Czworokąty, wielokąty i kąty - Matematyka z plusem 6

1.Wielokąt i jego elementy

Wielokąt ma boki, wierzchołki i kąty - zawsze tyle samo wierzchołków i kątów, ile boków. Nazwa mówi, ile ma kątów: trójkąt, czworokąt, pięciokąt, sześciokąt. Wielokąt tworzą wszystkie punkty, które leżą na jego bokach, i wszystkie, które leżą w jego wnętrzu.

2.Przekątna wielokąta

Przekątna to odcinek, który łączy dwa wierzchołki wielokąta i nie jest jego bokiem. Z jednego wierzchołka nie prowadzimy przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiednich wierzchołków, np. z wierzchołka sześciokąta wychodzą $6 - 3 = 3$ przekątne. Trójkąt nie ma przekątnych.

3.Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Przed dodawaniem wyrażamy boki w tej samej jednostce. Np. pięciokąt o bokach 2 cm, 3 cm, 3 cm, 4 cm i 5 cm ma obwód $2 + 3 + 3 + 4 + 5 = 17$, czyli 17 cm.

4.Prostokąt i jego przekątne

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. Boki leżące naprzeciw siebie mają równe długości. Przekątne prostokąta mają równe długości i przecinają się w połowie.

5.Kwadrat i jego przekątne

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Przekątne kwadratu mają równe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe.

6.Równoległobok i jego przekątne

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Boki leżące naprzeciw siebie mają równe długości. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie, ale zwykle nie są równe ani prostopadłe.

7.Romb i jego przekątne

Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości. Każdy romb jest równoległobokiem. Przekątne rombu przecinają się w połowie i są prostopadłe - na rysunku widać kąt prosty w punkcie ich przecięcia.

8.Jak po przekątnych rozpoznać czworokąt?

Gdy dwa odcinki przecinają się w połowie, ich końce są wierzchołkami równoległoboku. Gdy odcinki są też prostopadłe - wierzchołkami rombu. Gdy są równej długości - prostokąta. Gdy są równej długości i przecinają się pod kątem prostym - kwadratu.

9.Jakie są zależności między czworokątami?

Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem. Każdy prostokąt i każdy romb jest równoległobokiem. Każdy równoległobok jest trapezem, bo ma co najmniej jedną parę boków równoległych. W drugą stronę to nie działa: nie każdy prostokąt jest kwadratem.

10.Trapez, trapez prostokątny i trapez równoramienny

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy trapezu, a dwa pozostałe boki - ramiona. Trapez, w którym jedno z ramion jest prostopadłe do podstaw, nazywamy prostokątnym. Gdy ramiona trapezu są równej długości, trapez nazywamy równoramiennym.

11.Jak obliczyć obwód prostokąta, równoległoboku, kwadratu i rombu?

Prostokąt i równoległobok o bokach $a$ i $b$ mają obwód $2 \cdot a + 2 \cdot b$, np. przy bokach 7 cm i 4 cm: $2 \cdot 7 + 2 \cdot 4 = 22$, czyli 22 cm. Kwadrat i romb o boku $a$ mają obwód $4 \cdot a$. Gdy znamy obwód kwadratu albo rombu, bok obliczamy, dzieląc obwód przez 4.

12.Jak obliczyć dłuższą podstawę trapezu równoramiennego?

Wysokości poprowadzone z końców krótszej podstawy odcinają na dłuższej podstawie dwa jednakowe odcinki. Dłuższa podstawa to krótsza podstawa i dwa takie odcinki: przy krótszej podstawie 6 cm i odcinkach po 2 cm dłuższa ma $6 + 2 \cdot 2 = 10$, czyli 10 cm. Jeden odcinek to różnica podstaw podzielona przez 2.

13.Jak skonstruować sześciokąt foremny?

Sześciokąt foremny ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty jednakowej miary. Rysujemy okrąg o promieniu równym bokowi sześciokąta. Od dowolnego punktu okręgu odkładamy cyrklem ten promień 6 razy, a potem łączymy kolejne punkty. Każdy bok jest równy promieniowi okręgu.

14.Jak skonstruować równoległobok i kopię wielokąta?

Przekątna dzieli równoległobok na dwa jednakowe trójkąty. Dlatego równoległobok o bokach $a$ i $b$ budujemy z trójkąta o bokach $a$ i $b$, dorysowując do jego trzeciego boku identyczny, odwrócony trójkąt. Kopię wielokąta robimy podobnie: dzielimy go przekątnymi na trójkąty i każdy trójkąt odtwarzamy cyrklem z trzech boków.

15.Kąt: wierzchołek, ramiona i oznaczenia

Dwie półproste o wspólnym początku wyznaczają dwa kąty; łukiem zaznaczamy, o który chodzi. Wspólny początek to wierzchołek kąta, a półproste to jego ramiona. Kąty oznaczamy literami greckimi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ albo trzema dużymi literami: środkowa to wierzchołek, a pierwsza i trzecia to punkty na ramionach, np. $\sphericalangle ABC$ (lub $\sphericalangle CBA$) ma wierzchołek B.

16.Jak zmierzyć kąt kątomierzem?

Środek kątomierza przykładamy do wierzchołka kąta, a linię zera - do jednego ramienia. Drugie ramię wskazuje miarę kąta na tej skali, która przy pierwszym ramieniu zaczyna się od 0. Sprawdzamy wynik okiem: kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, więc odczyt 140 zamiast 40 oznacza pomyloną skalę.

17.Rodzaje kątów

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, kąt prosty ma $90^\circ$, a kąt rozwarty - więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$, kąt wklęsły - więcej niż $180^\circ$ i mniej niż $360^\circ$, a kąt pełny ma $360^\circ$.

18.Jak narysować kąt wklęsły, np. $250^\circ$?

Kąt wklęsły i kąt wypukły o tych samych ramionach mają razem $360^\circ$. Aby narysować kąt $250^\circ$, rysujemy kąt $360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$ i zaznaczamy łukiem drugi kąt, który tworzą te same ramiona. Można też narysować kąt półpełny i dołożyć do niego $250^\circ - 180^\circ = 70^\circ$.

19.Jak nazywamy kąty $\alpha$ i $\beta$ na rysunku?

To kąty przyległe. Mają wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona tworzą prostą, więc razem dają kąt półpełny. Suma ich miar wynosi $180^\circ$: gdy $\alpha = 65^\circ$, to $\beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

20.Kąty wierzchołkowe

Kąty wierzchołkowe mają ramiona na dwóch przecinających się prostych i leżą naprzeciw siebie. Mają jednakowe miary. Na rysunku są dwie pary kątów wierzchołkowych: po $50^\circ$ i po $130^\circ$. Kąty sąsiednie są przyległe: $50^\circ + 130^\circ = 180^\circ$.

21.Jak nazywamy zaznaczone kąty $\alpha$ przy prostych równoległych $a$ i $b$?

To kąty odpowiadające. Powstają, gdy prosta przecina dwie proste równoległe, i leżą w tym samym położeniu przy obu punktach przecięcia, np. oba nad prostą i po prawej stronie prostej przecinającej. Kąty odpowiadające mają jednakowe miary.

22.Kąty naprzemianległe

Kąty naprzemianległe powstają, gdy prosta przecina dwie proste równoległe. Leżą między prostymi równoległymi, po przeciwnych stronach prostej, która je przecina. Mają jednakowe miary - na rysunku oba mają $70^\circ$.

23.Jak obliczać kąty przy dwóch prostych równoległych przeciętych prostą?

Przy obu punktach przecięcia powstaje razem 8 kątów, ale mają one tylko dwie miary: $\alpha$ i $180^\circ - \alpha$. Kąty równe znajdujemy dzięki kątom wierzchołkowym, odpowiadającym i naprzemianległym, a pozostałe - z kątów przyległych. Np. przy $\alpha = 40^\circ$ każdy z 8 kątów ma $40^\circ$ albo $140^\circ$.

24.Jak obliczyć kąty przyległe, gdy jeden jest kilka razy większy od drugiego?

Kąty przyległe mają razem $180^\circ$. Gdy większy jest 3 razy większy od mniejszego, razem tworzą 4 równe części: mniejszy ma $180^\circ : 4 = 45^\circ$, a większy $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. Gdy kąty przyległe są równe, każdy ma $90^\circ$.

25.Kąty wokół jednego punktu

Kąty, które razem wypełniają cały obrót wokół punktu, mają razem $360^\circ$, czyli kąt pełny. Kąty leżące po jednej stronie prostej mają razem $180^\circ$. Np. gdy dwa z trzech kątów wokół punktu mają $90^\circ$ i $160^\circ$, trzeci ma $360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$.

26.Kąty między wskazówkami zegara

Tarcza zegara to kąt pełny $360^\circ$ podzielony na 12 części, więc między sąsiednimi liczbami jest $30^\circ$. Wskazówka godzinowa obraca się o $30^\circ$ w ciągu godziny, a minutowa o $6^\circ$ w ciągu minuty ($360^\circ : 60$). O godzinie drugiej wskazówki tworzą kąt $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

27.Jak określić kierunek po obrocie?

Kierunki główne - północ, wschód, południe, zachód - leżą co $90^\circ$; tak po kolei mijamy je, obracając się w prawo. Kierunek pośredni, np. północno-wschodni, leży w połowie, czyli $45^\circ$ od sąsiednich kierunków głównych. Kto idzie na północ i obróci się w prawo o $135^\circ$, idzie na południowy wschód.

28.Suma kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta wynosi $180^\circ$. Gdy znamy dwa kąty, trzeci obliczamy, odejmując ich sumę od $180^\circ$. Na rysunku: $\gamma = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ$.

29.Ile kątów ostrych ma trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny?

Trójkąt ostrokątny ma 3 kąty ostre. Trójkąt prostokątny ma 1 kąt prosty i 2 kąty ostre, a rozwartokątny - 1 kąt rozwarty i 2 kąty ostre. Każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre, bo dwa kąty proste albo rozwarte dałyby już co najmniej $180^\circ$.

30.Kąty ostre trójkąta prostokątnego

Kąt prosty ma $90^\circ$, więc dwa kąty ostre trójkąta prostokątnego mają razem $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Gdy jeden ma $35^\circ$, drugi ma $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Gdy jeden jest o $30^\circ$ większy od drugiego, mniejszy ma $(90^\circ - 30^\circ) : 2 = 30^\circ$, a większy $60^\circ$.

31.Kąty trójkąta równoramiennego

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakowe miary. Gdy znamy kąt przy podstawie, kąt między ramionami to np. $180^\circ - 2 \cdot 70^\circ = 40^\circ$ (jak na rysunku). Gdy znamy kąt między ramionami, np. $80^\circ$, każdy kąt przy podstawie to $(180^\circ - 80^\circ) : 2 = 50^\circ$.

32.Kąty trójkąta równobocznego i trójkąta prostokątnego równoramiennego

W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60^\circ$, bo $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąt prosty między ramionami i dwa kąty po $45^\circ$ przy podstawie, bo $90^\circ : 2 = 45^\circ$.

33.Znamy jeden kąt trójkąta równoramiennego - jakie są pozostałe?

Gdy nie wiadomo, gdzie leży dany kąt ostry, rozpatrujemy dwa przypadki. Dla kąta $70^\circ$: gdy leży przy podstawie, kąty mają $70^\circ$, $70^\circ$ i $40^\circ$; gdy leży między ramionami, mają $70^\circ$, $55^\circ$ i $55^\circ$. Kąt prosty albo rozwarty może leżeć tylko między ramionami.

34.Jak obliczyć kąt trójkąta, gdy znamy kąt do niego przyległy?

Kąt między bokiem trójkąta a przedłużeniem drugiego boku jest przyległy do kąta trójkąta, więc razem mają $180^\circ$. Np. gdy taki kąt przy wierzchołku C ma $115^\circ$, kąt trójkąta przy C ma $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Trzeci kąt liczymy potem z sumy kątów trójkąta.

35.Suma kątów czworokąta

W każdym czworokącie suma miar kątów wynosi $360^\circ$. Wynika to z podziału czworokąta przekątną na dwa trójkąty: $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$. Np. gdy trzy kąty mają $90^\circ$, $80^\circ$ i $100^\circ$, czwarty ma $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.

36.Kąty równoległoboku

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary, a suma miar kątów leżących przy tym samym boku wynosi $180^\circ$. Gdy jeden kąt ma $70^\circ$, to kolejne mają $110^\circ$, $70^\circ$ i $110^\circ$, bo $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

37.Kąty trapezu

W trapezie suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi $180^\circ$, bo ramię przecina dwie podstawy równoległe. Na rysunku: $55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$ oraz $70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Kąty przy tej samej podstawie mogą mieć różne miary.

38.Kąty trapezu równoramiennego

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy tej samej podstawie mają równe miary. Gdy kąt przy dłuższej podstawie ma $65^\circ$, oba kąty przy niej mają po $65^\circ$, a oba kąty przy krótszej podstawie po $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

39.Suma kątów wielokąta

Przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą wielokąt o $n$ bokach na $n - 2$ trójkąty, więc suma jego kątów to $(n - 2) \cdot 180^\circ$. Sześciokąt dzielimy tak na 4 trójkąty: $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Czworokąt ma $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$, a pięciokąt $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

40.Wielokąt foremny i jego kąt

Wielokąt foremny ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty takiej samej miary, np. trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny. Jeden kąt obliczamy, dzieląc sumę kątów przez liczbę kątów. Ośmiokąt foremny: suma $6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$, jeden kąt $1080^\circ : 8 = 135^\circ$.