Trójkąty, czworokąty i twierdzenie Pitagorasa - Matematyka z plusem 8

1.Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów każdego trójkąta wynosi $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Gdy znasz dwa kąty, trzeci obliczysz, odejmując ich sumę od $180^\circ$. Przykład: kąty mają $40^\circ$ i $85^\circ$, więc trzeci kąt ma $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

2.Rodzaje trójkątów ze względu na kąty

Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe kąty są ostre i razem mają $90^\circ$. Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty. Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani rozwartych, bo ich suma przekroczyłaby $180^\circ$. Przykład: dwa kąty mają $30^\circ$ i $45^\circ$, więc trzeci ma $105^\circ$ i trójkąt jest rozwartokątny.

3.Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego - powstaje, gdy przedłużymy jeden bok. Jego miara to $180^\circ$ minus kąt wewnętrzny przy tym wierzchołku. Jest też równy sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych. Na rysunku kąt zewnętrzny przy $C$ ma $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, czyli tyle, ile $50^\circ + 70^\circ$.

4.Nierówność trójkąta

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków: $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$. Żeby sprawdzić, czy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt, wystarczy porównać najdłuższy odcinek z sumą dwóch krótszych. Przykład: odcinki 4 cm, 5 cm i 8 cm tworzą trójkąt, bo $8 < 4 + 5$, a odcinki 3 cm, 4 cm i 7 cm - nie, bo $7 = 3 + 4$.

5.Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny ma dwa boki równej długości - ramiona. Trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają równe miary. Aby obliczyć kąt przy podstawie, od $180^\circ$ odejmij kąt między ramionami i wynik podziel przez 2. Na rysunku kąt między ramionami ma $40^\circ$, więc kąty przy podstawie mają po $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$.

6.Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, a każdy jego kąt ma $60^\circ$, bo $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym (ma dwa równe boki), ale nie każdy trójkąt równoramienny jest równoboczny.

7.Pole trójkąta

Pole trójkąta to połowa iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: $P = \frac{a \cdot h}{2}$. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może leżeć poza trójkątem - opada wtedy na przedłużenie boku. W trójkącie prostokątnym jeden bok przy kącie prostym jest wysokością opuszczoną na drugi, więc pole to połowa iloczynu tych boków. Przykład: $a = 10$, $h = 3$, więc $P = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$.

8.Jak obliczyć wysokość trójkąta, gdy znasz jego pole?

Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość: $h = \frac{2 \cdot P}{a}$, gdzie $a$ to bok, na który opada wysokość. Przykład: trójkąt o polu 24 i boku 8 ma wysokość opuszczoną na ten bok $h = \frac{2 \cdot 24}{8} = 6$. Każdy bok ma swoją wysokość: im dłuższy bok, tym krótsza wysokość, bo iloczyn $a \cdot h$ jest zawsze równy $2 \cdot P$.

9.Cecha przystawania trójkątów bbb

Trójkąty przystające mają ten sam kształt i te same wymiary - po wycięciu można je na siebie nałożyć. Cecha bbb (bok, bok, bok): jeśli trzy boki jednego trójkąta mają takie same długości jak trzy boki drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. Przystające trójkąty mają też równe odpowiednie kąty.

10.Cecha przystawania trójkątów bkb

Cecha bkb (bok, kąt, bok): jeśli dwa boki jednego trójkąta i kąt między nimi są równe dwóm bokom drugiego trójkąta i kątowi między nimi, to te trójkąty są przystające. Kąt musi leżeć między tymi bokami. Na rysunku kąt $\alpha$ leży między bokami $a$ i $b$.

11.Cecha przystawania trójkątów kbk

Cecha kbk (kąt, bok, kąt): jeśli bok jednego trójkąta i dwa kąty przy tym boku są równe bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom przy nim, to te trójkąty są przystające. Kąty muszą leżeć przy końcach tego boku. Na rysunku kąty $\alpha$ i $\beta$ leżą przy końcach boku $a$.

12.Zależności między czworokątami

Każdy kwadrat jest rombem i prostokątem. Każdy romb i każdy prostokąt jest równoległobokiem. Każdy równoległobok jest trapezem. Dlatego kwadrat ma wszystkie własności rombu, prostokąta, równoległoboku i trapezu. Odwrotnie nie jest: nie każdy trapez jest równoległobokiem, a nie każdy romb jest kwadratem. Strzałkę na rysunku czytamy „jest”.

13.Suma miar kątów czworokąta

Suma miar kątów każdego czworokąta wynosi $360^\circ$. Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a kąty każdego z nich mają razem $180^\circ$: $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$. Przykład: trzy kąty czworokąta mają $70^\circ$, $90^\circ$ i $120^\circ$, więc czwarty ma $360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$.

14.Trapez

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy, a dwa pozostałe boki to ramiona. Wysokość trapezu to odległość między podstawami. Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi $180^\circ$, np. kąty $65^\circ$ i $115^\circ$ przy jednym ramieniu.

15.Pole trapezu

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość. Dodajemy podstawy, sumę mnożymy przez wysokość i wynik dzielimy przez 2. Przykład: podstawy 7 i 3, wysokość 4, więc $P = \frac{(7 + 3) \cdot 4}{2} = 20$.

16.Trapez równoramienny i trapez prostokątny

Trapez równoramienny ma ramiona równej długości. Trapez prostokątny ma przynajmniej jedno ramię prostopadłe do podstaw - to ramię jest wysokością. Trapez równoramienny, który nie jest równoległobokiem, ma dodatkowe własności: kąty przy tej samej podstawie mają równe miary, a przekątne mają równe długości. Na rysunku kąty przy dolnej podstawie to $\alpha$, a przy górnej $\beta$, przy czym $\alpha + \beta = 180^\circ$.

17.Równoległobok i jego własności

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Jego przekątne przecinają się w połowie. Przeciwległe kąty mają jednakowe miary, a suma miar kątów sąsiednich wynosi $180^\circ$. Na rysunku kąty mają $60^\circ$ i $120^\circ$, bo $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

18.Pole równoległoboku

$P = a \cdot h$, gdzie $a$ to bok, a $h$ to wysokość opuszczona na ten bok. Równoległobok ma dwie wysokości (na dwa różne boki), ale pole obliczone z każdej z nich jest takie samo. Gdy znasz pole, wysokość obliczysz jako $h = P : a$. Przykład: boki 8 i 5, wysokość na bok 8 równa 3, więc $P = 8 \cdot 3 = 24$, a wysokość na bok 5 to $24 : 5 = 4{,}8$.

19.Romb

Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości (jest więc równoległobokiem). Jego przekątne przecinają się w połowie i są prostopadłe. Pole rombu: $P = \frac{e \cdot f}{2}$, gdzie $e$ i $f$ to długości przekątnych. Przykład: przekątne 6 i 10, więc $P = \frac{6 \cdot 10}{2} = 30$. Jak w każdym równoległoboku, pole można też obliczyć jako $a \cdot h$.

20.Prostokąt i kwadrat

Prostokąt ma wszystkie kąty proste. Jego przekątne mają jednakowe długości i przecinają się w połowie. Pole: $P = a \cdot b$. Kwadrat ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równej długości. Jego przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe. Pole: $P = a^2$.

21.Jak obliczyć pole figury narysowanej na kratce?

Gdy figury nie da się policzyć jednym wzorem, stosujemy jedną z dwóch metod. Podział: dzielimy figurę na prostokąty i trójkąty, liczymy ich pola i dodajemy. Uzupełnianie: dorysowujemy figurę do prostokąta, a potem od pola prostokąta odejmujemy pola dorysowanych części. Długości boków i wysokości odczytujemy z kratek. Tak samo liczymy pole trójkąta o danych wierzchołkach w układzie współrzędnych.

22.Przyprostokątne i przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym boki leżące przy kącie prostym to przyprostokątne, a bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

23.Twierdzenie Pitagorasa - pola kwadratów

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej: $P_1 + P_2 = P_3$. Na rysunku przyprostokątne mają długości 5 i 12, więc kwadraty na nich mają pola 25 i 144, a kwadrat na przeciwprostokątnej ma pole $25 + 144 = 169$.

24.Twierdzenie Pitagorasa - wzór

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $a$ i $b$ to długości przyprostokątnych, a $c$ to długość przeciwprostokątnej. Dzięki temu możemy obliczyć długość jednego boku trójkąta prostokątnego, gdy znamy długości dwóch pozostałych boków.

25.Jak zapisać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta z rysunku?

Najpierw znajdź wierzchołek kąta prostego. Przeciwprostokątna to bok, który nie wychodzi z tego wierzchołka, a dwa pozostałe boki to przyprostokątne. Na rysunku kąt prosty jest przy $A$, więc przeciwprostokątną jest $BC$: $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Gdyby kąt prosty był przy $B$, zapisalibyśmy $AB^2 + BC^2 = AC^2$.

26.Co w matematyce nazywamy twierdzeniem?

Twierdzenie to zdanie (np. o figurach albo liczbach), którego prawdziwość została udowodniona. Twierdzeniami są np. zdania: „Suma miar kątów trójkąta jest równa $180^\circ$” oraz „Przekątne prostokąta mają równe długości i przecinają się w połowie”. Twierdzenie Pitagorasa ma postać „jeśli…, to…”: jeśli trójkąt jest prostokątny, to $a^2 + b^2 = c^2$.

27.Jak uzasadnić twierdzenie Pitagorasa za pomocą pól?

Kwadrat o boku $a + b$ dzielimy na cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz kwadrat o boku $c$. Pole dużego kwadratu zapisujemy na dwa sposoby: $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ oraz $4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + c^2 = 2ab + c^2$. Oba wyniki są równe, więc po odjęciu $2ab$ od obu stron zostaje $a^2 + b^2 = c^2$.

28.Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Robimy rysunek pomocniczy i szukaną długość oznaczamy $x$. Zapisujemy równość z twierdzenia Pitagorasa: suma kwadratów przyprostokątnych równa się $x^2$. Obliczamy $x^2$, a potem $x$ jako pierwiastek kwadratowy. Przykład: przyprostokątne 2 i 5, więc $2^2 + 5^2 = x^2$, $x^2 = 29$, $x = \sqrt{29}$.

29.Jak obliczyć przyprostokątną?

Gdy znasz przeciwprostokątną $c$ i jedną przyprostokątną $a$, zapisz $x^2 + a^2 = c^2$. Wtedy $x^2 = c^2 - a^2$: od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej. Przykład: $c = 10$, $a = 6$, więc $x^2 + 36 = 100$, $x^2 = 64$, $x = 8$. Częsty błąd to dodanie kwadratów zamiast ich odjęcia.

30.Dlaczego bierzemy tylko dodatni wynik i jak uprościć pierwiastek?

Równanie $x^2 = 20$ ma dwa rozwiązania, ale $x$ to długość odcinka, więc bierzemy tylko dodatnie: $x = \sqrt{20}$. Wynik upraszczamy, wyłączając czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Gdy bok ma długość $2\sqrt{3}$, jego kwadrat to $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

31.Jak oszacować długość zapisaną z pierwiastkiem?

Szukamy dwóch kolejnych kwadratów liczb naturalnych, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Przykład: $25 < 30 < 36$, więc $5 < \sqrt{30} < 6$. Dokładniej (z kalkulatora) $\sqrt{30} \approx 5{,}48$. Przybliżenie podajemy, gdy wynik opisuje rzeczywistą długość, np. drabiny albo ścieżki.

32.Jak skonstruować odcinek o długości $\sqrt{n}$?

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako sumę albo różnicę kwadratów liczb naturalnych. $\sqrt{17}$: $17 = 4^2 + 1^2$, więc to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych 4 i 1. $\sqrt{12}$: $12 = 4^2 - 2^2$, więc to przyprostokątna trójkąta o przeciwprostokątnej 4 i drugiej przyprostokątnej 2. Z trójkąta o przyprostokątnych 1 i 1 dostajemy $\sqrt{2}$, a dobudowując kolejne trójkąty z bokiem 1: $\sqrt{3}$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{5}$ itd.

33.Przekątna prostokąta

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Boki prostokąta są przyprostokątnymi, a przekątna jest przeciwprostokątną: $d^2 = a^2 + b^2$. Przykład: boki 5 i 12, więc $d^2 = 25 + 144 = 169$, $d = 13$. Gdy znasz przekątną i jeden bok, drugi bok obliczysz z równości $b^2 = d^2 - a^2$.

34.Jak obliczyć bok rombu z jego przekątnych?

Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie, więc dzielą romb na cztery jednakowe trójkąty prostokątne. Przyprostokątne to połowy przekątnych, a przeciwprostokątna to bok rombu. Przykład: przekątne 16 i 12, połowy 8 i 6, więc $a^2 = 8^2 + 6^2 = 100$, $a = 10$. Częsty błąd to wstawienie całych przekątnych zamiast ich połówek.

35.Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego?

Z końców krótszej podstawy opuszczamy dwie wysokości. Odcinają one od dłuższej podstawy dwa równe odcinki o długości $\frac{a - b}{2}$ ($a$, $b$ to podstawy). Wysokość, taki odcinek i ramię tworzą trójkąt prostokątny, w którym ramię jest przeciwprostokątną. Na rysunku: $(14 - 6) : 2 = 4$, $h^2 + 4^2 = 5^2$, $h^2 = 9$, $h = 3$. W trapezie prostokątnym jest jeden taki odcinek, o długości $a - b$.

36.Wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę

Ta wysokość dzieli podstawę na połowy. Powstają dwa trójkąty prostokątne: przyprostokątne to wysokość i połowa podstawy, a przeciwprostokątna to ramię. Przykład: podstawa 18, ramię 15, więc $h^2 + 9^2 = 15^2$, $h^2 = 225 - 81 = 144$, $h = 12$.

37.Jak użyć wysokości w trójkącie bez kąta prostego?

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. W każdym z nich wysokość jest przyprostokątną, więc twierdzenie Pitagorasa stosujemy do każdego z nich osobno. Przykład: wysokość 4 dzieli podstawę na odcinki 3 i 6. Boki trójkąta mają długości $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ oraz $\sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

38.Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną

Obliczamy pole trójkąta na dwa sposoby. Raz z przyprostokątnych: $P = \frac{a \cdot b}{2}$, drugi raz z przeciwprostokątnej i wysokości: $P = \frac{c \cdot h}{2}$. Stąd $h = \frac{a \cdot b}{c}$. Na rysunku przyprostokątne mają 6 i 8, a przeciwprostokątna 10, więc $P = 24$ i $h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$.

39.Jak obliczyć odległość cięciwy od środka okręgu?

Odcinek poprowadzony ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na połowy. Ten odcinek, połowa cięciwy i promień poprowadzony do końca cięciwy tworzą trójkąt prostokątny, w którym promień jest przeciwprostokątną: $r^2 = d^2 + x^2$ ($d$ - odległość od środka, $x$ - połowa cięciwy). Przykład: promień 13, cięciwa 24, więc $d^2 = 169 - 144 = 25$, $d = 5$.

40.Jak rozwiązywać zadania z życia z twierdzeniem Pitagorasa?

Robimy rysunek pomocniczy i szukamy kąta prostego: między ścianą a ziemią, między kierunkiem wschodnim a południowym, w rogu prostokątnego skweru. Szukaną długość oznaczamy $x$, zapisujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy $x$. Wynik podajemy z jednostką, w razie potrzeby zaokrąglony. Przykład: drabina o długości 2,5 m stoi 0,7 m od ściany, więc sięga na wysokość $\sqrt{6{,}25 - 0{,}49} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ m.