Kalkulator, odczytywanie informacji i wykresy - Matematyka z plusem 6

1.Kalkulator i jego podstawowe przyciski

Kalkulator to urządzenie albo aplikacja (w komputerze, w telefonie) do szybkiego wykonywania obliczeń. Ma przyciski z cyframi od 0 do 9, ze znakami działań (dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia), ze znakiem równości, z kropką do ułamków dziesiętnych oraz AC i C. AC kasuje wszystkie wprowadzone liczby i działania, a C - tylko liczbę na ekranie. Na niektórych kalkulatorach znak mnożenia wygląda jak gwiazdka, a znak dzielenia jak ukośna kreska.

2.Jak wpisać ułamek dziesiętny do kalkulatora?

Zamiast przecinka wciskamy przycisk z kropką: liczbę $6{,}4$ wpisujemy jako 6.4. Wynik też jest z kropką: 19.2 na ekranie to $19{,}2$. Przykład z rysunku: iloczyn $6{,}4 \cdot 3$ obliczamy, wciskając kolejno 6, kropkę, 4, znak mnożenia, 3 i znak równości.

3.Ile cyfr mieści okienko kalkulatora?

Okienko (wyświetlacz) kalkulatora mieści tylko pewną liczbę cyfr, np. 8 albo 10. Dlatego nie każde obliczenie wykonamy na kalkulatorze: wynik $4\,000\,000 \cdot 5\,000\,000 = 20\,000\,000\,000\,000$ ma 14 cyfr i się nie zmieści, choć łatwo go obliczyć bez kalkulatora.

4.Jak sprytnie użyć kalkulatora do mnożenia liczb zakończonych zerami?

Skreślamy zera na końcu obu czynników i mnożymy na kalkulatorze to, co zostało. Potem do wyniku dopisujemy tyle zer, ile skreśliliśmy razem w obu czynnikach. Przykład: $36\,000 \cdot 4\,500\,000$ - liczymy $36 \cdot 45 = 1620$ i dopisujemy $3 + 5 = 8$ zer, więc wynik to $162\,000\,000\,000$.

5.Jak sprytnie mnożyć bardzo małe ułamki dziesiętne?

Mnożymy na kalkulatorze liczby bez przecinków i bez zer z przodu. W wyniku oddzielamy przecinkiem tyle cyfr, ile razem było cyfr po przecinku w obu czynnikach, a brakujące miejsca wypełniamy zerami. Przykład: $0{,}00012 \cdot 0{,}0004$ - liczymy $12 \cdot 4 = 48$; cyfr po przecinku jest $5 + 4 = 9$, więc wynik to $0{,}000000048$.

6.Kalkulator odcina cyfry albo zaokrągla wynik - co to znaczy?

Gdy wynik ma więcej cyfr, niż mieści okienko, jedne kalkulatory pokazują tylko początkowe cyfry („odcinają” resztę), a inne zaokrąglają wynik do pewnego miejsca po przecinku. Przykład: $1 : 6 = 0{,}1666\ldots$ Kalkulator, który odcina cyfry, pokaże np. 0.1666666, a ten, który zaokrągla - 0.1666667.

7.Jak sprawdzić, czy kalkulator przestrzega kolejności działań?

Wciskamy kolejno przyciski: 5, plus, 2, razy, 3, równa się. Wynik 11 znaczy, że kalkulator przestrzega kolejności działań: najpierw $2 \cdot 3 = 6$, potem $5 + 6 = 11$. Wynik 21 znaczy, że jej nie przestrzega - liczy po kolei, czyli $(5 + 2) \cdot 3 = 21$.

8.Jak liczyć na kalkulatorze, który nie przestrzega kolejności działań?

Sami pilnujemy kolejności działań: najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Przykład: $8 + 6 \cdot 7$ - najpierw obliczamy $6 \cdot 7 = 42$, a potem do wyniku dodajemy 8: $42 + 8 = 50$. Gdy wciśniemy wszystko po kolei, kalkulator obliczy $(8 + 6) \cdot 7 = 98$.

9.Metoda prób i błędów - jak znaleźć liczbę, której kwadrat jest równy np. 1369?

Szacujemy i sprawdzamy na kalkulatorze, jak na rysunku. $30^2 = 900$, a $40^2 = 1600$, więc liczba leży między 30 a 40. Kwadrat kończy się cyfrą 9, więc liczba kończy się cyfrą 3 albo 7. Sprawdzamy: $33^2 = 1089$, $37^2 = 1369$, więc szukana liczba to 37. Tak samo szukamy liczby, której trzecia potęga jest równa danej liczbie.

10.Jak znaleźć rozwinięcie dziesiętne ułamka za pomocą kalkulatora?

Ułamek to iloraz licznika przez mianownik, więc dzielimy licznik przez mianownik: $\frac{7}{16} = 7 : 16 = 0{,}4375$. W liczbie mieszanej dzielimy tylko część ułamkową i dopisujemy całości: $2\frac{5}{8} = 2{,}625$. Żeby porównać ułamki, zamieniamy je na ułamki dziesiętne: $\frac{4}{9} = 0{,}444\ldots$ jest większe od $\frac{3}{7} = 0{,}428\ldots$

11.Jak obliczyć iloraz i resztę za pomocą kalkulatora?

Dzielimy dzielną przez dzielnik. Część całkowita wyniku (przed kropką) to iloraz. Resztę obliczamy tak: od dzielnej odejmujemy iloczyn dzielnika i ilorazu. Przykład z rysunku: kalkulator pokazuje, że $9471 : 23$ to 411.78…, więc iloraz to 411. $23 \cdot 411 = 9453$, $9471 - 9453 = 18$, czyli $9471 : 23 = 411 \text{ r } 18$. Cyfry po kropce nie są resztą.

12.Jak obliczyć, ile przeciętnie przypada na jeden mecz, na $1~\mathrm{km^2}$ albo na 1 litr?

Dzielimy całość przez liczbę meczów, kilometrów kwadratowych albo litrów. 1350 punktów w 45 meczach to przeciętnie $1350 : 45 = 30$ punktów na mecz. 2400 osób na $30~\mathrm{km^2}$ to $2400 : 30 = 80$ osób na $1~\mathrm{km^2}$. Gdy 4 litry farby wystarczają na $50~\mathrm{m^2}$, to litr wystarcza na $50 : 4 = 12{,}5~\mathrm{m^2}$, a na $1~\mathrm{m^2}$ zużywa się $4 : 50 = 0{,}08$ litra.

13.Jak obliczyć średnią ocen?

Dodajemy wszystkie oceny i dzielimy sumę przez liczbę ocen. Gdy ta sama ocena się powtarza, mnożymy ją przez liczbę jej wystąpień. Przykład: 3 piątki, 4 czwórki i 1 trójka - $(3 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 3) : 8 = 34 : 8 = 4{,}25$.

14.Ile zapłacisz za towar, gdy znasz cenę za 1 kg?

Zamieniamy masę na kilogramy (1 kg = 100 dag = 1000 g) i mnożymy cenę za 1 kg przez liczbę kilogramów. Przykład: rodzynki kosztują 16 zł za kilogram; 25 dag to $0{,}25$ kg, więc płacimy $0{,}25 \cdot 16 = 4$ zł.

15.Jak sprawdzić, które opakowanie bardziej się opłaca?

Obliczamy cenę tej samej ilości towaru, np. 1 kg, w każdym opakowaniu: cenę dzielimy przez masę. Opłaca się to opakowanie, w którym 1 kg jest tańszy. Przykład: $0{,}5$ kg za 18 zł to $18 : 0{,}5 = 36$ zł za kilogram, a 4 paczki po $0{,}2$ kg (razem $0{,}8$ kg) za 30 zł to $30 : 0{,}8 = 37{,}50$ zł za kilogram. Bardziej opłaca się opakowanie $0{,}5$ kg.

16.Jak przeliczać jednostki, gdy znasz przelicznik (np. 1 mila morska = 1852 m)?

Gdy zamieniamy większą jednostkę na mniejszą, mnożymy przez przelicznik: 20 mil morskich to $20 \cdot 1852 = 37\,040$ m, czyli $37{,}04$ km. Gdy zamieniamy odwrotnie, dzielimy: 100 km to $100\,000$ m, a $100\,000 : 1852 \approx 54$, czyli około 54 mile morskie.

17.Pamięć kalkulatora - przyciski M+, M-, MR, MC

M+ dodaje liczbę z ekranu do pamięci kalkulatora, M- odejmuje ją od pamięci, MR wyświetla zawartość pamięci, a MC kasuje zawartość pamięci. Pamięć przydaje się, gdy trzeba zapamiętać wynik części obliczeń, np. w wyrażeniach z kilkoma iloczynami albo z nawiasami.

18.Jak obliczyć $7 \cdot 9 + 48 : 6$, korzystając z pamięci kalkulatora?

Jak na rysunku: wciskamy AC, obliczamy $7 \cdot 9 = 63$ i wciskamy M+ (63 trafia do pamięci). Wciskamy C, obliczamy $48 : 6 = 8$ i znów wciskamy M+. MR wyświetla wynik: $63 + 8 = 71$. Gdy drugi wynik trzeba odjąć, np. w $7 \cdot 9 - 48 : 6$, zamiast drugiego M+ wciskamy M- i dostajemy 55.

19.Jak użyć pamięci kalkulatora, gdy w dzielniku albo w czynniku jest nawias?

Najpierw obliczamy nawias i wciskamy M+. Potem wciskamy C, wpisujemy drugą liczbę, znak działania, MR i znak równości. Przykład: $\frac{45}{12 - 3}$ - AC, $12 - 3 = 9$, M+, C, potem 45, znak dzielenia, MR, równa się, wynik 5. Tak samo $(6 + 4) \cdot (9 - 2)$: $6 + 4$ do pamięci, potem $9 - 2$, znak mnożenia, MR, równa się, wynik 70.

20.W jakiej postaci podaje się informacje i po co są diagramy?

W książkach, prasie, internecie i na plakatach informacje podaje się w postaci tekstów, rysunków, tabel i diagramów. Tabela porządkuje dane w wierszach i kolumnach. Diagram pokazuje dane obrazkiem, np. słupkami, dzięki czemu łatwo je ze sobą porównać.

21.Jak odczytać dane z tabeli?

Najpierw czytamy tytuł tabeli i nagłówki wierszy oraz kolumn, razem z jednostkami (np. m, s, zł). Szukana wartość stoi na przecięciu właściwego wiersza i właściwej kolumny. Gdy pytanie dotyczy porównania, odczytujemy dwie wartości i obliczamy ich różnicę.

22.Cennik w przedziałach - jak odczytać cenę biletu?

W cenniku podano przedziały, np. „do 30 km”, „31-60 km”, „61-100 km”. Szukamy przedziału, do którego należy nasza odległość, i odczytujemy cenę z tego wiersza. Trasa 52 km należy do przedziału 31-60 km, a trasa 30 km - do przedziału „do 30 km”.

23.Tabela odległości między miejscowościami - jak z niej korzystać?

Odległość odczytujemy na przecięciu wiersza jednej miejscowości i kolumny drugiej. Na przekątnej tabeli (ta sama miejscowość) stoi kreska. Tabela może mieć dwie części, np. nad przekątną odległości kolejowe, a pod nią drogowe - wtedy w opisie tabeli sprawdzamy, która część jest którą.

24.Diagram słupkowy - jak go odczytać?

Każdy słupek odpowiada jednej kategorii, a jego wysokość - wartości; liczbę odczytujemy z osi albo znad słupka. Najwyższy słupek to największa wartość, najniższy - najmniejsza. Na rysunku: najwięcej sprzedano lodów czekoladowych (52 porcje), najmniej cytrynowych (18), czyli czekoladowych o $52 - 18 = 34$ więcej.

25.Diagram z kilkoma słupkami przy każdej kategorii - jak go czytać?

Gdy przy jednej kategorii stoi kilka słupków w różnych kolorach, legenda mówi, co oznacza każdy kolor (np. medale złote, srebrne i brązowe). Słupki stojące obok siebie porównujemy w tej samej kategorii, a słupki tego samego koloru - w kolejnych kategoriach, np. latach. Żeby obliczyć sumę, dodajemy wartości wszystkich potrzebnych słupków.

26.Jak odczytać rozkład jazdy?

W rozkładzie jazdy przy każdej godzinie wypisane są minuty odjazdów: zapis „7: 05 25 45” oznacza odjazdy o 7:05, 7:25 i 7:45. Często osobno podaje się kursy w dni powszednie i w dni świąteczne, a kolor albo znak oznacza numer linii. Czas czekania to czas od przyjścia na przystanek do najbliższego odjazdu.

27.Jak obliczyć, ile czasu minęło, np. od 8:47 do 11:20?

Liczymy etapami, przez pełne godziny, jak na rysunku: od 8:47 do 9:00 mija 13 minut, od 9:00 do 11:00 - 2 godziny, a od 11:00 do 11:20 - 20 minut. Razem: 2 godziny 33 minuty. Sprawdzenie: 8:47 i jeszcze 2 godziny 33 minuty to 11:20.

28.Jak obliczyć czas, gdy podróż kończy się następnego dnia?

Liczymy czas do północy (24:00), a potem dodajemy czas od północy do końca podróży. Przykład: od 21:30 do 6:15 następnego dnia - do północy mijają 2 godziny 30 minut, a od północy do 6:15 - 6 godzin 15 minut. Razem: 8 godzin 45 minut.

29.Jak ustalić dzień tygodnia, gdy wiemy, jakim dniem był inny dzień?

Ten sam dzień tygodnia powtarza się co 7 dni. Liczymy, ile dni dzieli obie daty, i dzielimy tę liczbę przez 7: reszta mówi, o ile dni tygodnia się przesuwamy. Przykład: 4 marca był wtorek. 25 marca jest 21 dni później, $21 : 7 = 3$ - to też wtorek. 30 marca jest 26 dni później, $26 : 7 = 3 \text{ r } 5$, więc o 5 dni dalej niż wtorek: niedziela.

30.Kalendarz wieloletni - jak odczytać dzień tygodnia dowolnej daty?

W tabeli lat znajdujemy wiersz z danym rokiem i odczytujemy w nim liczbę wskaźnikową dla danego miesiąca. Do numeru dnia miesiąca dodajemy liczbę wskaźnikową. Otrzymaną liczbę odszukujemy w tabeli dni - wskazuje ona dzień tygodnia. Na przykład dla 12. dnia miesiąca o liczbie wskaźnikowej 3 szukamy w tabeli dni liczby 15.

31.Jak obliczyć wymiar, który jest częścią innego wymiaru (np. szerokość flagi)?

Gdy szerokość stanowi pewną część długości, obliczamy ułamek długości: dzielimy ją przez mianownik i mnożymy przez licznik. Przykład: szerokość flagi Polski stanowi $\frac{5}{8}$ jej długości. Flaga o długości 40 cm ma więc szerokość $40 : 8 \cdot 5 = 25$ cm.

32.Jak przeliczyć wartość podaną na godzinę na krótszy czas?

Pamiętamy, że 1 godzina to 60 minut, kwadrans to 15 minut, czyli $\frac{1}{4}$ godziny, a 20 minut to $\frac{1}{3}$ godziny. Wartość na godzinę dzielimy przez 60 i mnożymy przez liczbę minut. Przykład: czynność, przy której spala się 240 kilokalorii na godzinę, w ciągu 20 minut spala $240 : 3 = 80$ kilokalorii.

33.Wykres - jak odczytać z niego wartość?

Wykres ma dwie osie: poziomą (np. czas, godzina, dzień) i pionową (np. temperatura, odległość). Żeby odczytać wartość, znajdujemy liczbę na osi poziomej, idziemy pionowo do linii wykresu, a potem poziomo do osi pionowej. Gdy znamy wartość, zaczynamy od osi pionowej i sprawdzamy, nad jaką liczbą osi poziomej leży punkt.

34.Jak sporządzić wykres na podstawie tabeli?

Najpierw rysujemy dwie osie - poziomą i pionową - z podziałką, np. kolejne dni na osi poziomej i temperaturę na pionowej. Potem dla każdej kolumny tabeli zaznaczamy punkt, np. dzień 2 i temperatura 3 stopnie. Na końcu łączymy zaznaczone punkty linią łamaną, żeby łatwiej było odczytać zmiany.

35.Wykres rośnie, maleje, jest stały - jak to rozpoznać?

Gdy linia wykresu idzie w górę, wielkość rośnie; gdy w dół - maleje; gdy biegnie poziomo - jest stała. Najwyższy punkt to wartość największa, a najniższy - najmniejsza. Na rysunku punkty A-E to temperatura w dniach 1-5 (w stopniach): od dnia 1 do 3 rosła od $-2$ do 4, w dniach 3 i 4 była stała, a od dnia 4 do 5 malała do 0.

36.Jak obliczyć, o ile wzrosła temperatura, np. z $-3$ stopni do 4 stopni?

Odczytujemy obie wartości i liczymy, o ile jedna jest większa od drugiej. Gdy jedna temperatura jest ujemna, liczymy na osi jak na rysunku: od $-3$ do 0 są 3 stopnie, a od 0 do 4 - 4 stopnie, razem $3 + 4 = 7$. Temperatura wzrosła o 7 stopni, a nie o 1 stopień.

37.Podziałka wykresu - ile wynosi jedna kratka?

Zanim odczytamy wartość, sprawdzamy, co oznacza jedna kratka: różnicę dwóch sąsiednich opisów na osi dzielimy przez liczbę kratek między nimi. Na przykład opisy 0, 20, 40 z dwiema kratkami między sąsiednimi opisami oznaczają 10 na kratkę. Gdy punkt leży między liniami siatki, odczytujemy wartość w przybliżeniu i piszemy „około”.

38.Jak odczytać z wykresu, ile razy wystąpiła dana wartość?

Prowadzimy w myślach poziomą linię na wysokości tej wartości i liczymy, w ilu miejscach przecina ona wykres. Gdy pytamy, ile razy temperatura była ujemna, liczymy zaznaczone punkty leżące poniżej zera; punkt na wysokości 0 nie jest ujemny.

39.Dwa wykresy na jednym rysunku - co z nich odczytać?

Kolory linii objaśnia legenda (np. czerwona - jedno miasto, niebieska - drugie). Tam, gdzie jedna linia leży wyżej, ta wielkość jest większa. Punkt przecięcia linii oznacza, że w tej chwili obie wartości były równe: chwilę odczytujemy z osi poziomej, a wartość - z osi pionowej.

40.Wykres odległości od startu - jak go czytać?

Na osi poziomej jest czas, a na pionowej - odległość od linii startu. Gdy linia rośnie, zawodnik się oddala; najwyższy punkt to nawrót, czyli miejsce najdalej od startu (np. koniec basenu); gdy linia maleje, zawodnik wraca. Odcinek poziomy oznacza, że odległość się nie zmienia. Cały dystans to droga tam i z powrotem.