Prędkość, droga, czas - Matematyka z plusem 6

1.Co oznacza prędkość, np. 80 km/h?

Prędkość mówi, jaką odległość pokonuje obiekt w pewnej jednostce czasu. Prędkość 80 km/h oznacza, że gdyby się nie zmieniała, pojazd pokonywałby 80 km w ciągu 1 godziny. Pieszy idący z prędkością 60 m/min pokonuje 60 m w ciągu 1 minuty.

2.Jednostki prędkości i jak je czytamy

Prędkość podajemy jako jednostkę długości na jednostkę czasu: km/h (kilometry na godzinę), m/min (metry na minutę), m/s (metry na sekundę), a także cm/s, cm/min czy km/s. Litera h to międzynarodowy skrót godziny, min - minuty, s - sekundy.

3.Stała prędkość i średnia prędkość

Prędkość jest stała, gdy obiekt w każdej jednostce czasu (np. w każdej sekundzie albo minucie) pokonuje taką samą odległość. W prawdziwej jeździe prędkość się zmienia (ruszanie, hamowanie, postoje), dlatego liczymy średnią prędkość - jaką odległość pojazd pokonywał przeciętnie w jednostce czasu na całej trasie.

4.Jak obliczyć drogę przy stałej prędkości?

Mnożymy prędkość przez czas: $\text{droga} = \text{prędkość} \cdot \text{czas}$. Ile razy dłużej trwa jazda, tyle razy dłuższa jest droga. Samochód jadący z prędkością 80 km/h pokonuje w 1 h 80 km, w 2 h $2 \cdot 80~\mathrm{km} = 160~\mathrm{km}$, a w 3 h $3 \cdot 80~\mathrm{km} = 240~\mathrm{km}$. Na osi (kreski co 40 km) zaznaczono, gdzie jest samochód po każdej godzinie.

5.Minuty jako część godziny

Godzina ma 60 minut, więc 1 min to $\frac{1}{60}$ h, a 12 min to $\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ h. Warto pamiętać: kwadrans = 15 min = $\frac{1}{4}$ h, pół godziny = 30 min = $\frac{1}{2}$ h, trzy kwadranse = 45 min = $\frac{3}{4}$ h, 20 min = $\frac{1}{3}$ h, 6 min = $\frac{1}{10}$ h. Rysunek pokazuje godzinę jako koło: kwadrans, pół godziny i trzy kwadranse.

6.Droga w ciągu kilku minut - sposób I (ułamek godziny)

Zamieniamy minuty na ułamek godziny i mnożymy go przez prędkość w km/h. Np. samochód jedzie 90 km/h przez 20 min: 20 min = $\frac{20}{60}$ h = $\frac{1}{3}$ h, więc droga to $\frac{1}{3} \cdot 90~\mathrm{km} = 30~\mathrm{km}$.

7.Droga w ciągu kilku minut - sposób II (droga w 1 minutę)

Dzielimy prędkość w km/h przez 60 - to droga w 1 minutę - i mnożymy wynik przez liczbę minut. Np. 90 km/h przez 20 min: w 1 min $90~\mathrm{km} : 60 = 1{,}5~\mathrm{km}$, w 20 min $20 \cdot 1{,}5~\mathrm{km} = 30~\mathrm{km}$. Oba sposoby dają ten sam wynik.

8.Jednostki czasu i długości potrzebne w zadaniach o ruchu

1 h = 60 min, 1 min = 60 s, więc 1 h = 3600 s; doba ma 24 h. 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm. Np. $1{,}5~\mathrm{h} = 90~\mathrm{min}$, $2{,}4~\mathrm{km} = 2400~\mathrm{m}$, $0{,}3~\mathrm{m} = 30~\mathrm{cm}$.

9.Zgodność jednostek w obliczeniach

Zanim pomnożymy albo podzielimy, jednostki muszą do siebie pasować: prędkość w km/h - czas w godzinach, w m/s - czas w sekundach, w m/min - czas w minutach. Np. 8 m/s przez 2 min: 2 min = 120 s, więc droga to $120 \cdot 8~\mathrm{m} = 960~\mathrm{m}$. Błędem byłoby $2 \cdot 8~\mathrm{m} = 16~\mathrm{m}$.

10.Jak echosonda mierzy głębokość morza?

Echosonda wysyła dźwięk, który odbija się od dna i wraca. Dźwięk przebywa drogę tam i z powrotem, więc głębokość to połowa tej drogi. W wodzie dźwięk ma prędkość ok. 1500 m/s. Gdy sygnał wrócił po 4 s: $4 \cdot 1500~\mathrm{m} = 6000~\mathrm{m}$, a głębokość to $6000~\mathrm{m} : 2 = 3000~\mathrm{m}$.

11.Prędkość światła i prędkość dźwięku

Światło biegnie z prędkością ok. 300 000 km/s, a dźwięk w powietrzu ok. 340 m/s. Dlatego w czasie burzy najpierw widzimy błyskawicę, a grzmot słyszymy później. Dźwięk w powietrzu pokonuje 1 km w ok. 3 s, bo $3 \cdot 340~\mathrm{m} = 1020~\mathrm{m}$.

12.Jak obliczyć prędkość?

Dzielimy długość drogi przez czas: $\text{prędkość} = \frac{\text{długość drogi}}{\text{czas}}$. Np. pociąg przejechał 450 km w 3 h: $450~\mathrm{km} : 3~\mathrm{h} = 150~\mathrm{km/h}$. Jednostka wyniku powstaje z jednostek drogi i czasu: km i h dają km/h, m i s dają m/s.

13.Średnia prędkość na trasie z kilkoma etapami

Dodajemy drogi wszystkich etapów, dodajemy czasy wszystkich etapów i dzielimy całą drogę przez cały czas. Np. 100 km w 2 h, a potem 60 km w pół godziny: $160~\mathrm{km} : 2{,}5~\mathrm{h} = 64~\mathrm{km/h}$. Błędem jest średnia z prędkości etapów (50 km/h i 120 km/h dają 85, a nie 64).

14.Prędkość w km/h, gdy czas podano w minutach

Liczymy drogę w 1 minutę, a potem mnożymy ją przez 60, bo tyle minut ma godzina. Np. 2 km w 5 min: w 1 min $2~\mathrm{km} : 5 = 0{,}4~\mathrm{km}$, w 1 h $60 \cdot 0{,}4~\mathrm{km} = 24~\mathrm{km}$, czyli 24 km/h. Inaczej: 5 min to $\frac{1}{12}$ h, więc w 1 h pojazd przejedzie 12 razy więcej: $12 \cdot 2~\mathrm{km} = 24~\mathrm{km}$.

15.Jak zamienić prędkość w m/s na m/min i km/h?

Mnożymy przez 60, bo minuta ma 60 sekund - wychodzi prędkość w m/min. Znowu mnożymy przez 60, bo godzina ma 60 minut, i zamieniamy metry na kilometry. Np. 15 m/s = 900 m/min, a w 1 h to 54 000 m = 54 km, czyli 54 km/h. Sprawdzenie: 1 m/s to $3{,}6~\mathrm{km/h}$.

16.Jak zamienić prędkość w km/h na m/min i m/s?

Zamieniamy kilometry na metry, potem dzielimy przez 60 (droga w 1 minutę) i jeszcze raz przez 60 (droga w 1 sekundę). Np. 72 km/h: w 1 h 72 000 m, w 1 min $72\,000~\mathrm{m} : 60 = 1200~\mathrm{m}$, w 1 s $1200~\mathrm{m} : 60 = 20~\mathrm{m}$. Zatem 72 km/h = 1200 m/min = 20 m/s.

17.Jak porównać prędkości podane w różnych jednostkach?

Najpierw zamieniamy wszystkie prędkości na tę samą jednostkę, np. km/h, a dopiero potem porównujemy liczby. Hulajnoga jadąca 5 m/s ma prędkość 18 km/h, a sprinter biegnący 9 m/s - $32{,}4~\mathrm{km/h}$. Rowerzysta jadący 27 km/h jest więc szybszy od hulajnogi, ale wolniejszy od sprintera, jak na diagramie.

18.Jak odczytać prędkość z wykresu drogi?

Na osi poziomej jest czas (w godzinach), a na pionowej przebyta droga (w kilometrach). Gdy wykres to odcinek prostej wychodzący z zera, prędkość jest stała. Odczytujemy dowolny punkt i dzielimy drogę przez czas: punkt A to 3 h i 12 km, więc prędkość wynosi $12~\mathrm{km} : 3~\mathrm{h} = 4~\mathrm{km/h}$. Im bardziej stromy wykres, tym większa prędkość.

19.Postój na wykresie drogi

Poziomy odcinek wykresu drogi oznacza postój: czas płynie, a droga się nie zwiększa. Na wykresie (czas w godzinach, droga w kilometrach): przez 2 h przebyto 8 km, czyli 4 km/h, od A do B trwa godzinny postój, a potem w 1 h przebyto 12 km, czyli 12 km/h. Ten ostatni odcinek jest bardziej stromy, bo prędkość jest większa.

20.Jak czytać wykres prędkości od czasu?

Na wykresie prędkości oś pionowa pokazuje prędkość, a nie drogę. Poziomy odcinek na wysokości np. 50 km/h oznacza jazdę ze stałą prędkością 50 km/h, a odcinek leżący na osi czasu (prędkość 0) - postój. Gdy wykres rośnie, pojazd przyspiesza, a gdy maleje - hamuje. Drogę przy stałej prędkości liczymy jak zwykle: 60 km/h przez 5 min to 5 km.

21.Jak sprawdzić, czy kierowca przekroczył dozwoloną prędkość?

Obliczamy jego średnią prędkość w km/h i porównujemy ją z prędkością dopuszczalną. Np. 12 km w 10 min: 10 min to $\frac{1}{6}$ h, więc w 1 h przejechałby $6 \cdot 12~\mathrm{km} = 72~\mathrm{km}$, czyli jechał 72 km/h. To więcej niż dozwolone 50 km/h, więc złamał przepisy.

22.Jak obliczyć czas?

Dzielimy długość drogi przez prędkość: $\text{czas} = \frac{\text{długość drogi}}{\text{prędkość}}$. Np. 210 km z prędkością 70 km/h: $210 : 70 = 3$, czyli 3 h. Droga w km i prędkość w km/h dają czas w godzinach, a droga w m i prędkość w m/s - czas w sekundach.

23.Czas, gdy droga nie jest wielokrotnością prędkości

Szukamy, jaka część godziny pasuje do drogi. Np. pojazd jedzie 48 km/h i ma do pokonania 36 km. W 1 h przejedzie 48 km, w kwadrans 4 razy mniej, czyli 12 km, a 36 km to 3 razy po 12 km. Potrzebuje więc 3 kwadransów, czyli 45 min.

24.Jak zamienić ułamek dziesiętny godziny na minuty?

Część godziny mnożymy przez 60: $0{,}5~\mathrm{h} = 30~\mathrm{min}$, $0{,}25~\mathrm{h} = 15~\mathrm{min}$, $0{,}2~\mathrm{h} = 12~\mathrm{min}$, $0{,}1~\mathrm{h} = 6~\mathrm{min}$. Zatem $2{,}5~\mathrm{h}$ to 2 h 30 min, a nie 2 h 50 min, a $1{,}2~\mathrm{h}$ to 1 h 12 min.

25.Czas, gdy droga i prędkość mają różne jednostki

Najpierw zamieniamy drogę na tę jednostkę długości, która jest w prędkości. Np. ślimak pełznie z prędkością 6 cm/min i ma przejść $0{,}3~\mathrm{m}$. $0{,}3~\mathrm{m} = 30~\mathrm{cm}$, więc czas to $30 : 6 = 5$, czyli 5 min.

26.Większa prędkość - krótszy czas

Gdy droga jest taka sama, a prędkość 2 razy większa, to czas jest 2 razy krótszy; przy 3 razy większej prędkości - 3 razy krótszy. Np. 60 km pieszo z prędkością 5 km/h to 12 h, a rowerem z prędkością 15 km/h (3 razy szybciej) - 4 h.

27.O której godzinie pojazd dotrze do celu?

Obliczamy czas jazdy, dodajemy czas postojów i dodajemy wynik do godziny wyjazdu. Np. wyjazd o $9^{40}$, trasa 150 km, prędkość 60 km/h, postój 15 min: jazda trwa $150 : 60 = 2{,}5$ h, czyli 2 h 30 min, z postojem 2 h 45 min, więc przyjazd o $12^{25}$.

28.Jak obliczyć, ile trwała podróż?

Od godziny przyjazdu odejmujemy godzinę wyjazdu - najwygodniej liczyć do pełnych godzin. Np. od $7^{50}$ do $10^{20}$: do $8^{00}$ mija 10 min, do $10^{00}$ - 2 h, do $10^{20}$ - 20 min, razem 2 h 30 min. Dopiero potem liczymy prędkość: 175 km w $2{,}5$ h to 70 km/h.

29.Droga, prędkość i czas - trzy zależności

Znając dwie z trzech wielkości, obliczamy trzecią: $\text{droga} = \text{prędkość} \cdot \text{czas}$, $\text{prędkość} = \text{droga} : \text{czas}$, $\text{czas} = \text{droga} : \text{prędkość}$. Np. 40 km/h przez 3 h to 120 km, 120 km w 3 h to 40 km/h, a 120 km z prędkością 40 km/h zajmie 3 h.

30.Jak rozwiązywać zadanie o ruchu krok po kroku?

1. Wypisz dane: drogę, prędkość, czas. 2. Sprawdź, czy jednostki do siebie pasują, i w razie potrzeby je zamień. 3. Wybierz działanie: mnożenie dla drogi, dzielenie dla prędkości albo czasu. 4. Oblicz. 5. Sprawdź, czy wynik ma sens (pieszy nie idzie 50 km/h), i napisz odpowiedź.

31.Węzeł - jednostka prędkości statków

Prędkość statków i promów podaje się w węzłach: 1 węzeł to 1 mila morska na godzinę, a 1 mila morska to ok. $1{,}85~\mathrm{km}$. Np. statek płynący z prędkością 10 węzłów przez 3 h pokonuje 30 mil morskich, czyli $30 \cdot 1{,}85~\mathrm{km} = 55{,}5~\mathrm{km}$.

32.Prędkość nie tylko w ruchu

Podobnie jak prędkość możemy obliczać, jak szybko coś zmienia się w czasie: liczbę obrotów płyty na minutę, wzrost poziomu wody w cm/min, liczbę stron czytanych na godzinę. Np. kran podnosi poziom wody o 2 cm na minutę, więc 30 cm wody nalewa się w $30 : 2 = 15$ min.