchołki trójkątów spotkają się na podstawie, a nie nad nią.

3.Siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat i 4 przystające trójkąty równoramienne. Ramiona trójkątów to krawędzie boczne, a ich podstawy to boki kwadratu. Trójkąty można dołączyć do czterech boków kwadratu (siatka w kształcie gwiazdy) albo ułożyć wachlarzem przy jednym boku.

4.Siatka czworościanu foremnego

Czworościan foremny ma 4 ściany, które są trójkątami równobocznymi o tym samym boku. Jego siatką może być duży trójkąt równoboczny podzielony na 4 równe trójkąty równoboczne odcinkami łączącymi środki boków. Środkowy trójkąt to podstawa, a trzy pozostałe po złożeniu spotykają się w wierzchołku ostrosłupa.

5.Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to $P_c = P_p + P_b$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ to pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich ścian bocznych. Ostrosłup ma tylko jedną podstawę, więc - inaczej niż w graniastosłupie - pola podstawy nie mnożymy przez 2.

6.Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego to trójkąt równoramienny. Jego wysokość $h$ dzieli krawędź podstawy $a$ na połowy, więc z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$, gdzie $b$ to krawędź boczna. Dla ściany z rysunku: $h^2 + 5^2 = 13^2$, $h^2 = 169 - 25 = 144$, $h = 12$.

7.Jak obliczyć pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego?

Liczymy pole podstawy $P_p = a^2$, potem wysokość ściany bocznej $h$ z twierdzenia Pitagorasa, pole boczne $P_b = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$ i na koniec $P_c = P_p + P_b$. Dla $a = 10$ i krawędzi bocznej 13: $P_p = 100$, $h = 12$, $P_b = 4 \cdot 60 = 240$, $P_c = 340$.

8.Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego

Ostrosłup prawidłowy $n$-kątny ma $n$ przystających ścian bocznych, więc $P_b = n \cdot \frac{a \cdot h}{2}$, gdzie $a$ to krawędź podstawy, a $h$ to wysokość ściany bocznej. Na przykład dla ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego o $a = 4$ i $h = 7$: $P_b = 5 \cdot \frac{4 \cdot 7}{2} = 5 \cdot 14 = 70$.

9.Pole powierzchni czworościanu foremnego

Czworościan foremny o krawędzi $a$ ma 4 ściany, które są trójkątami równobocznymi o polu $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, więc $P_c = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$. Na przykład dla $a = 4$: $P_c = 16\sqrt{3}$. Odwrotnie: gdy $P_c = 36\sqrt{3}$, to $a^2 = 36$ i $a = 6$.

10.Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Podstawa to trójkąt równoboczny: $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a pole boczne to $P_b = 3 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$. Na przykład dla $a = 6$ i krawędzi bocznej 5: $h = \sqrt{25 - 9} = 4$, $P_b = 3 \cdot \frac{6 \cdot 4}{2} = 36$, $P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$, więc $P_c = 9\sqrt{3} + 36$.

11.Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

Podstawa to sześciokąt foremny, czyli 6 trójkątów równobocznych: $P_p = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a $P_b = 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$. Krawędź boczna takiego ostrosłupa jest zawsze dłuższa od krawędzi podstawy. Na przykład dla $a = 16$ i krawędzi bocznej 17: $h = \sqrt{289 - 64} = 15$, $P_b = 6 \cdot \frac{16 \cdot 15}{2} = 720$, $P_p = 6 \cdot \frac{256\sqrt{3}}{4} = 384\sqrt{3}$, więc $P_c = 384\sqrt{3} + 720$.

12.Jak obliczyć krawędź podstawy z pola bocznego?

Zapisujemy wzór na pole boczne z niewiadomą $a$ i rozwiązujemy równanie. Na przykład w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $P_b = 96$ i $h = 8$: $4 \cdot \frac{a \cdot 8}{2} = 96$, czyli $16a = 96$ i $a = 6$. Wtedy $P_p = 36$ i $P_c = 36 + 96 = 132$.

13.Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości: piasek z ostrosłupa trzeba przesypać 3 razy, żeby napełnić graniastosłup.

14.Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Podstawa to kwadrat o boku $a$, więc $V = \frac{1}{3}a^2 \cdot H$. Na przykład dla $a = 6$ i $H = 5$: $P_p = 36$, $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$. Najpierw warto podzielić przez 3 tę liczbę, która się dzieli.

15.Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Podstawa to trójkąt równoboczny, więc $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$. Dla ostrosłupa z rysunku ($a = 6$, $H = 4$): $P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$, a $V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 4 = 12\sqrt{3}$.

16.Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

Podstawa to sześciokąt foremny złożony z 6 trójkątów równobocznych: $P_p = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$. Na przykład dla $a = 4$ i $H = 5$: $P_p = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$, $V = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 5 = 40\sqrt{3}$.

17.Objętość ostrosłupa o podstawie rombu, trapezu lub trójkąta

Pole podstawy liczymy wzorem na pole danej figury: romb $\frac{e \cdot f}{2}$, trapez $\frac{(a + b) \cdot h}{2}$, trójkąt $\frac{a \cdot h}{2}$, a potem $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$. Na przykład podstawa to romb o przekątnych 8 i 12, a $H = 5$: $P_p = 48$, $V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 5 = 80$.

18.Jak obliczyć wysokość lub pole podstawy z objętości ostrosłupa?

Mnożymy wzór $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$ przez 3: $3V = P_p \cdot H$. Stąd $H = 3V : P_p$ oraz $P_p = 3V : H$. Na przykład ostrosłup o objętości 60 i polu podstawy 20 ma wysokość $H = 180 : 20 = 9$.

19.Graniastosłup i ostrosłup o tej samej podstawie i równych objętościach

Gdy graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy i równe objętości, to $P_p \cdot H_g = \frac{1}{3}P_p \cdot H_o$, więc ostrosłup jest 3 razy wyższy: $H_o = 3H_g$. Na przykład graniastosłup o wysokości 5 cm ma taką objętość jak ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości 15 cm.

20.Ostrosłupy o tej samej podstawie i różnych wysokościach

Gdy dwa ostrosłupy mają podstawy o tym samym polu $P_p$, a jeden jest wyższy o $x$, to jego objętość jest większa o $\frac{1}{3}P_p \cdot x$. Na przykład dla $P_p = 9$ i różnicy wysokości 4: różnica objętości to $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4 = 12$.

21.Czworościan odcięty od narożnika sześcianu

W czworościanie każda ściana może być podstawą. Gdy odetniemy narożnik sześcianu płaszczyzną przez trzy wierzchołki sąsiednie z jednym wierzchołkiem, za podstawę bierzemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$, a wysokością jest krawędź $a$. Dla $a = 6$: $P_p = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18$, $V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36$.

22.Ostrosłup wycięty z sześcianu lub prostopadłościanu

Gdy podstawą ostrosłupa jest ściana prostopadłościanu, a wierzchołek leży na przeciwległej ścianie, to ostrosłup ma tę samą podstawę i wysokość co prostopadłościan. Jego objętość to $\frac{1}{3}$ objętości prostopadłościanu, a pozostała bryła ma $\frac{2}{3}$, czyli 2 razy więcej. Dla sześcianu o krawędzi 3: ostrosłup 9, reszta 18.

23.Ostrosłup z krawędzią boczną prostopadłą do podstawy

Gdy krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to jest ona wysokością ostrosłupa, a spodek wysokości leży w wierzchołku podstawy. Na przykład podstawa to kwadrat o boku 6, a krawędź prostopadła ma 8: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$.

24.Trójkąty prostokątne w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Wysokość ostrosłupa $H$ obliczamy z trójkąta prostokątnego, w którym jest przyprostokątną. Z krawędzi bocznej: trójkąt z wysokością, połową przekątnej podstawy $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ i krawędzią boczną. Z wysokości ściany bocznej $h$: trójkąt z wysokością, połową krawędzi podstawy $\frac{a}{2}$ i $h$. Na rysunku zaznaczono $H$, $h$ i przekątną podstawy.

25.Jak obliczyć wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego z krawędzi?

Spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy, więc dzieli przekątną $a\sqrt{2}$ na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = b^2$. Na przykład dla $a = 8$ i $b = 9$: połowa przekątnej to $4\sqrt{2}$, jej kwadrat 32, $H^2 = 81 - 32 = 49$, $H = 7$.

26.Wysokość ostrosłupa z wysokości ściany bocznej

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym spodek wysokości jest oddalony od każdego boku podstawy o $\frac{a}{2}$. Wysokość ostrosłupa $H$, odcinek $\frac{a}{2}$ i wysokość ściany bocznej $h$ tworzą trójkąt prostokątny: $H^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2$. Na przykład dla $a = 6$ i $h = 5$: $H^2 = 25 - 9 = 16$, $H = 4$.

27.Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach równych

Gdy krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy $a$, ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Wtedy $H^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$, więc $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Na przykład dla $a = 6$: $H = 3\sqrt{2}$, a $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.

28.Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy i dzieli każdą z nich na odcinki $\frac{2}{3}h_p$ (od wierzchołka) i $\frac{1}{3}h_p$ (od boku), gdzie $h_p = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Na przykład dla $a = 6$: $h_p = 3\sqrt{3}$, odcinki mają $2\sqrt{3}$ i $\sqrt{3}$.

29.Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego z krawędzi bocznej

Krawędź boczna $b$, wysokość $H$ i odcinek $\frac{2}{3}h_p$ od spodka do wierzchołka podstawy tworzą trójkąt prostokątny: $H^2 + (\frac{2}{3}h_p)^2 = b^2$. Na przykład dla $a = 6\sqrt{3}$ i $b = 10$: $h_p = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9$, $\frac{2}{3}h_p = 6$, $H^2 = 100 - 36 = 64$, $H = 8$.

30.Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego z wysokości ściany bocznej

Wysokość ściany bocznej $h$ pada na środek boku podstawy, który jest oddalony od spodka wysokości o $\frac{1}{3}h_p$. Stąd $H^2 + (\frac{1}{3}h_p)^2 = h^2$. Na przykład dla $a = 6\sqrt{3}$ mamy $h_p = 9$ i $\frac{1}{3}h_p = 3$; gdy $h = 5$, to $H^2 = 25 - 9 = 16$, $H = 4$.

31.Wysokość czworościanu foremnego

Liczymy wysokość podstawy $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, bierzemy jej $\frac{2}{3}$, czyli $\frac{a\sqrt{3}}{3}$, i stosujemy twierdzenie Pitagorasa z krawędzią $a$. Wychodzi $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Dla czworościanu z rysunku ($a = 6$): $\frac{2}{3}h_p = 2\sqrt{3}$, $H^2 = 36 - 12 = 24$, $H = 2\sqrt{6}$.

32.Odcinki w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych, więc spodek wysokości jest oddalony od każdego wierzchołka podstawy o $a$, a od każdego boku o $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Stąd $H^2 + a^2 = b^2$ i $H^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = h^2$. Na przykład dla $a = 8$ i $b = 17$: $H^2 = 289 - 64 = 225$, $H = 15$.

33.Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

Wysokość ściany bocznej $h$ jest przeciwprostokątną trójkąta, w którym przyprostokątne to wysokość ostrosłupa $H$ i odległość spodka od boku podstawy $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Na przykład dla $a = 2$ i $H = 1$: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, $h^2 = 1 + 3 = 4$, $h = 2$.

34.Ostrosłup, w którym spodek wysokości jest wierzchołkiem podstawy

Wtedy jedna krawędź boczna jest wysokością, a pozostałe krawędzie boczne liczymy z twierdzenia Pitagorasa. Na przykład podstawa to kwadrat o boku 6, a krawędź prostopadła do podstawy ma 8. Dwie sąsiednie krawędzie boczne mają $\sqrt{36 + 64} = 10$, a najdłuższa (nad przekątną podstawy $6\sqrt{2}$) ma $\sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$.

35.Ostrosłup o podstawie prostokąta i równych krawędziach bocznych

Gdy krawędzie boczne są równe, spodek wysokości leży w jednakowej odległości od wierzchołków podstawy, czyli na przecięciu przekątnych prostokąta. Na przykład podstawa ma wymiary $6 \times 8$, a krawędź boczna 13: przekątna podstawy $\sqrt{36 + 64} = 10$, jej połowa 5, więc $H = \sqrt{169 - 25} = 12$.

36.Który odcinek w ostrosłupie prawidłowym jest najdłuższy?

Krawędź boczna jest dłuższa od wysokości ściany bocznej, a wysokość ściany bocznej jest dłuższa od wysokości ostrosłupa. Każdy z tych odcinków jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym następny jest przyprostokątną, a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

37.Jak obliczyć objętość ostrosłupa, gdy znamy tylko krawędzie?

Najpierw liczymy wysokość $H$ z twierdzenia Pitagorasa, potem $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$. Na przykład ostrosłup prawidłowy czworokątny ma $a = 12$ i $b = 9$: połowa przekątnej podstawy to $6\sqrt{2}$, jej kwadrat 72, $H^2 = 81 - 72 = 9$, $H = 3$, $V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 3 = 144$.

38.Graniastosłup i ostrosłup - porównanie wzorów

Graniastosłup ma dwie podstawy: $V = P_p \cdot H$ i $P_c = 2P_p + P_b$. Ostrosłup ma jedną podstawę: $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$ i $P_c = P_p + P_b$. Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty, a ostrosłupa - trójkąty.

39.Ośmiościan foremny

Ośmiościan foremny powstaje ze sklejenia podstawami dwóch jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych o wszystkich krawędziach równych. Ma 8 ścian (trójkąty równoboczne), 12 krawędzi i 6 wierzchołków. Odległość jego przeciwległych wierzchołków jest równa przekątnej kwadratu $a\sqrt{2}$.

40.Objętość bryły złożonej lub z wyciętą częścią

Bryłę dzielimy na znane części: objętości brył sklejonych dodajemy, a objętość wyciętej części odejmujemy. Na przykład z sześcianu o krawędzi 6 wycięto ostrosłup o podstawie równej górnej ścianie i wierzchołku w środku dolnej ściany: $V = 216 - \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 216 - 72 = 144$.