Trójkąty szczególne, układ współrzędnych, dowodzenie - Matematyka z plusem 8

1.Przekątna kwadratu

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych $a$ i przeciwprostokątnej $d$. Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, więc $d = a\sqrt{2}$, gdzie $a$ to długość boku kwadratu. Przykład: kwadrat o boku 3 ma przekątną $3\sqrt{2}$.

2.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znasz przekątną?

Zapisujemy równanie ze wzoru na przekątną: $a\sqrt{2} = d$ i wyznaczamy $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$. Przykład: $a\sqrt{2} = 6$, więc $a = \frac{6}{\sqrt{2}}$. Można też pomnożyć obie strony równania przez $\sqrt{2}$: $2a = 6\sqrt{2}$, więc $a = 3\sqrt{2}$. Oba wyniki oznaczają tę samą liczbę.

3.Pole kwadratu, gdy znasz jego przekątną

Kwadrat jest rombem, więc jego pole to połowa iloczynu przekątnych. Przekątne kwadratu są równe, dlatego $P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}$. Przykład: przekątna 6, więc $P = \frac{36}{2} = 18$. Sprawdzenie: bok to $3\sqrt{2}$, a $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

4.Jak zapisać wynik bez pierwiastka w mianowniku?

Licznik i mianownik mnożymy przez ten sam pierwiastek, który jest w mianowniku. Wartość ułamka się nie zmienia, a w mianowniku powstaje liczba bez pierwiastka, bo $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Przykład: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$, a $\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

5.Wysokość trójkąta równobocznego

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $h$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $a$. Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2$, więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, gdzie $a$ to bok trójkąta. Przykład: bok 6, więc $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

6.Pole trójkąta równobocznego

Pole to połowa iloczynu boku i wysokości: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, gdzie $a$ to długość boku. Przykład: bok 10, więc $P = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.

7.Jak obliczyć bok trójkąta równobocznego, gdy znasz wysokość?

Zapisujemy równanie $\frac{a\sqrt{3}}{2} = h$. Mnożymy obie strony przez 2: $a\sqrt{3} = 2h$, a potem dzielimy przez $\sqrt{3}$. Przykład: $h = 6$, więc $a\sqrt{3} = 12$, $a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$. Sprawdzenie: $\frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

8.Jak obliczyć bok trójkąta równobocznego, gdy znasz pole?

Zapisujemy równanie ze wzoru na pole: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = P$. Gdy pole ma postać liczba razy $\sqrt{3}$, pierwiastki się skracają. Przykład: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$, więc $\frac{a^2}{4} = 16$, $a^2 = 64$, $a = 8$.

9.Przekątne rombu o kącie $60^\circ$

Krótsza przekątna dzieli taki romb na dwa trójkąty równoboczne, więc jest równa bokowi rombu. Połowa dłuższej przekątnej to wysokość trójkąta równobocznego, więc dłuższa przekątna ma długość $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Przykład: bok 8, więc przekątne mają długości 8 i $8\sqrt{3}$.

10.Przybliżenia $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$

$\sqrt{2} \approx 1{,}41$, a $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Przydają się, gdy trzeba porównać wynik z inną długością albo podać go w metrach. Przykład: przekątna kwadratu o boku 6 to $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$, więc jest nieco dłuższa niż 8. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 10 to $5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.

11.Trójkąt o kątach $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$

To połowa kwadratu podzielonego przekątną, więc jest to trójkąt prostokątny równoramienny. Jeśli przyprostokątne mają długość $a$, to przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$. Wystarczy znać jeden bok, aby obliczyć dwa pozostałe. Przykład: przyprostokątna 4, więc przeciwprostokątna to $4\sqrt{2}$.

12.Jak obliczyć przyprostokątną trójkąta o kątach $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$ z przeciwprostokątnej?

Przyprostokątne są równe, więc oznaczamy je $x$. Przeciwprostokątna ma długość $x\sqrt{2}$, więc zapisujemy $x\sqrt{2} = c$ i $x = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Przykład: przeciwprostokątna 10, więc $x = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.

13.Wysokość trójkąta prostokątnego równoramiennego opuszczona na przeciwprostokątną

Ta wysokość dzieli trójkąt na dwa mniejsze trójkąty o kątach $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$, więc jest równa połowie przeciwprostokątnej. Przykład: przyprostokątne 6, przeciwprostokątna $6\sqrt{2}$, a wysokość $3\sqrt{2}$. Sprawdzenie z pól: $\frac{6 \cdot 6}{6\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

14.Trójkąt o kątach $90^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$

To połowa trójkąta równobocznego o boku $2b$ podzielonego wysokością. Krótsza przyprostokątna $b$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$, przeciwprostokątna ma długość $2b$, a dłuższa przyprostokątna leży naprzeciw kąta $60^\circ$ i ma długość $b\sqrt{3}$ (wysokość trójkąta równobocznego o boku $2b$: $\frac{2b\sqrt{3}}{2} = b\sqrt{3}$).

15.Jak obliczyć boki trójkąta o kątach $90^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$, gdy znasz przeciwprostokątną?

Krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej, a dłuższa to krótsza pomnożona przez $\sqrt{3}$. Przykład: przeciwprostokątna 12, więc krótsza przyprostokątna (naprzeciw kąta $30^\circ$) ma 6, a dłuższa ma $6\sqrt{3}$.

16.Jak obliczyć boki trójkąta o kątach $90^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$, gdy znasz dłuższą przyprostokątną?

Krótszą przyprostokątną oznaczamy $x$. Dłuższa przyprostokątna ma wtedy długość $x\sqrt{3}$, a przeciwprostokątna $2x$. Przykład: dłuższa przyprostokątna 9, więc $x\sqrt{3} = 9$, $x = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$, a przeciwprostokątna $2x = 6\sqrt{3}$.

17.Jak liczyć w trójkącie, w którym kąty przy podstawie mają $45^\circ$ albo $60^\circ$?

Wysokość dzieli taki trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$ albo $90^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$. W każdym liczymy boki osobno. Przykład: wysokość 6, kąty przy podstawie $45^\circ$ i $60^\circ$. Przy kącie $45^\circ$ odcinek podstawy ma 6, a bok $6\sqrt{2}$. Przy kącie $60^\circ$ odcinek podstawy ma $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$, a bok $4\sqrt{3}$.

18.Wysokość trapezu o kącie ostrym $60^\circ$ albo $45^\circ$

Wysokość opuszczona z końca krótszej podstawy odcina trójkąt prostokątny, w którym ramię jest przeciwprostokątną. Przy kącie $60^\circ$ odcinek dłuższej podstawy to połowa ramienia, a wysokość to ta połowa razy $\sqrt{3}$. Przykład: ramię 8, więc odcinek ma 4, a wysokość $4\sqrt{3}$. Przy kącie $45^\circ$ odcinek i wysokość są równe i mają długość $\frac{c}{\sqrt{2}}$, gdzie $c$ to ramię.

19.Droga nachylona pod kątem $30^\circ$

Gdy droga, rampa albo sufit jest nachylony do poziomu pod kątem $30^\circ$, powstaje trójkąt o kątach $90^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$. Wysokość, na jaką się wznosimy, leży naprzeciw kąta $30^\circ$, więc jest połową długości drogi. Przykład: po drodze długości 300 m wznosimy się o 150 m, a w poziomie przesuwamy się o $150\sqrt{3} \approx 260$ m.

20.Długość odcinka równoległego do osi układu współrzędnych

Gdy odcinek jest poziomy, jego końce mają tę samą drugą współrzędną, a długość to różnica pierwszych współrzędnych (większa minus mniejsza). Gdy odcinek jest pionowy, odejmujemy drugie współrzędne. Przykład: $A = (-3, 2)$, $B = (5, 2)$, więc $AB = 5 - (-3) = 8$.

21.Jak obliczyć długość dowolnego odcinka w układzie współrzędnych?

Rysujemy odcinek $PR$ i znajdujemy punkt $S$, taki że trójkąt $PSR$ jest prostokątny, a $PS$ i $RS$ są równoległe do osi. Odczytujemy długości $PS$ i $RS$ i stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $PR^2 = PS^2 + RS^2$. Na rysunku $P = (-3, 1)$, $R = (1, 4)$, $S = (1, 1)$, więc $PS = 4$, $RS = 3$ i $PR = \sqrt{16 + 9} = 5$.

22.Środek odcinka na osi liczbowej

Na osi liczbowej środek odcinka wyznaczonego przez dwie liczby ma współrzędną równą ich średniej arytmetycznej: $\frac{a + b}{2}$. Na rysunku środek odcinka od $-4$ do $6$ to $\frac{-4 + 6}{2} = 1$.

23.Współrzędne środka odcinka

Środek $S$ odcinka o końcach $A = (x_a, y_a)$ i $B = (x_b, y_b)$ ma współrzędne $x_s = \frac{x_a + x_b}{2}$, $y_s = \frac{y_a + y_b}{2}$ - każda współrzędna to średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców. Przykład: $A = (2, -3)$, $B = (8, 5)$, więc $S = \left(\frac{2 + 8}{2}, \frac{-3 + 5}{2}\right) = (5, 1)$.

24.Jak znaleźć koniec odcinka, gdy znasz drugi koniec i środek?

Szukany punkt oznaczamy $B = (x, y)$ i zapisujemy dwa równania ze wzoru na środek odcinka. Przykład: $A = (1, 4)$, środek $S = (3, -1)$. $\frac{1 + x}{2} = 3$, więc $1 + x = 6$, $x = 5$. $\frac{4 + y}{2} = -1$, więc $4 + y = -2$, $y = -6$. Zatem $B = (5, -6)$. Punkt $B$ leży na prostej $AS$.

25.Odległość punktu od początku układu współrzędnych

Punkt $(x, y)$, początek układu $(0, 0)$ i punkt $(x, 0)$ tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $|x|$ i $|y|$. Odległość punktu od początku układu to przeciwprostokątna: $\sqrt{x^2 + y^2}$. Przykład: punkt $(-6, 8)$ leży w odległości $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ od początku układu.

26.Czy punkt leży na okręgu, wewnątrz czy na zewnątrz?

Dla okręgu o środku w początku układu i promieniu $r$ obliczamy odległość punktu od początku układu i porównujemy ją z $r$. Równa $r$ - punkt leży na okręgu, mniejsza - wewnątrz, większa - na zewnątrz. Przykład dla $r = 5$: $(3, 4)$ leży na okręgu ($\sqrt{25} = 5$), $(2, 4)$ wewnątrz ($\sqrt{20} < 5$), a $(4, 4)$ na zewnątrz ($\sqrt{32} > 5$). Do koła należą punkty okręgu i jego wnętrza.

27.Środek i promień okręgu, gdy znasz końce średnicy

Środek okręgu jest środkiem średnicy $AB$, a promień to połowa długości $AB$. Przykład: $A = (-1, 2)$, $B = (5, 10)$. Środek: $\left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 10}{2}\right) = (2, 6)$. Długość średnicy: $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$, więc promień ma długość 5.

28.Jak znaleźć inne punkty kratowe na prostej $AB$?

Sprawdzamy, o ile zmieniają się współrzędne przy przejściu z $A$ do $B$, i powtarzamy ten sam krok. Przykład: $A = (1, 2)$, $B = (5, 8)$ - krok to 4 w prawo i 6 w górę. Dalej na prostej leży $(9, 14)$, a przed $A$ punkt $(-3, -4)$. Środek odcinka, $(3, 5)$, też leży na prostej - to pół kroku.

29.Jak znaleźć czwarty wierzchołek równoległoboku?

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie, więc mają wspólny środek. Dla kolejnych wierzchołków $A$, $B$, $C$ obliczamy środek $S$ przekątnej $AC$, a potem wierzchołek $D$ jako drugi koniec odcinka $BD$ o środku $S$. Przykład: $A = (0, 0)$, $B = (6, 1)$, $C = (8, 5)$. $S = (4; 2{,}5)$, więc $D = (2 \cdot 4 - 6;\ 2 \cdot 2{,}5 - 1) = (2, 4)$.

30.Kąty przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą

Jeśli prosta przecina dwie proste równoległe, to kąty odpowiadające mają równe miary oraz kąty naprzemianległe mają równe miary. Ta własność to jedno z podstawowych narzędzi w dowodach, np. w trapezie przekątna tworzy z obiema podstawami równe kąty naprzemianległe. Na rysunku zaznaczono parę kątów naprzemianległych.

31.Jak przeprowadzić dowód w geometrii?

Dowód to uzasadnienie, że własność jest prawdziwa dla każdej figury opisanej w zadaniu, a nie tylko dla jednego rysunku. Robimy rysunek, wprowadzamy oznaczenia i zapisujemy, co wiemy i co mamy wykazać. Potem w kolejnych krokach korzystamy ze znanych własności (kąty, pola, przystawanie trójkątów) i każdy krok uzasadniamy. Kończymy wnioskiem: „Wykazaliśmy, że…”.

32.Jak dowodzić, że kąty są równe?

Korzystamy z własności, które już znamy: kąty wierzchołkowe są równe, kąty przyległe mają razem $180^\circ$, kąty odpowiadające i naprzemianległe przy prostych równoległych są równe, przeciwległe kąty równoległoboku są równe, a kąty trójkąta mają razem $180^\circ$. Przykład: w trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) przekątna $AC$ przecina obie podstawy, więc $\angle BAC = \angle ACD$ jako kąty naprzemianległe.

33.Jak uzasadnić, że kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych?

Niech $\alpha$ i $\beta$ to kąty wewnętrzne przy dwóch wierzchołkach, a $\gamma$ - kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku (przyległy do kąta wewnętrznego $\delta$). Z sumy kątów trójkąta: $\delta = 180^\circ - \alpha - \beta$. Kąty przyległe mają razem $180^\circ$, więc $\gamma = 180^\circ - \delta = 180^\circ - (180^\circ - \alpha - \beta) = \alpha + \beta$.

34.Suma miar kątów wielokąta

Przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą wielokąt na trójkąty: pięciokąt na 3, sześciokąt na 4. Kąty trójkątów tworzą razem kąty wielokąta, więc suma miar kątów pięciokąta to $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$, a sześciokąta $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Wielokąt o $n$ bokach dzielimy na $n - 2$ trójkąty.

35.Sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Odcinki łączące jego środek z wierzchołkami dzielą go na 6 jednakowych trójkątów równobocznych o boku $a$. Dlatego jego pole to $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przykład: bok 4, więc pole to $6 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}$.

36.Środkowa trójkąta

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach, bo mają równe podstawy (połówki boku) i tę samą wysokość poprowadzoną z tego wierzchołka. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

37.Kiedy dwa trójkąty mają równe pola?

Na pewno wtedy, gdy mają równe podstawy i równe wysokości opuszczone na te podstawy, bo pole to $\frac{a \cdot h}{2}$. Przykład: w trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę $AB$, a ich wysokości są równe wysokości trapezu, więc mają równe pola.

38.Na jakie trójkąty dzielą równoległobok jego przekątne?

Przekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty o równych polach. Uzasadnienie: przekątne przecinają się w połowie w punkcie $S$, więc np. trójkąty $ABS$ i $CBS$ mają równe podstawy $AS = SC$ i wspólną wysokość z wierzchołka $B$. Tak samo porównujemy pozostałe pary. Każdy z trójkątów ma pole równe $\frac{1}{4}$ pola równoległoboku.

39.Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych

Pole każdego czworokąta, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym, jest równe połowie iloczynu długości przekątnych: $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Uzasadnienie: przekątna $e$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty o podstawie $e$, a ich wysokości to części drugiej przekątnej, które razem mają długość $f$. Tak jest np. w deltoidzie z rysunku.

40.Jak dowodzić za pomocą przystawania trójkątów?

Szukamy dwóch trójkątów, w których leżą odcinki albo kąty z tezy. Wykazujemy, że są przystające (cecha bbb, bkb albo kbk), a wtedy ich odpowiednie boki i kąty są równe. Przykład: w trójkącie $ABC$, gdzie $AC = BC$, punkt $D$ to środek $AB$. Trójkąty $ADC$ i $BDC$ są przystające z cechy bbb ($AC = BC$, $AD = BD$, $CD$ wspólny), więc kąty przy podstawie $AB$ są równe.