Procenty, lokaty bankowe, VAT i diagramy - Matematyka z plusem 8

1.Procent

Procent to setna część danej wielkości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$, a $p\% = \frac{p}{100}$. Np. $36\% = \frac{36}{100} = 0{,}36 = \frac{9}{25}$. Całość to 100%, połowa to 50%, ćwierć to 25%.

2.Jak zamienić procent na ułamek zwykły lub dziesiętny?

Zapisujemy procent jako ułamek o mianowniku 100 i skracamy: $45\% = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$. Ułamek dziesiętny dostajemy, przesuwając przecinek o 2 miejsca w lewo: $45\% = 0{,}45$, $2{,}5\% = 0{,}025$, $140\% = 1{,}4$. W drugą stronę (ułamek dziesiętny na procent) przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo: $0{,}084 = 8{,}4\%$.

3.Jak zamienić ułamek zwykły na procent?

Mnożymy ułamek przez 100 i dopisujemy znak %: $\frac{7}{20} = \frac{7}{20} \cdot 100\% = 35\%$. Gdy wynik nie jest całkowity, podajemy go dokładnie albo w przybliżeniu: $\frac{1}{6} = 16\frac{2}{3}\% \approx 16{,}67\%$. Na rysunku zamalowano 7 z 20 kratek, czyli 35% figury.

4.Jak liczyć w pamięci 50%, 25%, 10% i 1% liczby?

50% liczby to jej połowa, 25% - ćwierć, 10% - jedna dziesiąta, a 1% - jedna setna. Z nich składamy inne procenty: 10% liczby 260 to 26, więc 5% to 13, 20% to 52, a 30% to 78.

5.Jak porównać ułamek z procentem?

Zapisujemy obie liczby w tej samej postaci, np. jako procenty albo ułamki dziesiętne. $\frac{3}{8} = 37{,}5\%$, więc $\frac{3}{8}$ ceny to więcej niż 35% tej ceny. $0{,}42$ kwoty to więcej niż 40% kwoty, bo $40\% = 0{,}4$.

6.Jak obliczyć procent danej liczby?

Zamieniamy procent na ułamek (dziesiętny albo zwykły) i mnożymy go przez tę liczbę. Np. 35% liczby 240: $0{,}35 \cdot 240 = 84$. 75% liczby 60: $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45$.

7.Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba?

Zapisujemy ułamek: część przez całość, i zamieniamy go na procent. Np. 9 z 36 uczniów: $\frac{9}{36} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$. Gdy pytanie dotyczy pozostałej części, najpierw ją obliczamy: pozostali to $36 - 9 = 27$ uczniów, czyli 75%.

8.Jak obliczyć liczbę, gdy znamy jej procent?

Szukaną liczbę oznaczamy przez $x$, procent zamieniamy na ułamek i układamy równanie. Np. 14 to 35% liczby $x$: $0{,}35x = 14$, więc $x = \frac{14}{0{,}35} = 40$. Sprawdzenie: $0{,}35 \cdot 40 = 14$.

9.Jak obliczyć procent z części, która też jest procentem całości?

Mnożymy oba procenty zapisane ułamkami. Np. na wycieczkę pojechało 75% klasy, a 40% z nich wybrało kajaki: $0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3$, czyli kajaki wybrało 30% całej klasy, a nie 40%.

10.Promil

Promil (symbol ‰) to tysięczna część danej wielkości: 1‰ to $\frac{1}{1000} = 0{,}001$, czyli $\frac{1}{10}$ procenta. Np. 4‰ liczby 2500 to $0{,}004 \cdot 2500 = 10$.

11.Stężenie procentowe roztworu

Roztwór jest np. 12-procentowy, gdy masa substancji (cukru, soli) stanowi 12% masy całego roztworu. Masa roztworu to masa substancji i wody razem. Np. 6 g soli w 44 g wody: roztwór waży 50 g, a $\frac{6}{50} = 12\%$.

12.Jak obliczyć masę substancji i wody w roztworze o danym stężeniu?

Masa substancji to procent stężenia z masy roztworu, a masa wody to masa roztworu minus masa substancji. Np. 400 g roztworu 8-procentowego: soli jest $0{,}08 \cdot 400 = 32$ g, a wody $400 - 32 = 368$ g.

13.Jak zapisać liczbę o p% większą albo mniejszą od liczby a?

Na dwa sposoby. O 15% więcej niż $a$ to $a + 0{,}15a$ albo $1{,}15a$, czyli 115% liczby $a$. O 30% mniej niż $a$ to $a - 0{,}3a$ albo $0{,}7a$, czyli 70% liczby $a$.

14.Jak obliczyć cenę po podwyżce albo po obniżce o p%?

Podwyżka o p%: mnożymy cenę przez $(100\% + p\%)$ zapisane ułamkiem. Obniżka o p%: mnożymy przez $(100\% - p\%)$. Np. 240 zł po podwyżce o 15%: $1{,}15 \cdot 240 = 276$ zł, a po obniżce o 15%: $0{,}85 \cdot 240 = 204$ zł.

15.Jak obliczyć, o ile procent wzrosła albo zmalała wielkość?

Obliczamy, o ile się zmieniła, i dzielimy tę różnicę przez wartość POCZĄTKOWĄ, a potem zamieniamy na procent. Z 40 na 50: $\frac{50 - 40}{40} = \frac{1}{4} = 25\%$ wzrostu. Z 50 na 40: $\frac{10}{50} = 20\%$ spadku.

16.Jak obliczyć wartość przed podwyżką albo przed obniżką?

Wartość początkową oznaczamy przez $x$ i układamy równanie. Np. po obniżce o 20% cena wynosi 96 zł: $0{,}8x = 96$, więc $x = 120$ zł. Nie liczymy 20% od 96 zł, bo procent obniżki liczy się od ceny początkowej.

17.Co znaczy wzrost o 100%, o 150% albo o 200%?

Wzrost o 100% oznacza podwojenie (2 razy więcej), a o 200% - potrojenie. Liczba o 150% większa od $a$ to $a + 1{,}5a = 2{,}5a$. Np. z 4 na 10: $\frac{10 - 4}{4} = 1{,}5 = 150\%$ wzrostu.

18.Lokata, odsetki i oprocentowanie

Lokata to pieniądze oddane do banku na pewien czas. Po roku bank dopisuje odsetki - procent wpłaconej kwoty; ten procent to oprocentowanie roczne. Stan konta = kwota wpłacona + odsetki. Np. 2500 zł na 2%: odsetki $0{,}02 \cdot 2500 = 50$ zł, stan konta 2550 zł. Bank pobiera podatek od odsetek, ale w zadaniach go pomijamy, jeśli nie jest podany.

19.Jak obliczyć oprocentowanie lokaty?

Odsetki dzielimy przez kwotę wpłaconą i zamieniamy wynik na procent. Np. wpłacono 3000 zł, a po roku jest 3105 zł: odsetki to $3105 - 3000 = 105$ zł, a $\frac{105}{3000} = 0{,}035 = 3{,}5\%$.

20.Jak obliczyć stan lokaty po dwóch latach?

Gdy zostawiamy na lokacie całą kwotę razem z odsetkami, w drugim roku odsetki liczymy od stanu konta po pierwszym roku. Np. 1000 zł na 5%: po roku $1{,}05 \cdot 1000 = 1050$ zł, po dwóch latach $1{,}05 \cdot 1050 = 1102{,}50$ zł, a nie 1100 zł.

21.Dwie kolejne zmiany o dany procent

Druga zmiana liczy się od nowej wartości, więc procentów nie dodajemy. Cena 200 zł wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%: $1{,}1 \cdot 200 = 220$ zł, $0{,}9 \cdot 220 = 198$ zł - mniej niż na początku. Dwie podwyżki po 10% to razem wzrost o 21%, bo $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$.

22.Punkt procentowy

Punkty procentowe opisują różnicę między dwoma procentami. Gdy poparcie wzrosło z 20% do 25%, wzrosło o 5 punktów procentowych, a zarazem o 25%, bo $\frac{5}{20} = 25\%$. Powiedzenie, że wzrosło o 5%, byłoby błędem.

23.Inflacja

Inflacja to wzrost cen wyrażony w procentach. Inflacja 4% w skali roku oznacza, że ceny przeciętnie wzrosły w ciągu roku o 4%. Pensja realnie rośnie tylko wtedy, gdy wzrosła o więcej procent niż ceny: wzrost z 2000 zł do 2060 zł to 3%, więc przy inflacji 4% pensja realnie zmalała.

24.Cena netto, cena brutto i VAT

Cena netto to kwota, którą sprzedawca chce otrzymać za towar. VAT to podatek od towarów i usług (z angielskiego Value Added Tax), który sprzedawca przekazuje do skarbu państwa. Cena brutto, czyli ta, którą płacimy w sklepie, to cena netto + VAT.

25.Stawka VAT

Stawka VAT to procent ceny NETTO, który doliczamy jako podatek. Różne towary i usługi mają różne stawki - w przykładach spotkasz m.in. 23%, 8% i 5%. Stawki ustala państwo i mogą się zmieniać, dlatego w zadaniu zawsze bierzemy stawkę podaną w treści.

26.Jak obliczyć cenę brutto, gdy znamy cenę netto?

Do ceny netto doliczamy VAT. Przy stawce 23% cena brutto to $a + 0{,}23a = 1{,}23a$, gdzie $a$ to cena netto. Np. cena netto 300 zł: VAT $0{,}23 \cdot 300 = 69$ zł, a cena brutto $300 + 69 = 369$ zł.

27.Jak obliczyć cenę netto, gdy znamy cenę brutto?

Cenę netto oznaczamy przez $x$: przy stawce 8% cena brutto to $1{,}08x$. Np. cena brutto 270 zł: $1{,}08x = 270$, więc $x = 250$ zł, a VAT to $270 - 250 = 20$ zł. Nie odejmujemy 8% od ceny brutto, bo VAT liczy się od ceny netto.

28.Jaką część ceny brutto stanowi VAT?

VAT liczymy od ceny netto, więc w cenie brutto stanowi mniejszy procent niż stawka. Przy stawce 23%: $\frac{0{,}23}{1{,}23} \approx 0{,}187$, czyli ok. 18,7% ceny brutto - prawie $\frac{1}{5}$. Przy stawce 8%: $\frac{0{,}08}{1{,}08} \approx 7{,}4\%$ ceny brutto.

29.Podatek od dochodów PIT

PIT (z angielskiego Personal Income Tax) to podatek od dochodów obywateli. Od kwoty brutto (do opodatkowania) odejmujemy podatek i zostaje kwota netto. Przy stawce 18% netto to $b - 0{,}18b = 0{,}82b$. Np. 4000 zł brutto: podatek 720 zł, netto 3280 zł. Stawka 18% to przykład z podręcznika - stawki ustala państwo i mogą się zmieniać, więc w zadaniu bierzemy stawkę podaną w treści.

30.Kwota do opodatkowania i ulgi podatkowe

Podatek liczy się od kwoty do opodatkowania. Bywa ona niższa niż dochód, bo można odliczyć np. ulgi podatkowe. Najpierw odejmujemy odliczenia, potem liczymy procent. Np. dochód 40 000 zł, odliczenie 5000 zł, stawka 18%: $0{,}18 \cdot 35\,000 = 6300$ zł podatku.

31.Czym różni się naliczanie VAT od naliczania PIT?

VAT liczymy od ceny netto i DODAJEMY do niej: cena brutto $a + 0{,}23a$ jest większa od ceny netto. PIT liczymy od zarobków brutto i ODEJMUJEMY od nich: kwota netto $b - 0{,}18b$ jest mniejsza od kwoty brutto.

32.Jak obliczyć dochód, gdy znamy kwotę podatku?

Dochód oznaczamy przez $x$ i układamy równanie. Np. podatek 18% wyniósł 900 zł: $0{,}18x = 900$, więc $x = 5000$ zł. Kwota netto to wtedy $5000 - 900 = 4100$ zł.

33.Podatek liczony od nadwyżki ponad próg

Czasem podatek płaci się tylko od części dochodu powyżej pewnej kwoty (progu). Najpierw odejmujemy próg, potem liczymy procent. Np. przy zasadzie „10% od kwoty powyżej 3000 zł" dochód 8000 zł daje podatek $0{,}1 \cdot (8000 - 3000) = 500$ zł.

34.Diagram słupkowy

Na diagramie słupkowym wysokość słupka pokazuje wartość, którą odczytujemy na osi z podziałką. Najpierw sprawdzamy tytuł i jednostkę osi. Na rysunku najwięcej książek wypożyczono w piątek (21), najmniej w środę (9), a z wtorku na środę liczba wypożyczeń zmalała.

35.Diagram kołowy

Całe koło to 100%, a każdy wycinek to procent całości: 50% to połowa koła, 25% - ćwierć. Liczbę w grupie obliczamy jako procent całości. Na rysunku 400 uczniów wybrało sport: piłkę nożną 35%, czyli $0{,}35 \cdot 400 = 140$ osób, siatkówkę 25% (100 osób), koszykówkę i inne po 20% (po 80 osób).

36.Jak korzystać z diagramu i tabeli z tymi samymi danymi?

Diagram pokazuje dane obrazowo: szybko widać wartość największą i najmniejszą oraz to, czy wartości rosną, maleją, czy są stałe. Tabela podaje dokładne liczby, więc obliczenia robimy na liczbach z tabeli.

37.„O ile więcej” a „ile razy więcej”

„O ile więcej" - odejmujemy: 60 to o $60 - 15 = 45$ więcej niż 15. „Ile razy więcej" - dzielimy: 60 to $60 : 15 = 4$ razy więcej niż 15. „O ile procent więcej" - różnicę dzielimy przez liczbę, z którą porównujemy: $\frac{45}{15} = 300\%$.

38.Jak przeliczać dane na jednego mieszkańca albo na $1~\mathrm{km^2}$?

Żeby porównać miejsca różnej wielkości, dzielimy wielkość przez liczbę mieszkańców albo przez powierzchnię. Np. 6000 t odpadów w mieście, w którym mieszka 20 000 osób, to $\frac{6000}{20\,000} = 0{,}3$ t na mieszkańca. W drugą stronę: ilość na mieszkańca razy liczba mieszkańców daje ilość łączną.

39.Średnia arytmetyczna danych z diagramu

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Np. opady w czterech miesiącach: 40, 55, 70 i 35 mm, więc średnia to $\frac{40 + 55 + 70 + 35}{4} = \frac{200}{4} = 50$ mm.

40.Jak obliczyć całość, gdy znamy liczbę osób w jednym wycinku diagramu kołowego?

Liczbę wszystkich oznaczamy przez $x$ i układamy równanie. Np. 54 osoby to 18% ankietowanych: $0{,}18x = 54$, więc $x = 300$. Potem łatwo obliczyć inne grupy, np. wycinek 30% to $0{,}3 \cdot 300 = 90$ osób.