Pola wielokątów - Matematyka z plusem 6

1.Obwód a pole figury

Obwód to suma długości wszystkich boków - wyrażamy go w jednostkach długości (cm, m). Pole mówi, ile kwadratów jednostkowych mieści się w figurze - wyrażamy je w jednostkach pola ($\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{m^2}$). Prostokąt o bokach 4 cm i 3 cm ma obwód 14 cm i pole $12~\mathrm{cm^2}$.

2.Jak obliczyć pole figury na kratkach?

Przyjmujemy, że pole jednej kratki jest równe 1, i liczymy całe kratki oraz ich części. Trójkąt prostokątny o bokach wzdłuż kratek to połowa prostokąta. Figurę na rysunku dzielimy na prostokąt 4 na 3 kratki (pole 12) i trójkąt, który jest połową prostokąta 2 na 3 kratki (pole 3), więc jej pole to $12 + 3 = 15$.

3.Pole prostokąta

$P = a \cdot b$, gdzie a i b to długości boków prostokąta wyrażone w tej samej jednostce. Np. prostokąt o bokach 7 cm i 5 cm ma pole $7 \cdot 5 = 35~\mathrm{cm^2}$.

4.Pole kwadratu

$P = a^2$, czyli $P = a \cdot a$, gdzie a to długość boku kwadratu. Np. kwadrat o boku 6 cm ma pole $6^2 = 36~\mathrm{cm^2}$. Nie myl z obwodem kwadratu: $4 \cdot a$.

5.Długości boków w tej samej jednostce

Zanim obliczymy pole, wszystkie długości wyrażamy w tej samej jednostce. Np. prostokąt o bokach 50 cm i 2 m: 2 m = 200 cm, więc $P = 50 \cdot 200 = 10\,000~\mathrm{cm^2}$, czyli $1~\mathrm{m^2}$. Błędem byłoby $50 \cdot 2 = 100$.

6.Jednostki pola

$1~\mathrm{mm^2}$ to pole kwadratu o boku 1 mm, $1~\mathrm{cm^2}$ - kwadratu o boku 1 cm, $1~\mathrm{dm^2}$ - kwadratu o boku 1 dm, $1~\mathrm{m^2}$ - kwadratu o boku 1 m, a $1~\mathrm{km^2}$ - kwadratu o boku 1 km. Czytamy np. centymetr kwadratowy.

7.Dlaczego $1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$?

$1~\mathrm{cm^2}$ to kwadrat o wymiarach 1 cm na 1 cm, czyli 10 mm na 10 mm. Mieści się w nim $10 \cdot 10 = 100$ kwadracików o boku 1 mm, więc $1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$. Przy długości jest 10 razy więcej, a przy polu - $10 \cdot 10$, czyli 100 razy więcej.

8.Zależności między jednostkami pola

$1~\mathrm{cm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$, $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{dm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{km^2} = 1\,000\,000~\mathrm{m^2}$. Każda wynika z zależności długości: np. 1 m = 100 cm, więc $1~\mathrm{m^2} = 100 \cdot 100~\mathrm{cm^2}$.

9.Jak zamieniać jednostki pola?

Z jednostki większej na mniejszą - mnożymy, z mniejszej na większą - dzielimy (przez 100 przy sąsiednich jednostkach: $\mathrm{mm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{m^2}$). Np. $3{,}5~\mathrm{dm^2} = 350~\mathrm{cm^2}$, $800~\mathrm{mm^2} = 8~\mathrm{cm^2}$, $25\,000~\mathrm{cm^2} = 2{,}5~\mathrm{m^2}$.

10.Ar i hektar

Powierzchnię działek i pól podajemy w arach (a) i hektarach (ha). 1 ar to pole kwadratu 10 m na 10 m, czyli $1~\mathrm{a} = 100~\mathrm{m^2}$. 1 hektar to pole kwadratu 100 m na 100 m, czyli $1~\mathrm{ha} = 10\,000~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{a}$.

11.Jak zamieniać ary i hektary?

Hektary na ary mnożymy przez 100, a ary na metry kwadratowe - też przez 100. Np. $2{,}5~\mathrm{ha} = 250~\mathrm{a} = 25\,000~\mathrm{m^2}$. W drugą stronę dzielimy: $4500~\mathrm{m^2} = 45~\mathrm{a} = 0{,}45~\mathrm{ha}$. Działka 20 m na 35 m ma $700~\mathrm{m^2}$, czyli 7 a.

12.Jak obliczyć bok prostokąta, gdy znamy pole i drugi bok?

Pole dzielimy przez znany bok: $b = P : a$. Np. $P = 54~\mathrm{cm^2}$, $a = 6~\mathrm{cm}$, więc $b = 54 : 6 = 9~\mathrm{cm}$. Jednostki muszą pasować: przy $P = 36~\mathrm{cm^2}$ i boku 30 mm zamieniamy 30 mm na 3 cm, więc drugi bok to $36 : 3 = 12~\mathrm{cm}$.

13.Kwadrat - bok z pola i pole z obwodu

Bok kwadratu to liczba, która pomnożona przez siebie daje pole: przy polu $49~\mathrm{cm^2}$ bok ma 7 cm, bo $7 \cdot 7 = 49$, a obwód $4 \cdot 7 = 28~\mathrm{cm}$. Z obwodu najpierw liczymy bok: obwód 20 cm daje bok $20 : 4 = 5~\mathrm{cm}$ i pole $25~\mathrm{cm^2}$.

14.Pole figury złożonej z prostokątów

Figurę dzielimy na prostokąty i dodajemy ich pola albo uzupełniamy ją do prostokąta i odejmujemy brakującą część. Figura na rysunku (bok kratki 1 cm): podział $6 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18~\mathrm{cm^2}$, uzupełnienie $6 \cdot 5 - 4 \cdot 3 = 30 - 12 = 18~\mathrm{cm^2}$.

15.Ile płytek potrzeba na podłogę?

Liczymy, ile płytek zmieści się wzdłuż każdego boku podłogi, i mnożymy te liczby. Albo dzielimy pole podłogi przez pole jednej płytki - w tej samej jednostce. Np. podłoga 3 m na 2 m i płytki 20 cm na 20 cm: $300 : 20 = 15$, $200 : 20 = 10$, czyli $15 \cdot 10 = 150$ płytek.

16.Wysokość równoległoboku

Wysokość równoległoboku to odcinek prostopadły do podstawy, który łączy ją z przeciwległym bokiem - to odległość między tymi bokami. Podstawą może być każdy bok, więc równoległobok ma dwie wysokości: jedną opuszczoną na dłuższy bok, drugą na krótszy (gdy boki mają różne długości, wysokości też są różne). Na rysunku h to wysokość opuszczona na podstawę a.

17.Pole równoległoboku

$P = a \cdot h$, gdzie a to długość boku (podstawy), a h - wysokość opuszczona na tę podstawę. Wzór wynika z tego, że równoległobok przecięty wzdłuż wysokości daje dwie części, z których można złożyć prostokąt o bokach a i h. Np. $a = 8~\mathrm{cm}$, $h = 5~\mathrm{cm}$: $P = 40~\mathrm{cm^2}$.

18.Dwie wysokości równoległoboku i wysokość z pola

Pole równoległoboku jest jedno, więc $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Wysokość obliczamy, dzieląc pole przez bok, na który ją opuszczono: $h = P : a$. Np. boki 10 cm i 8 cm, wysokość na bok 10 cm ma 4 cm: $P = 40~\mathrm{cm^2}$, więc wysokość na bok 8 cm to $40 : 8 = 5~\mathrm{cm}$.

19.Pole rombu jako równoległoboku

Romb jest równoległobokiem, więc jego pole też obliczamy ze wzoru $P = a \cdot h$, gdzie a to bok rombu, a h - wysokość rombu. Np. romb o boku 5 cm i wysokości 4 cm ma pole $5 \cdot 4 = 20~\mathrm{cm^2}$.

20.Pole rombu z przekątnych

$P = \frac{e \cdot f}{2}$, gdzie e i f to długości przekątnych rombu (przecinają się pod kątem prostym). Wzór wynika z tego, że z dwóch jednakowych rombów, jednego pociętego wzdłuż przekątnych, można ułożyć prostokąt o bokach e i f. Np. przekątne 6 cm i 10 cm: $P = \frac{6 \cdot 10}{2} = 30~\mathrm{cm^2}$.

21.Jak obliczyć przekątną rombu z pola?

Z wzoru $P = \frac{e \cdot f}{2}$ wynika, że iloczyn przekątnych to $2 \cdot P$. Dzielimy go przez znaną przekątną. Np. $P = 24~\mathrm{cm^2}$, $e = 6~\mathrm{cm}$: $2 \cdot 24 = 48$, więc $f = 48 : 6 = 8~\mathrm{cm}$.

22.Pole kwadratu z przekątnej

Kwadrat jest rombem, a jego przekątne mają równe długości, więc $P = \frac{d \cdot d}{2}$, gdzie d to przekątna. Np. kwadrat o przekątnej 6 cm ma pole $\frac{6 \cdot 6}{2} = 18~\mathrm{cm^2}$. Przekątna nie jest bokiem kwadratu, więc nie liczymy $6 \cdot 6 = 36$.

23.Wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (podstawy) albo do jego przedłużenia. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą poza trójkątem i padają na przedłużenia boków, jak wysokość h na rysunku. W trójkącie prostokątnym dwie wysokości to przyprostokątne.

24.Pole trójkąta

$P = \frac{a \cdot h}{2}$, gdzie a to długość boku (podstawy), a h - wysokość poprowadzona do tego boku. Wzór wynika z tego, że z dwóch jednakowych trójkątów można ułożyć równoległobok o podstawie a i wysokości h. Np. $a = 10~\mathrm{cm}$, $h = 7~\mathrm{cm}$: $P = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35~\mathrm{cm^2}$.

25.Pole trójkąta prostokątnego

$P = \frac{a \cdot b}{2}$, gdzie a i b to długości przyprostokątnych. Każda przyprostokątna jest wysokością opuszczoną na drugą, a trójkąt jest połową prostokąta o bokach a i b. Np. przyprostokątne 6 cm i 8 cm: $P = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24~\mathrm{cm^2}$.

26.Trójkąty o tej samej podstawie i wysokości

Trójkąty, które mają równe podstawy i równe wysokości poprowadzone do tych podstaw, mają równe pola, nawet gdy różnią się kształtem. Np. każdy trójkąt o podstawie na dolnym boku prostokąta 10 cm na 6 cm i trzecim wierzchołku na górnym boku ma pole $\frac{10 \cdot 6}{2} = 30~\mathrm{cm^2}$ - połowę prostokąta.

27.Jak obliczyć wysokość albo podstawę trójkąta z pola?

Z wzoru $P = \frac{a \cdot h}{2}$ wynika, że $a \cdot h = 2 \cdot P$. Mnożymy pole przez 2 i dzielimy przez znany odcinek. Np. $P = 30~\mathrm{cm^2}$, $a = 12~\mathrm{cm}$: $2 \cdot 30 = 60$, więc $h = 60 : 12 = 5~\mathrm{cm}$.

28.Trapez, jego podstawy i wysokość

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych - to podstawy trapezu, a dwa pozostałe boki to ramiona. Wysokość trapezu to odcinek prostopadły do podstaw, łączący je - odległość między podstawami. W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe do podstaw, więc jest wysokością.

29.Pole trapezu

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie a i b to długości podstaw, a h - wysokość trapezu. Wzór wynika z tego, że z dwóch jednakowych trapezów można ułożyć równoległobok o podstawie $a + b$ i wysokości h. Np. podstawy 9 cm i 5 cm, wysokość 4 cm: $P = \frac{(9 + 5) \cdot 4}{2} = 28~\mathrm{cm^2}$.

30.Pole trapezu prostokątnego

W trapezie prostokątnym wysokością jest ramię prostopadłe do podstaw, więc wstawiamy je do wzoru $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Np. podstawy 7 cm i 4 cm, ramię prostopadłe 5 cm: $P = \frac{(7 + 4) \cdot 5}{2} = \frac{55}{2} = 27{,}5~\mathrm{cm^2}$.

31.Pole wielokąta przez podział na części

Wielokąt dzielimy na figury, których pola umiemy obliczyć (prostokąty, trójkąty, trapezy), i dodajemy ich pola. Domek na rysunku (bok kratki 1 m) to prostokąt 6 m na 4 m i trójkąt o podstawie 6 m i wysokości 3 m: $6 \cdot 4 + \frac{6 \cdot 3}{2} = 24 + 9 = 33~\mathrm{m^2}$.

32.Wzory na pola wielokątów - zestawienie

Prostokąt: $P = a \cdot b$; kwadrat: $P = a^2$; równoległobok: $P = a \cdot h$; romb: $P = a \cdot h$ albo $P = \frac{e \cdot f}{2}$; trójkąt: $P = \frac{a \cdot h}{2}$; trapez: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Przez 2 dzielimy przy trójkącie, trapezie i rombie liczonym z przekątnych.