Graniastosłupy i rodzaje ostrosłupów - Matematyka z plusem 8

1.Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty ma dwie podstawy, które są równoległymi i przystającymi wielokątami, a jego ściany boczne są prostokątami. Krawędzie podstaw nazywamy krawędziami podstawy, a odcinki łączące obie podstawy - krawędziami bocznymi. Nazwa pochodzi od podstawy: gdy podstawą jest pięciokąt, jest to graniastosłup pięciokątny.

2.Krawędzie boczne i wysokość graniastosłupa prostego

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego są równoległe, mają jednakową długość i są prostopadłe do podstaw. Dlatego wysokość $H$ graniastosłupa prostego jest równa długości krawędzi bocznej. Na rysunku wysokość $H$ to krawędź boczna graniastosłupa trójkątnego.

3.Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym podstawą jest trójkąt równoboczny, w czworokątnym - kwadrat, a w sześciokątnym - sześciokąt foremny. Prostopadłościan o podstawie prostokąta, który nie jest kwadratem, nie jest graniastosłupem prawidłowym.

4.Ile krawędzi, wierzchołków i ścian ma graniastosłup n-kątny?

Graniastosłup, którego podstawą jest $n$-kąt, ma $3n$ krawędzi ($n$ w każdej podstawie i $n$ bocznych), $2n$ wierzchołków ($n$ w każdej podstawie) i $n + 2$ ściany ($n$ ścian bocznych i 2 podstawy). Na przykład graniastosłup pięciokątny ma 15 krawędzi, 10 wierzchołków i 7 ścian.

5.Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego

Graniastosłup prawidłowy $n$-kątny ma $2n$ krawędzi podstawy o długości $a$ i $n$ krawędzi bocznych o długości $H$. Suma długości wszystkich krawędzi to $2n \cdot a + n \cdot H$. Na przykład dla graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 3 i krawędzi bocznej 10: $12 \cdot 3 + 6 \cdot 10 = 36 + 60 = 96$.

6.Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru $V = P_p \cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość graniastosłupa. Najpierw liczymy pole podstawy wzorem na pole odpowiedniego wielokąta, potem mnożymy je przez wysokość. Na przykład gdy $P_p = 12~\mathrm{cm^2}$ i $H = 5~\mathrm{cm}$, to $V = 12 \cdot 5 = 60~\mathrm{cm^3}$.

7.Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej to $P_c = 2P_p + P_b$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ to pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich ścian bocznych. W graniastosłupie prostym $P_b$ = obwód podstawy razy $H$. Na przykład dla prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 3 i wysokości 5: $P_p = 9$, $P_b = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$, $P_c = 2 \cdot 9 + 60 = 78$.

8.Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma objętość $V = abc$ i pole powierzchni $P_c = 2(ab + bc + ac)$. Sześcian o krawędzi $a$ ma $V = a^3$ i $P_c = 6a^2$. Prostopadłościan z rysunku ($2 \times 3 \times 4$) ma $V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ i $P_c = 2 \cdot (6 + 12 + 8) = 52$.

9.Jak obliczyć objętość, gdy wymiary są w różnych jednostkach?

Najpierw zamieniamy wszystkie wymiary na jedną jednostkę, potem mnożymy. Gdy wynik ma być w litrach, najwygodniej zamienić wymiary na decymetry, bo $1~\mathrm{dm^3} = 1~\mathrm{l}$. Pamiętaj też: $1~\mathrm{cm^3} = 1~\mathrm{ml}$, $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{l}$. Na przykład $30~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{dm} \times 0{,}5~\mathrm{m}$ to $3 \cdot 2 \cdot 5 = 30~\mathrm{dm^3}$, czyli 30 litrów.

10.Jak obliczyć wysokość z objętości, np. o ile podniesie się woda?

Ze wzoru $V = P_p \cdot H$ wynika $H = V : P_p$. Woda dolana do akwarium ma kształt prostopadłościanu o dnie akwarium jako podstawie. Na przykład dno ma $30~\mathrm{cm} \times 40~\mathrm{cm}$, czyli $1200~\mathrm{cm^2}$, a dolano 6 litrów, czyli $6000~\mathrm{cm^3}$. Poziom wody podniesie się o $6000 : 1200 = 5~\mathrm{cm}$.

11.Pole podstawy i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$, więc $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a objętość $V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$. Dla graniastosłupa z rysunku ($a = 6$, $H = 10$): $P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$, a $V = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$.

12.Pole podstawy i objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Sześciokąt foremny o boku $a$ składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $a$, więc $P_p = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Dla graniastosłupa z rysunku ($a = 2$, $H = 7$): $P_p = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$, a $V = 6\sqrt{3} \cdot 7 = 42\sqrt{3}$, czyli około 72,7.

13.Graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego

Pole podstawy liczymy jak pole trójkąta prostokątnego: połowa iloczynu przyprostokątnych. Brakujący bok podstawy (do pola bocznego) obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Dla podstawy z rysunku i $H = 10$: $P_p = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$, $V = 240$, przeciwprostokątna $\sqrt{36 + 64} = 10$, $P_b = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 240$, $P_c = 48 + 240 = 288$.

14.Graniastosłup pochyły

Graniastosłup pochyły ma dwie podstawy, które są równoległymi i przystającymi wielokątami. Jego krawędzie boczne mają jednakową długość i są równoległe, ale nie są prostopadłe do podstaw. Ściany boczne są równoległobokami, a wysokość jest krótsza od krawędzi bocznej. Objętość i pole liczymy tymi samymi wzorami: $V = P_p \cdot H$, $P_c = 2P_p + P_b$.

15.Wysokość graniastosłupa pochyłego z twierdzenia Pitagorasa

Wysokość $H$ opuszczona z wierzchołka górnej podstawy, krawędź boczna i odcinek łączący spodek wysokości z końcem tej krawędzi tworzą trójkąt prostokątny. Krawędź boczna jest w nim przeciwprostokątną. Na przykład gdy krawędź boczna ma 10, a ten odcinek ma 6, to $H = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

16.Co się dzieje z objętością i polem sześcianu, gdy krawędź jest 2 razy dłuższa?

Pole powierzchni rośnie 4 razy ($2 \cdot 2$), a objętość 8 razy ($2 \cdot 2 \cdot 2$). Na przykład sześcian o krawędzi 3 ma $P_c = 54$ i $V = 27$, a sześcian o krawędzi 6 ma $P_c = 216 = 4 \cdot 54$ i $V = 216 = 8 \cdot 27$. Dlatego pudełko o 2 razy dłuższych krawędziach ma 8 razy większą pojemność.

17.Przekątne ścian graniastosłupa

Przekątna ściany to odcinek łączący dwa wierzchołki tej ściany, które nie są końcami jednej krawędzi. Rozróżniamy przekątne podstawy i przekątne ścian bocznych. Na rysunku zaznaczono przekątną podstawy prostopadłościanu.

18.Jak obliczyć przekątną ściany prostopadłościanu?

Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem, a jego przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych bokom ściany. Z twierdzenia Pitagorasa: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Na przykład ściana $5 \times 12$ ma przekątną $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

19.Przekątna graniastosłupa

Przekątna graniastosłupa to odcinek, który łączy dwa wierzchołki graniastosłupa, a nie zawiera się w żadnej z jego ścian. Łączy wierzchołek jednej podstawy z wierzchołkiem drugiej podstawy, który nie leży z nim na tej samej ścianie bocznej.

20.Ile przekątnych ma graniastosłup?

Z każdego wierzchołka górnej podstawy prowadzimy przekątne do tych wierzchołków dolnej podstawy, które nie leżą z nim w jednej ścianie bocznej. Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnych (ma tylko przekątne ścian bocznych). Prostopadłościan ma 4 przekątne, a graniastosłup pięciokątny - 10.

21.Przekątna podstawy i krawędź boczna z jednego wierzchołka

W graniastosłupie prostym przekątna podstawy i krawędź boczna wychodzące z jednego wierzchołka są prostopadłe. Tworzą one z przekątną graniastosłupa trójkąt prostokątny, w którym przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną. Z tego trójkąta liczymy długość przekątnej graniastosłupa.

22.Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu krok po kroku?

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa liczymy kwadrat przekątnej podstawy, potem stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie: przekątna podstawy, krawędź boczna, przekątna prostopadłościanu. Dla wymiarów $2 \times 3 \times 6$: kwadrat przekątnej podstawy $2^2 + 3^2 = 13$, więc $d^2 = 13 + 6^2 = 49$ i $d = 7$.

23.Wzór na przekątną prostopadłościanu

Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma przekątną $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Wzór wynika z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa. Na przykład dla wymiarów $1 \times 2 \times 2$: $d = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

24.Przekątna ściany i przekątna sześcianu

W sześcianie o krawędzi $a$ przekątna ściany ma długość $a\sqrt{2}$, a przekątna sześcianu $a\sqrt{3}$, bo $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$. Na przykład sześcian o krawędzi 5 ma przekątną ściany $5\sqrt{2}$ i przekątną $5\sqrt{3}$, czyli około 8,7.

25.Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Podstawa jest kwadratem o boku $a$, więc przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{2}$, a jej kwadrat to $2a^2$. Przekątna graniastosłupa: $d^2 = 2a^2 + H^2$. Na przykład dla $a = 6$ i $H = 7$: $d^2 = 72 + 49 = 121$, więc $d = 11$.

26.Przekątne sześciokąta foremnego

Sześciokąt foremny o boku $a$ ma przekątne dwóch długości. Dłuższa przekątna przechodzi przez środek i ma długość $2a$ (dwa boki trójkątów równobocznych). Krótsza ma długość $a\sqrt{3}$ (dwie wysokości trójkąta równobocznego). Na przykład dla $a = 5$: dłuższa 10, krótsza $5\sqrt{3}$.

27.Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma przekątne dwóch długości: dłuższa $\sqrt{(2a)^2 + H^2}$ i krótsza $\sqrt{(a\sqrt{3})^2 + H^2}$. Dla graniastosłupa z rysunku ($a = 3$, $H = 8$): dłuższa $\sqrt{36 + 64} = 10$, krótsza $\sqrt{27 + 64} = \sqrt{91}$. Na rysunku zaznaczono dłuższą przekątną podstawy.

28.Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego

W graniastosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne są przystającymi prostokątami $a \times H$, więc ich przekątne są równe: $\sqrt{a^2 + H^2}$. Na przykład w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy 5 i wysokości 12 każda przekątna ściany bocznej ma $\sqrt{25 + 144} = 13$.

29.Najdłuższa przekątna ściany bocznej graniastosłupa prostego

Gdy krawędzie podstawy mają różne długości, ściany boczne są prostokątami o różnych szerokościach i jednakowej wysokości $H$. Najdłuższą przekątną ma ściana przy najdłuższej krawędzi podstawy. Na przykład dla podstawy o bokach 4, 7 i 9 oraz $H = 12$ jest to $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$.

30.Ostrosłup

Ostrosłup to bryła, której podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Ten wspólny wierzchołek nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Ostrosłup ma krawędzie podstawy, krawędzie boczne (łączą wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkami podstawy), ściany boczne i wierzchołki podstawy.

31.Nazwy ostrosłupów i czworościan

Ostrosłup nazywamy od jego podstawy: gdy podstawą jest trójkąt, to ostrosłup trójkątny, gdy czworokąt - czworokątny, gdy pięciokąt - pięciokątny itd. Ostrosłup trójkątny nazywamy też czworościanem, bo ma 4 ściany: podstawę i 3 ściany boczne.

32.Ile krawędzi, wierzchołków i ścian ma ostrosłup n-kątny?

Ostrosłup, którego podstawą jest $n$-kąt, ma $2n$ krawędzi ($n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych), $n + 1$ wierzchołków ($n$ wierzchołków podstawy i wierzchołek ostrosłupa) oraz $n + 1$ ścian ($n$ ścian bocznych i podstawę). Na przykład ostrosłup pięciokątny ma 10 krawędzi, 6 wierzchołków i 6 ścian.

33.Jak z liczby krawędzi ostrosłupa ustalić jego podstawę?

Ostrosłup $n$-kątny ma $2n$ krawędzi, więc liczbę boków podstawy otrzymamy, dzieląc liczbę krawędzi przez 2. Ścian bocznych jest tyle, ile boków podstawy. Na przykład ostrosłup o 18 krawędziach ma w podstawie dziewięciokąt, 9 ścian bocznych i razem 10 ścian.

34.Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup jest prawidłowy, jeśli jego podstawa jest wielokątem foremnym i wszystkie krawędzie boczne mają równe długości. W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Sam kwadrat w podstawie nie wystarcza: krawędzie boczne też muszą być równe.

35.Czworościan foremny

Czworościan foremny to ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi równej długości. Na przykład szkielet czworościanu foremnego o krawędzi 4 cm wymaga $6 \cdot 4 = 24~\mathrm{cm}$ drutu.

36.Wysokość ostrosłupa i spodek wysokości

Wysokość ostrosłupa to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i prostopadły do tej płaszczyzny; wysokością nazywamy też długość tego odcinka. Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości. Spodek może leżeć wewnątrz podstawy, na jej krawędzi lub w wierzchołku, a nawet poza podstawą.

37.Gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego?

W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości leży w jednakowych odległościach od wierzchołków podstawy, czyli w środku okręgu opisanego na podstawie. W czworokątnym jest to punkt przecięcia przekątnych podstawy, w sześciokątnym - punkt przecięcia dłuższych przekątnych, a w trójkątnym - punkt przecięcia wysokości podstawy.

38.Jak narysować ostrosłup prawidłowy?

Rysujemy podstawę, potem wyznaczamy spodek wysokości: w ostrosłupie czworokątnym rysujemy przekątne podstawy, w trójkątnym - odcinki łączące wierzchołki podstawy ze środkami przeciwległych boków. Z tego punktu rysujemy pionowo wysokość, a na koniec dorysowujemy krawędzie boczne. Z samego płaskiego rysunku nie da się odczytać, czy ostrosłup jest prawidłowy.

39.Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego

Ostrosłup prawidłowy $n$-kątny ma $n$ krawędzi podstawy o długości $a$ i $n$ krawędzi bocznych o długości $b$, więc suma długości krawędzi to $n \cdot a + n \cdot b$. Na przykład dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 i krawędzi bocznej 6: $4 \cdot 4 + 4 \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.

40.Który ostrosłup prawidłowy nie może mieć wszystkich krawędzi równych?

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Spodek wysokości jest oddalony od każdego wierzchołka podstawy o $a$ (bok sześciokąta), a krawędź boczna jest przeciwprostokątną trójkąta z wysokością i tym odcinkiem, więc jest dłuższa od $a$. Trójkątny (czworościan foremny), czworokątny i pięciokątny mogą mieć wszystkie krawędzie równe.