Podział proporcjonalny, prawdopodobieństwo i wykresy - Matematyka z plusem 8

1.Stosunek dwóch wielkości

Stosunek $a : b$ to iloraz $\frac{a}{b}$. Zapisujemy go w najprostszej postaci, dzieląc obie liczby przez tę samą liczbę: 25 g soli i 75 g mąki to $25 : 75 = 1 : 3$. Obie wielkości muszą być wyrażone w tych samych jednostkach.

2.Jak zapisać stosunek, gdy znamy części całości albo całość?

Gdy syrop to $\frac{1}{4}$ napoju, a woda $\frac{3}{4}$, stosunek syropu do wody to $\frac{1}{4} : \frac{3}{4} = 1 : 3$. Gdy znamy całość i jedną część, drugą obliczamy odejmowaniem: 0,4 l syropu i woda dają 2 l napoju, więc wody jest 1,6 l, a stosunek to $0{,}4 : 1{,}6 = 1 : 4$.

3.Co znaczy podział w stosunku 2 : 3?

Całość dzielimy na $2 + 3 = 5$ równych kawałków: pierwsza część ma 2 takie kawałki, a druga 3. Pierwsza część to więc $\frac{2}{5}$ całości, a druga $\frac{3}{5}$. Na rysunku pasek podzielono na 5 kawałków, a 2 zamalowane to pierwsza część.

4.Jak podzielić wielkość w danym stosunku?

Części oznaczamy np. $3x$ i $5x$, układamy równanie: suma części = całość, obliczamy $x$, a potem części. Np. 80 cm w stosunku $3 : 5$: $3x + 5x = 80$, $8x = 80$, $x = 10$, więc części mają 30 cm i 50 cm.

5.Jak podzielić wielkość na trzy części w danym stosunku?

Tak samo jak na dwie: części to np. $x$, $2x$ i $5x$, a ich suma to całość. Np. 120 kg w stosunku $1 : 2 : 5$: $x + 2x + 5x = 120$, $8x = 120$, $x = 15$, więc części to 15 kg, 30 kg i 75 kg. Sprawdzenie: $15 + 30 + 75 = 120$.

6.Jak podzielić wielkość w danym stosunku za pomocą proporcji?

Jedną część oznaczamy $a$, drugą zapisujemy jako całość minus $a$ i układamy proporcję. Np. 45 w stosunku $4 : 5$: $\frac{a}{45 - a} = \frac{4}{5}$, $5a = 180 - 4a$, $9a = 180$, $a = 20$. Części to 20 i 25.

7.Jak obliczyć całość, gdy znamy jedną część podziału?

Z części, którą znamy, obliczamy $x$, a potem całość. Np. podział w stosunku $3 : 7$, mniejsza część to 12 kg: $3x = 12$, $x = 4$, większa część to $7x = 28$ kg, a całość $10x = 40$ kg.

8.Jak obliczyć części, gdy znamy różnicę między nimi?

Różnica części to różnica ich wielokrotności $x$. Np. stosunek $2 : 5$, a druga część jest o 18 większa: $5x - 2x = 18$, $3x = 18$, $x = 6$. Części to 12 i 30, a całość 42.

9.Podział proporcjonalny do wkładów

Gdy kilka osób wpłaciło różne kwoty, wspólną wygraną dzielą w takim stosunku, w jakim są wpłaty. Np. wpłaty 2 zł, 3 zł i 5 zł dają stosunek $2 : 3 : 5$. Wygrana 150 zł: $10x = 150$, $x = 15$, więc dostaną 30 zł, 45 zł i 75 zł.

10.Mieszanka składników w danej proporcji

Gdy składniki są w proporcji np. $2 : 1 : 5$ i znamy ilość jednego z nich, obliczamy $x$ z tego składnika. Zaprawa z cementu, wody i piasku w proporcji $2 : 1 : 5$ i 10 kg cementu: $2x = 10$, $x = 5$, wody 5 kg, piasku 25 kg, razem 40 kg.

11.Jaką część całości stanowi każda część podziału?

W podziale w stosunku $a : b : c$ pierwsza część to $\frac{a}{a + b + c}$ całości, druga $\frac{b}{a + b + c}$, trzecia $\frac{c}{a + b + c}$. Np. przy stosunku $1 : 4 : 2$ części to $\frac{1}{7}$, $\frac{4}{7}$ i $\frac{2}{7}$ całości.

12.Doświadczenie losowe i jego wyniki

Doświadczenie losowe to np. rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli lub kartki - nie wiemy z góry, jaki będzie wynik. Moneta ma 2 możliwe wyniki (orzeł, reszka), a kostka sześcienna 6 (od 1 do 6). Wyniki muszą być jednakowo możliwe, np. kule jednakowe w dotyku.

13.Wzór na prawdopodobieństwo

$P = \frac{n}{N}$, gdzie $N$ - liczba wszystkich możliwych wyników, a $n$ - liczba wyników spełniających podany warunek. Np. w pudełku jest 5 kul białych i 7 czerwonych: $N = 12$, $n = 5$, więc prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to $\frac{5}{12}$.

14.Jak obliczyć prawdopodobieństwo krok po kroku?

Liczymy wszystkie możliwe wyniki $N$, potem wyniki spełniające warunek $n$, obliczamy iloraz $\frac{n}{N}$ i skracamy. Np. rzut kostką sześcienną, liczba podzielna przez 3: $N = 6$, sprzyjają 3 i 6, więc $n = 2$, a $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

15.Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1. Zdarzenie niemożliwe (nie spełnia go żaden wynik) ma prawdopodobieństwo 0, np. wyrzucenie 7 kostką sześcienną. Zdarzenie pewne (spełnia je każdy wynik) ma prawdopodobieństwo 1, np. wyrzucenie liczby mniejszej od 7.

16.Prawdopodobieństwa w rzucie kostką sześcienną

Wszystkich wyników jest 6. Liczba parzysta (2, 4, 6): $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Liczba pierwsza (2, 3, 5): $\frac{1}{2}$ - pamiętaj, że 1 nie jest liczbą pierwszą. Liczba większa od 4 (5, 6): $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

17.Kostki o innej liczbie ścian

Kostka czworościenna ma liczby od 1 do 4, więc $N = 4$, a ośmiościenna od 1 do 8, więc $N = 8$. Ten sam warunek daje wtedy inne prawdopodobieństwa: liczba większa od 2 kostką czworościenną to $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, a ośmiościenną $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

18.Losowanie kul lub przedmiotów różnych kolorów

$N$ to liczba wszystkich kul, a $n$ - liczba kul danego koloru. Np. 3 zielone, 5 żółtych i 4 niebieskie kule (razem 12): wylosowanie żółtej to $\frac{5}{12}$, a kuli, która nie jest niebieska, $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

19.Losowanie bez zwracania

Gdy wylosowanej kuli nie wkładamy z powrotem, w następnym losowaniu jest o jedną kulę mniej, a kul wylosowanego koloru też o jedną mniej. Np. 4 białe i 6 czarnych, wylosowano białą: teraz biała ma prawdopodobieństwo $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

20.Ile jest liczb naturalnych od a do b?

Od $a$ do $b$ (razem z nimi) jest $b - a + 1$ liczb, czyli liczba $b$ minus liczba liczb mniejszych od $a$. Np. od 30 do 70 jest $70 - 29 = 41$ liczb. Liczb dwucyfrowych (od 10 do 99) jest 90.

21.Losowanie liczby podzielnej przez daną liczbę

Wypisujemy kolejne wielokrotności tej liczby w podanym zbiorze i liczymy je. Np. losujemy liczbę dwucyfrową, a warunek to podzielność przez 12: pasują 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, więc $n = 8$, $N = 90$, a $P = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$.

22.Losowanie liczby o danej reszcie z dzielenia

Szukamy najmniejszej liczby w zbiorze, która daje tę resztę, a kolejne takie liczby różnią się o dzielnik. Np. liczby od 20 do 40, reszta 2 z dzielenia przez 7: $20 : 7 = 2$ r 6, więc pierwsza to 23, potem 30 i 37. $n = 3$, $N = 21$, $P = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.

23.Prawdopodobieństwo z danych w tabeli

$N$ zależy od tego, z jakiej grupy losujemy. Np. 12 dziewcząt (5 gra na gitarze) i 10 chłopców (4 gra): losując z całej klasy, osoba grająca na gitarze ma prawdopodobieństwo $\frac{9}{22}$, a losując tylko spośród dziewcząt - $\frac{5}{12}$.

24.Losowanie osoby z grupy, do której należy losujący

Gdy uczeń losuje kogoś z klasy, ale nie może wylosować siebie, wszystkich wyników jest o 1 mniej niż uczniów. Np. w klasie 25 uczniów: 12 chłopców i 13 dziewcząt. Chłopiec losuje dziewczynkę z prawdopodobieństwem $\frac{13}{24}$.

25.Jak porównać szanse w dwóch losowaniach?

Większa szansa to większy iloraz $\frac{n}{N}$, a nie większa liczba wyników sprzyjających. Loteria A: 30 losów wygrywających na 120 ($\frac{1}{4}$), loteria B: 20 na 60 ($\frac{1}{3}$). Większa szansa jest w B, choć ma mniej losów wygrywających. Na rysunku: $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{3}$ koła.

26.Co pokazuje wykres?

Wykres w układzie współrzędnych pokazuje, jak jedna wielkość zmienia się w zależności od drugiej, np. temperatura w zależności od czasu. Zwykle na osi poziomej jest czas. Najpierw czytamy opisy osi i jednostki, potem podziałkę.

27.Jak odczytać wartość z wykresu?

Na osi poziomej znajdujemy daną wartość (np. godzinę), idziemy pionowo do wykresu, a potem poziomo do osi pionowej i odczytujemy wynik. W drugą stronę: od osi pionowej poziomo do wykresu, a potem w dół. Jedna wartość z osi pionowej może odpowiadać kilku chwilom.

28.Jak odczytać podziałkę na osi wykresu?

Liczymy, ile kratek jest między dwiema opisanymi liczbami, i dzielimy ich różnicę przez liczbę kratek. Np. między 0 a 50 jest 5 kratek, więc jedna kratka to 10. Gdy wykres wypada między liniami siatki, odczytujemy wartość w przybliżeniu i piszemy „około".

29.Wzrost, spadek i stała wartość na wykresie

Patrząc od lewej do prawej: wykres idzie w górę - wielkość rośnie, w dół - maleje, odcinek poziomy - jest stała. Na rysunku (x - czas w godzinach, y - odległość od domu w km) rowerzysta oddalał się przez 2 h do 16 km, przez 1 h odpoczywał, a potem przez 2 h wracał do domu.

30.Wartość największa i najmniejsza na wykresie

Wartość największa to najwyżej położony punkt wykresu, a najmniejsza - najniżej położony. Samą wartość odczytujemy na osi pionowej, a chwilę, w której wystąpiła, na osi poziomej. Np. najwyższa temperatura 9°C o godz. 14.

31.Jak obliczyć prędkość z wykresu drogi?

Odczytujemy, o ile kilometrów zmieniła się odległość i w jakim czasie, a potem dzielimy drogę przez czas. Bardziej stromy odcinek oznacza szybszy ruch. Na rysunku (x - czas w h, y - odległość w km): 4 km w 1 h to 4 km/h, potem 1 h postoju, a potem 15 km w 1 h to 15 km/h.

32.Jak obliczyć, jak długo coś trwało, z wykresu w czasie?

Odczytujemy chwilę początku i końca (np. wzrostu, spadku albo postoju) i odejmujemy je. Np. temperatura rosła od 10:15 do 10:40, czyli przez 25 minut. Przy godzinach pamiętaj, że godzina ma 60 minut: od 9:50 do 10:20 mija 30 minut.

33.Dwa wykresy w jednym układzie współrzędnych

Każdy wykres opisuje inną rzecz (np. temperaturę w innym mieście), co mówi legenda. Tam, gdzie jeden wykres leży wyżej, jego wielkość jest większa. W punkcie przecięcia obie wielkości są równe. Na rysunku odcinki AB i CD przecinają się w punkcie P(6, 8).

34.Kiedy wielkość na wykresie jest dodatnia, ujemna albo równa 0?

Gdy wykres leży nad osią poziomą, wielkość (np. temperatura) jest dodatnia, a gdy pod nią - ujemna. Punkt, w którym wykres przecina oś poziomą, to chwila, gdy wielkość jest równa 0.

35.Ile razy wielkość osiągnęła daną wartość?

Na wysokości tej wartości prowadzimy w myślach poziomą linię i liczymy, ile razy przecina ona wykres. Np. temperatura rosła od 5°C do 9°C, a potem spadała do 4°C, więc 6°C była dwa razy: raz przy wzroście i raz przy spadku.

36.Wykres schodkowy

Na wykresie schodkowym wielkość zmienia się skokami, a między skokami jest stała. Wysokość schodka mówi, o ile zmieniła się wielkość. Np. ilość cukru w cukiernicy spada z 60 g do 50 g i do 40 g - za każdym razem zabrano łyżeczkę, czyli 10 g.

37.Jak kształt naczynia wpływa na wykres poziomu wody?

Przy stałym strumieniu wody w wąskim naczyniu woda podnosi się szybciej niż w szerokim. W naczyniu walcowym wykres to linia prosta: stroma dla wąskiego, łagodna dla szerokiego. W naczyniu rozszerzającym się ku górze poziom rośnie coraz wolniej, a w zwężającym się - coraz szybciej.

38.Wykres przebytej drogi a postój

Długość przebytej drogi nigdy nie maleje. Gdy pojazd stoi (prędkość równa 0), wykres drogi jest poziomy, a gdy jedzie szybciej, wykres rośnie bardziej stromo. Wykres odległości od domu może maleć - wtedy wracamy w stronę domu.

39.Wykres, który się powtarza

Niektóre wykresy powtarzają się w równych odstępach, np. widoczna część tarczy Księżyca albo długość dnia w kolejnych latach. Odczytujemy, co ile się powtarzają, i przewidujemy dalsze wartości: gdy minimum wypada w 5. i 34. dniu, czyli co 29 dni, następne będzie w 63. dniu.

40.Jak opisać przebieg wykresu słowami?

Opisujemy po kolei przedziały czasu: od kiedy do kiedy wielkość rosła, malała albo była stała, i podajemy wartości na początku i końcu każdego przedziału oraz wartość największą i najmniejszą. Np. „Od 8:00 do 12:00 temperatura rosła od 2°C do 9°C, a potem do 14:00 była stała".