Podwyżki, obniżki i punkty procentowe - Matematyka z plusem 7

1.Co znaczy „o p% więcej”?

Liczba o $p\%$ większa od danej to dana liczba powiększona o $p\%$ jej samej. Cena 60 zł wzrosła o $10\%$: nowa cena to $60 + 0{,}1 \cdot 60 = 66$ zł. Inaczej: nowa cena to $110\%$ starej ceny, bo $100\% + 10\% = 110\%$, a $1{,}1 \cdot 60 = 66$.

2.Co znaczy „o p% mniej”?

Liczba o $p\%$ mniejsza od danej to dana liczba pomniejszona o $p\%$ jej samej. Cena 250 zł spadła o $20\%$: nowa cena to $250 - 0{,}2 \cdot 250 = 200$ zł. Inaczej: nowa cena to $80\%$ starej ceny, bo $100\% - 20\% = 80\%$, a $0{,}8 \cdot 250 = 200$.

3.Jak odczytać informację o zmianie w procentach?

Powiększenie o $p\%$ oznacza, że nowa wielkość to $(100 + p)\%$ dawnej, a zmniejszenie o $p\%$ - że to $(100 - p)\%$ dawnej. Park powiększony o $30\%$ będzie miał $130\%$ obecnej powierzchni. Towar $45\%$ taniej kosztuje $55\%$ dawnej ceny. Obroty wyższe o $150\%$ to $250\%$ dawnych obrotów.

4.Cena po obniżce - sposób I

Najpierw obliczamy, o ile złotych zmaleje cena, a potem odejmujemy. Cena 180 zł maleje o $15\%$: $15\% = 0{,}15$, $0{,}15 \cdot 180 = 27$ zł, więc nowa cena to $180 - 27 = 153$ zł. Przy podwyżce obliczoną kwotę dodajemy do starej ceny.

5.Cena po obniżce - sposób II

Najpierw obliczamy, jakim procentem starej ceny będzie nowa: $100\% - 15\% = 85\%$. Potem zamieniamy procent na ułamek i mnożymy: $0{,}85 \cdot 180 = 153$ zł. Przy podwyżce o $15\%$ nowa cena to $115\%$ starej: $1{,}15 \cdot 180 = 207$ zł.

6.Liczba o p% większa lub mniejsza - obliczanie w pamięci

Obliczamy $p\%$ liczby w pamięci i dodajemy albo odejmujemy wynik. O $25\%$ więcej od 60 to $60 + 15 = 75$, o $10\%$ mniej od 70 to $70 - 7 = 63$, o $50\%$ więcej od 30 to $30 + 15 = 45$, a o $1\%$ mniej od 500 to $500 - 5 = 495$.

7.Podwyżka i obniżka o ten sam procent

Gdy cenę podniesiemy o pewien procent, a potem obniżymy o ten sam procent, końcowa cena nie wróci do początkowej. Np. 200 zł po podwyżce o $10\%$: $1{,}1 \cdot 200 = 220$ zł, a po obniżce o $10\%$: $0{,}9 \cdot 220 = 198$ zł. Drugi procent liczymy od nowej, wyższej ceny.

8.Dwie kolejne obniżki lub podwyżki

Każdą kolejną zmianę liczymy od ceny po poprzedniej zmianie. Kurtka za 400 zł staniała o $20\%$, a potem o $10\%$: $0{,}8 \cdot 400 = 320$ zł, potem $0{,}9 \cdot 320 = 288$ zł. To nie to samo co jedna obniżka o $30\%$, która dałaby $0{,}7 \cdot 400 = 280$ zł.

9.Czy kolejność dwóch zmian procentowych ma znaczenie?

Nie, bo mnożymy przez te same liczby, a mnożenie jest przemienne. Podwyżka o $10\%$, a potem o $20\%$ daje $1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32$ ceny, a w odwrotnej kolejności $1{,}2 \cdot 1{,}1 = 1{,}32$ ceny. Obie podwyżki dają razem wzrost o $32\%$, a nie o $30\%$.

10.Jak obliczyć zmianę czasu o pewien procent?

Procent czasu najlepiej liczyć w minutach. Wycieczka miała trwać 3 godziny, ale wydłużyła się o $20\%$: $3~\mathrm{h} = 180$ min, $0{,}2 \cdot 180 = 36$ min, więc trwała 3 h 36 min. Błędem jest zapisanie wyniku $3{,}6$ h jako 3 h 60 min.

11.Która promocja jest korzystniejsza: więcej towaru czy niższa cena?

Porównujemy cenę tej samej ilości towaru. Sok kosztuje 4 zł za 1 l. W pierwszej promocji dostajemy za 4 zł o $25\%$ więcej soku, czyli $1{,}25$ l, więc 1 l kosztuje $4 : 1{,}25 = 3{,}20$ zł. W drugiej promocji płacimy o $25\%$ mniej, czyli 3 zł za 1 l. Druga promocja jest korzystniejsza.

12.Jak znaleźć liczbę, gdy znamy jej 50%, 25%, 20% albo 10%?

$50\%$ to połowa liczby, więc cała liczba jest 2 razy większa. Gdy znamy $25\%$, liczba jest 4 razy większa, gdy $20\%$ - 5 razy, a gdy $10\%$ - 10 razy. Np. $8~\mathrm{m}^2$ to $20\%$, czyli $\frac{1}{5}$ podłogi, więc cała podłoga ma $5 \cdot 8 = 40~\mathrm{m}^2$ (rysunek: 1 z 5 części).

13.Jak obliczyć liczbę, gdy dany jest jej procent? (równanie)

Szukaną liczbę oznaczamy literą $x$ i zapisujemy równanie: $p\%$ liczby $x$ to dana wartość. Np. $15\%$ liczby to 45: $0{,}15 \cdot x = 45$, więc $x = 45 : 0{,}15 = 300$. Sprawdzenie: $0{,}15 \cdot 300 = 45$.

14.Liczba z procentu przez 10% albo 1%

Ze znanego procentu obliczamy najpierw $10\%$ (albo $1\%$) liczby, a potem mnożymy. Liczba, której $30\%$ to 18: $10\%$ to $18 : 3 = 6$, więc $100\%$ to $6 \cdot 10 = 60$. Liczba, której $3\%$ to 12: $1\%$ to $12 : 3 = 4$, więc $100\%$ to $4 \cdot 100 = 400$.

15.Liczba z procentu większego niż 100% albo mniejszego niż 1%

Gdy znamy więcej niż $100\%$ liczby, szukana liczba jest mniejsza od danej: $250\%$ liczby to 75, więc $2{,}5 \cdot x = 75$ i $x = 75 : 2{,}5 = 30$. Gdy znamy mały procent, liczba jest dużo większa: $0{,}5\%$ liczby to 4, więc $0{,}005 \cdot x = 4$ i $x = 800$.

16.Jak obliczyć cenę przed podwyżką?

Nowa cena po podwyżce o $p\%$ to $(100 + p)\%$ starej ceny. Po podwyżce o $20\%$ cena wynosi 300 zł: $1{,}2 \cdot x = 300$, więc $x = 300 : 1{,}2 = 250$ zł. Błędem jest odjęcie $20\%$ od nowej ceny ($0{,}8 \cdot 300 = 240$ zł), bo procent liczono od starej ceny.

17.Jak obliczyć cenę przed obniżką?

Po obniżce o $p\%$ nowa cena to $(100 - p)\%$ starej ceny. Po obniżce o $25\%$ zapłacono 120 zł: $0{,}75 \cdot x = 120$, więc $x = 120 : 0{,}75 = 160$ zł. Sprawdzenie: $25\%$ ze 160 zł to 40 zł, a $160 - 40 = 120$ zł.

18.Liczba o p% większa (mniejsza) od a jest dana - jak znaleźć a?

Procent liczymy zawsze od liczby $a$. „Liczba o $10\%$ większa od $a$ jest równa 33” zapisujemy: $1{,}1 \cdot a = 33$, więc $a = 30$. „Liczba o $40\%$ mniejsza od $a$ jest równa 12” zapisujemy: $0{,}6 \cdot a = 12$, więc $a = 20$.

19.Jak znaleźć całość, gdy znamy pozostałą część?

Najpierw obliczamy, jakim procentem całości jest ta część. $70\%$ uczniów pojechało na wycieczkę, a 9 zostało w szkole. Ci, którzy zostali, to $100\% - 70\% = 30\%$ klasy, więc $0{,}3 \cdot x = 9$ i $x = 30$ uczniów.

20.Ubytek masy, np. przy suszeniu

Gdy produkt traci $p\%$ masy, zostaje $(100 - p)\%$ masy. Śliwki po suszeniu tracą $80\%$ masy, więc zostaje $20\%$. Aby otrzymać 2 kg suszonych śliwek, rozwiązujemy $0{,}2 \cdot x = 2$, czyli trzeba $x = 10$ kg świeżych śliwek.

21.Liczba z procentu w dwóch krokach

Gdy procent dotyczy reszty, cofamy się krok po kroku od końca. Z koszyka wyjęto $50\%$ jabłek, a potem $60\%$ pozostałych i zostało 8 jabłek. 8 to $40\%$ reszty, więc reszta to $8 : 0{,}4 = 20$ jabłek. 20 to $50\%$ wszystkich, więc na początku było 40 jabłek.

22.O ile procent więcej? Porównanie z mniejszą wielkością

Obliczamy, jakim procentem wielkości, z którą porównujemy, jest różnica: $\frac{\text{różnica}}{\text{wielkość, z którą porównujemy}} \cdot 100\%$. Pomarańcze po 6 zł/kg są droższe od jabłek po 5 zł/kg o $\frac{6 - 5}{5} = \frac{1}{5} = 20\%$.

23.O ile procent mniej? Porównanie z większą wielkością

Różnicę dzielimy przez wielkość, z którą porównujemy - tu przez większą. Jabłka po 5 zł/kg są tańsze od pomarańczy po 6 zł/kg o $\frac{6 - 5}{6} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$. Pomarańcze są droższe o $20\%$, a jabłka tańsze tylko o ok. $16{,}7\%$, bo dzielimy przez inną liczbę.

24.O ile procent wzrosła albo zmalała cena?

Zmianę porównujemy z ceną początkową (starą): $\frac{\text{różnica cen}}{\text{stara cena}} \cdot 100\%$. Bluza podrożała z 80 zł do 92 zł: $\frac{12}{80} = 0{,}15 = 15\%$. Buty staniały z 250 zł do 200 zł: $\frac{50}{250} = \frac{1}{5} = 20\%$.

25.Jak obliczyć procent obniżki, gdy znamy kwotę obniżki?

Cenę obniżono o 30 zł i teraz wynosi 120 zł. Stara cena to $120 + 30 = 150$ zł, więc obniżka wyniosła $\frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 20\%$. Częsty błąd to dzielenie przez nową cenę: $\frac{30}{120} = 25\%$.

26.Ten sam procent zmiany dla różnych cen

Gdy wszystkie ceny zmieniono o ten sam procent, najpierw obliczamy ten procent z jednej pary cen. Plecak staniał ze 150 zł do 120 zł, czyli o $\frac{30}{150} = 20\%$. Torba za 90 zł po takiej samej obniżce kosztuje $0{,}8 \cdot 90 = 72$ zł, a nie $90 - 30 = 60$ zł.

27.Punkty procentowe

Różnicę między dwiema wartościami tej samej wielkości podanymi w procentach wyrażamy w punktach procentowych. Frekwencja na zebraniach wzrosła z $40\%$ do $46\%$, czyli o 6 punktów procentowych, bo $46 - 40 = 6$ (rysunek).

28.Punkty procentowe a procenty

Wzrost o 6 punktów procentowych to nie wzrost o $6\%$. Gdy frekwencja w grupie 500 osób wzrosła z $40\%$ do $46\%$, najpierw przyszło $0{,}4 \cdot 500 = 200$ osób, a potem $0{,}46 \cdot 500 = 230$ osób. Liczba osób wzrosła o $\frac{30}{200} = 15\%$, a frekwencja - o 6 punktów procentowych.

29.Punkty procentowe w tabeli, np. inflacji

Inflacja to wzrost cen towarów i usług, podawany w procentach. Gdy w jednym roku inflacja wyniosła $6{,}2\%$, a w następnym $3{,}9\%$, to spadła o $6{,}2 - 3{,}9 = 2{,}3$ punktu procentowego. Punkty procentowe obliczamy zwykłym odejmowaniem procentów.

30.Uwaga na diagram słupkowy, którego oś nie zaczyna się od 0

Gdy oś diagramu nie zaczyna się od 0, słupki wyglądają na bardzo różne, choć liczby różnią się niewiele. Zysk wzrósł ze 100 tys. zł do 104 tys. zł, czyli o $\frac{4}{100} = 4\%$. Na diagramie z osią od 96 drugi słupek jest jednak 2 razy wyższy, bo widać tylko części ponad 96 tys. zł: 4 i 8 tys. zł. Zawsze odczytuj wartości z osi.

31.O ile procent więcej osób lub rzeczy?

Liczby osób czy rzeczy porównujemy tak samo jak ceny. W klubie jest 30 chłopców i 20 dziewcząt. Chłopców jest więcej o $\frac{10}{20} = 50\%$ (porównujemy z liczbą dziewcząt), a dziewcząt jest mniej o $\frac{10}{30} = 33\frac{1}{3}\%$ (porównujemy z liczbą chłopców).

32.O ile procent więcej, a ile razy więcej?

Wielkość $k$ razy większa jest większa o $(k - 1) \cdot 100\%$: 2 razy więcej to o $100\%$ więcej, 3 razy więcej - o $200\%$, a 5 razy więcej - o $400\%$. Odwrotnie: o $300\%$ więcej to $400\%$ dawnej wielkości, czyli 4 razy więcej.

33.Ile razy mniej, a o ile procent mniej?

Wielkość 4 razy mniejsza to $\frac{1}{4} = 25\%$ dawnej, czyli jest mniejsza o $75\%$. Wielkość 20 razy mniejsza to $5\%$ dawnej, czyli mniejsza o $95\%$. Wielkość nie może zmaleć o więcej niż $100\%$.

34.Jak rozwiązać zadanie z trzema wielkościami porównanymi procentowo?

Liczymy po kolei, zaczynając od wielkości, którą znamy. Ola ma 50 naklejek, Ewa o $20\%$ więcej, czyli $1{,}2 \cdot 50 = 60$. Ewa ma o $25\%$ mniej niż Kuba: $0{,}75 \cdot x = 60$, więc Kuba ma 80 naklejek. Kuba ma więcej niż Ola o $\frac{80 - 50}{50} = 60\%$.

35.Procent pewnej części całości

Procent części obliczamy, mnożąc ułamki. $20\%$ z $\frac{1}{2}$ pizzy to $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ pizzy, czyli $10\%$ całej pizzy. Większy procent nie zawsze daje więcej: $30\%$ z $\frac{1}{5}$ pizzy to tylko $\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{50}$ pizzy, czyli mniej niż $\frac{1}{10} = \frac{5}{50}$.

36.Jak obliczyć cenę przed dwiema zmianami?

Zapisujemy równanie z oboma czynnikami. Cenę podniesiono o $20\%$, a potem obniżono o $10\%$ i wynosi 216 zł: $0{,}9 \cdot 1{,}2 \cdot x = 216$, czyli $1{,}08 \cdot x = 216$, więc $x = 216 : 1{,}08 = 200$ zł. Sprawdzenie: $1{,}2 \cdot 200 = 240$, $0{,}9 \cdot 240 = 216$.

37.Sprzedaż z zyskiem p%

Sprzedaż z zyskiem $25\%$ oznacza, że cena sprzedaży to $125\%$ ceny zakupu. Rower sprzedano z zyskiem $25\%$ za 1000 zł: $1{,}25 \cdot x = 1000$, więc kupiono go za 800 zł, a zysk wyniósł 200 zł. Zysk liczymy od ceny zakupu.

38.Jaki procent stanowi grupa w kilku zbiorach razem (tabela)?

Dodajemy liczby z odpowiednich komórek tabeli, a nie procenty. Na dwie wystawy sprzedano 300 i 200 biletów, w tym 60 i 40 biletów ulgowych. Bilety ulgowe to $\frac{60 + 40}{300 + 200} = \frac{100}{500} = 20\%$ wszystkich biletów. Na każdej wystawie też stanowiły $20\%$, ale razem to nie $20\% + 20\% = 40\%$.

39.Wpłata części kwoty w procentach

Gdy przy umowie wpłacamy $20\%$ ceny, przy odbiorze płacimy resztę, czyli $80\%$. Za meble za 9000 zł wpłacamy najpierw $0{,}2 \cdot 9000 = 1800$ zł, a potem $9000 - 1800 = 7200$ zł. Gdy wiemy, że wpłata 1500 zł to $20\%$ ceny, cena wynosi $1500 : 0{,}2 = 7500$ zł.

40.Zasolenie (stężenie) po zmieszaniu dwóch porcji

Obliczamy masę soli w każdej porcji, dodajemy i dzielimy przez masę całości. 4 kg wody o zasoleniu 10‰ zawiera $0{,}01 \cdot 4 = 0{,}04$ kg soli, a 6 kg wody o zasoleniu 30‰ - $0{,}03 \cdot 6 = 0{,}18$ kg. Razem $0{,}22$ kg soli w 10 kg wody, czyli 22‰. Zasoleń nie dodajemy ani nie uśredniamy.