Mnożenie, dzielenie, liczby ujemne i oś liczbowa - Matematyka z plusem 7

1.Jak mnożyć ułamki zwykłe?

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Jeśli to możliwe, przed mnożeniem skracamy (także na krzyż): $\frac{4}{15} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ (4 i 8 skracamy przez 4, a 5 i 15 przez 5). Liczbę naturalną mnożymy tylko przez licznik: $\frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

2.Jak mnożyć liczby mieszane?

Gdy któryś z czynników jest liczbą mieszaną, zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy i dopiero mnożymy: $2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{12} = 3$. Nie mnożymy osobno całości i osobno ułamków - to daje zły wynik ($2 \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = 2\frac{1}{12}$, a nie 3).

3.Jak dzielić ułamki zwykłe?

Obliczając iloraz, dzielną mnożymy przez odwrotność dzielnika: $\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = 1\frac{1}{4}$ (rysunek). Gdy dzielna lub dzielnik jest liczbą mieszaną, zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy: $3\frac{1}{3} : 5 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{3}$.

4.Jak obliczyć ułamek z liczby?

Aby obliczyć ułamek z liczby, wystarczy pomnożyć ułamek przez tę liczbę: $\frac{3}{4}$ z 20 kg to $\frac{3}{4} \cdot 20 = 15$ kg, a $1\frac{1}{2}$ z 40 min to $\frac{3}{2} \cdot 40 = 60$ min. Ułamek większy od 1 daje wynik większy od tej liczby.

5.Ułamek piętrowy

Ułamek piętrowy ma w liczniku lub w mianowniku ułamek. Główna kreska ułamkowa oznacza dzielenie licznika przez mianownik: $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{8}} = \frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3}$, a $\frac{\frac{2}{5}}{4} = \frac{2}{5} : 4 = \frac{1}{10}$.

6.Jak mnożyć i dzielić przez 10, 100, 1000?

Mnożąc przez 10, 100, 1000 itd., przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile jest zer: $2{,}37 \cdot 100 = 237$, $0{,}6 \cdot 1000 = 600$. Dzieląc, przesuwamy przecinek w lewo: $46{,}5 : 1000 = 0{,}0465$. Brakujące miejsca uzupełniamy zerami.

7.Jak mnożyć i dzielić przez 0,1, 0,01, 0,001?

Mnożenie przez $0{,}1$ to to samo co mnożenie przez $\frac{1}{10}$, czyli dzielenie przez 10: przecinek w lewo. Dzielenie przez $0{,}1$ to mnożenie przez 10: przecinek w prawo. Tak samo z $0{,}01$ (2 miejsca) i $0{,}001$ (3 miejsca): $5{,}4 \cdot 0{,}01 = 0{,}054$, $0{,}38 : 0{,}1 = 3{,}8$, $0{,}7 : 0{,}001 = 700$.

8.Jak mnożyć ułamki dziesiętne?

Mnożymy jak liczby naturalne, bez przecinków, a potem w wyniku oddzielamy przecinkiem tyle miejsc, ile było ich razem po przecinku w obu czynnikach: $0{,}3 \cdot 0{,}12 = 0{,}036$ (bo $3 \cdot 12 = 36$ i 3 miejsca), $0{,}05 \cdot 0{,}4 = 0{,}020 = 0{,}02$. Pisemnie: $2{,}6 \cdot 1{,}35 = 3{,}51$ (rysunek).

9.Jak dzielić ułamki dziesiętne?

Przed dzieleniem przesuwamy przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc w prawo, aby dzielnik był liczbą całkowitą. Iloraz się wtedy nie zmienia: $4{,}2 : 0{,}6 = 42 : 6 = 7$, $0{,}048 : 0{,}12 = 4{,}8 : 12 = 0{,}4$, $25{,}2 : 0{,}36 = 2520 : 36 = 70$ (rysunek). Przy dzieleniu pisemnym przecinek w wyniku stawiamy nad przecinkiem dzielnej.

10.Jak zamieniać jednostki długości i masy?

Większą jednostkę zamieniamy na mniejszą, mnożąc przez liczbę mniejszych jednostek w większej: $0{,}4~\mathrm{km} = 0{,}4 \cdot 1000~\mathrm{m} = 400~\mathrm{m}$, $2{,}4~\mathrm{kg} = 2{,}4 \cdot 100~\mathrm{dag} = 240~\mathrm{dag}$. Mniejszą na większą mnożymy przez ułamek: $3{,}8~\mathrm{cm} = 3{,}8 \cdot \frac{1}{100}~\mathrm{m} = 0{,}038~\mathrm{m}$, $35~\mathrm{g} = 35 \cdot \frac{1}{10}~\mathrm{dag} = 3{,}5~\mathrm{dag}$.

11.Przedrostek mili- i mikron

Mili- oznacza tysięczną część: $1~\mathrm{mm} = 0{,}001~\mathrm{m}$, $1~\mathrm{mg} = 0{,}001~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{ml} = 0{,}001~\mathrm{l}$. Dlatego $3{,}2~\mathrm{m} = 3200~\mathrm{mm}$, a $450~\mathrm{mg} = 0{,}45~\mathrm{g}$. Mikron to milionowa część metra: 1 mikron $= 0{,}000001~\mathrm{m} = 0{,}001~\mathrm{mm}$.

12.Jak obliczyć, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej?

Dzielimy większą liczbę przez mniejszą. Gdy obie są ułamkami dziesiętnymi, przesuwamy przecinek w obu, aby dzielnik był liczbą całkowitą: ziarnko o średnicy $0{,}8~\mathrm{mm}$ jest $0{,}8 : 0{,}002 = 800 : 2 = 400$ razy większe od drobinki o średnicy $0{,}002~\mathrm{mm}$.

13.Jak obliczyć cenę innej liczby sztuk bez liczenia ceny jednej sztuki?

Szukamy liczby sztuk, która mieści się w obu ilościach. Przykład: 12 zeszytów kosztuje $30{,}60$ zł, a pytamy o 8 zeszytów. 4 zeszyty kosztują 3 razy mniej: $30{,}60 : 3 = 10{,}20$ zł, więc 8 zeszytów kosztuje $2 \cdot 10{,}20 = 20{,}40$ zł.

14.Jak mnożyć i dzielić ułamki zwykłe przez dziesiętne?

Zapisujemy obie liczby w tej samej postaci. Często wygodniej zamienić ułamek dziesiętny na zwykły: $0{,}25 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$, $1{,}5 : \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$. Gdy ułamek zwykły ma rozwinięcie skończone, można też liczyć na dziesiętnych: $\frac{1}{5} \cdot 3{,}5 = 0{,}2 \cdot 3{,}5 = 0{,}7$.

15.Kolejność wykonywania działań

Najpierw obliczamy działania w nawiasach (zaczynając od nawiasów, które nie zawierają innych nawiasów), potem potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Gdy nie ma nawiasów, mnożenie i dzielenie oraz dodawanie i odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej: $2 + 3 \cdot 2^2 = 2 + 3 \cdot 4 = 14$.

16.Mnożenie i dzielenie bez nawiasów - od lewej do prawej

Mnożenie i dzielenie mają równe pierwszeństwo, więc gdy nie ma nawiasów, wykonujemy je po kolei od lewej do prawej: $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$, a nie $24 : 8 = 3$. Potęgowanie wykonujemy wcześniej: $20 : 2^2 \cdot 5 = 20 : 4 \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25$.

17.Wyrażenia z nawiasami w nawiasach

Zaczynamy od działań w tych nawiasach, które nie zawierają innych nawiasów, i idziemy na zewnątrz: $2 \cdot (10 - 2 \cdot (1{,}5 + 2{,}5)) = 2 \cdot (10 - 2 \cdot 4) = 2 \cdot (10 - 8) = 2 \cdot 2 = 4$. W każdym nawiasie obowiązuje zwykła kolejność działań.

18.Kreska ułamkowa w wyrażeniu

Kreska ułamkowa działa jak nawias: najpierw obliczamy osobno licznik i mianownik, a potem dzielimy licznik przez mianownik: $\frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$, $\frac{3 \cdot (9 - 5)}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

19.Jak zapisać wyrażenie arytmetyczne z opisu słownego?

Nazwa wyniku mówi, które działanie jest ostatnie. „Do 2 dodaj iloczyn liczb $0{,}4$ i 5": $2 + 0{,}4 \cdot 5 = 4$. „Od ilorazu 3 przez $\frac{3}{4}$ odejmij 1": $3 : \frac{3}{4} - 1 = 4 - 1 = 3$. Kwadrat sumy to $(2 + 3)^2 = 25$, a suma kwadratów to $2^2 + 3^2 = 13$.

20.Jak rozwiązać zadanie tekstowe jednym wyrażeniem?

Zapisujemy całe rozwiązanie jako wyrażenie z nawiasami tam, gdzie trzeba, i liczymy w dobrej kolejności. Kupiono 3 zeszyty po $4{,}20$ zł i zapłacono banknotem 20 zł. Reszta: $20 - 3 \cdot 4{,}20 = 20 - 12{,}60 = 7{,}40$ zł. Na końcu sprawdzamy, czy wynik ma sens.

21.Dodawanie liczb o tych samych znakach

Dodajemy liczby bez znaków, a wynikowi dajemy ich wspólny znak. Suma liczb ujemnych jest ujemna: $-6 + (-9) = -15$, $-1{,}2 + (-0{,}5) = -1{,}7$, $-\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$.

22.Dodawanie liczb o różnych znakach

Od liczby dalszej od zera (bez znaku) odejmujemy liczbę bliższą zera, a wynik ma znak liczby dalszej od zera: $-11 + 4 = -7$, $8 + (-3{,}5) = 4{,}5$, $-\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$. Suma liczby i liczby do niej przeciwnej jest równa 0: $-2{,}7 + 2{,}7 = 0$.

23.Odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych

Każde odejmowanie liczby można zastąpić dodawaniem liczby do niej przeciwnej: $a - b = a + (-b)$. Przykłady: $5 - 9 = 5 + (-9) = -4$, $-4 - (-10) = -4 + 10 = 6$ (rysunek), $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$, $-2 - 6 = -2 + (-6) = -8$.

24.Jak sprytnie liczyć sumy wielu liczb?

Najpierw zamieniamy odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej. Składniki sumy można przestawiać i łączyć w wygodne grupy, zwłaszcza liczby przeciwne, które dają 0: $-\frac{2}{5} + 1{,}3 + \frac{2}{5} - 0{,}3 = (-\frac{2}{5} + \frac{2}{5}) + (1{,}3 - 0{,}3) = 0 + 1 = 1$. Przestawiając, przenosimy liczbę razem z jej znakiem.

25.Znak iloczynu i ilorazu dwóch liczb

Iloczyn (iloraz) dwóch liczb o tych samych znakach jest liczbą dodatnią. Iloczyn (iloraz) dwóch liczb o znakach przeciwnych jest liczbą ujemną. Przykłady: $(-6) \cdot (-4) = 24$, $(-6) \cdot 4 = -24$, $(-18) : (-3) = 6$, $18 : (-3) = -6$.

26.Znak iloczynu wielu czynników

Liczymy czynniki ujemne. Gdy jest ich parzyście wiele, iloczyn jest dodatni, a gdy nieparzyście wiele - ujemny: $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$ (3 czynniki ujemne), $(-2) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-5) = 10$ (4 czynniki ujemne). Gdy któryś czynnik jest równy 0, iloczyn wynosi 0.

27.Potęgi liczb ujemnych

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o wykładniku nieparzystym - ujemna: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, $(-3)^3 = -27$, $(-0{,}1)^2 = 0{,}01$. Uwaga na nawias: $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$, bo bez nawiasu potęgujemy tylko 3.

28.Wyrażenia z liczbami dodatnimi i ujemnymi

Obowiązuje ta sama kolejność działań co dla liczb dodatnich, a znaki ustalamy według reguł dla każdego działania osobno: $\frac{8 - (-2) \cdot 3}{-7} = \frac{8 - (-6)}{-7} = \frac{8 + 6}{-7} = \frac{14}{-7} = -2$. Najpierw mnożenie, potem odejmowanie, na końcu dzielenie przez mianownik.

29.Działania na liczbie i liczbie przeciwnej albo odwrotności

Suma liczby i liczby do niej przeciwnej jest równa 0: $4{,}5 + (-4{,}5) = 0$. Iloraz liczby różnej od 0 przez liczbę do niej przeciwną jest równy $-1$: $5 : (-5) = -1$. Iloczyn liczby różnej od 0 i jej odwrotności jest równy 1: $-\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = 1$.

30.Liczby dodatnie, ujemne, nieujemne i niedodatnie

Liczby dodatnie spełniają nierówność $x > 0$, a ujemne $x < 0$. Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Liczby nieujemne to liczby dodatnie i zero ($x \ge 0$), a liczby niedodatnie to liczby ujemne i zero ($x \le 0$).

31.Jak zaznaczyć na osi liczby większe od danej liczby?

Liczby większe od $1{,}5$ spełniają nierówność $x > 1{,}5$. Na osi rysujemy w punkcie $1{,}5$ puste (niezamalowane) kółko, bo sama liczba $1{,}5$ nie spełnia warunku, i zaznaczamy pas od niego w prawo. Dla $x \ge 1{,}5$ (większe lub równe) kółko byłoby zamalowane.

32.Jak zaznaczyć na osi liczby mniejsze od danej liczby lub jej równe?

Liczby mniejsze od $-1$ lub równe $-1$ spełniają nierówność $x \le -1$. Na osi rysujemy w punkcie $-1$ zamalowaną kropkę, bo $-1$ spełnia warunek, i zaznaczamy pas od niej w lewo. Dla $x < -1$ kółko byłoby puste.

33.Jak zapisać nierównością „nie mniejsza od" i „nie większa od"?

„Liczba nie mniejsza od $-4$" to liczba większa od $-4$ lub równa $-4$: $x \ge -4$. „Liczba nie większa od $2{,}5$" to liczba mniejsza od $2{,}5$ lub równa $2{,}5$: $x \le 2{,}5$. Znaki $\ge$ i $\le$ czytamy: „większe lub równe", „mniejsze lub równe".

34.Odcinek jednostkowy i odległość na osi

Na osi liczbowej odcinek łączący liczby 0 i 1 ma długość 1 - nazywamy go odcinkiem jednostkowym. Odległość między dwiema liczbami to liczba odcinków jednostkowych, które się między nimi mieszczą: między 2 i 6 mieszczą się 4 odcinki jednostkowe, a między $-5$ i $-3{,}5$ - półtora, więc odległość wynosi $1{,}5$. Odległość nigdy nie jest ujemna.

35.Jak obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej?

Aby obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej, od większej z tych liczb odejmujemy liczbę mniejszą. Odległość między $-7{,}2$ i $-2{,}5$: większa jest $-2{,}5$, więc $-2{,}5 - (-7{,}2) = -2{,}5 + 7{,}2 = 4{,}7$ (rysunek). Między $-3$ i 8: $8 - (-3) = 11$.

36.Liczby w danej odległości od danej liczby

W odległości $d$ od liczby $a$ leżą dwie liczby: $a - d$ (na lewo) i $a + d$ (na prawo). W odległości 6 od $-2$ leżą $-2 - 6 = -8$ i $-2 + 6 = 4$ (rysunek). Liczba leżąca w tej samej odległości od dwóch liczb jest w połowie drogi między nimi: między $-3$ i 9 odległość to 12, więc szukana liczba to $-3 + 6 = 3$.

37.Jak odczytać współrzędną punktu, gdy działka nie jest równa 1?

Obliczamy odległość między dwiema opisanymi liczbami i dzielimy ją przez liczbę równych części - to długość działki. Od $-2{,}4$ do $1{,}6$ jest 4, a odcinek podzielono na 5 części, więc działka to $4 : 5 = 0{,}8$. Punkt A na drugiej kresce na prawo od $-2{,}4$ ma współrzędną $-2{,}4 + 2 \cdot 0{,}8 = -0{,}8$.

38.Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby $a$ oznaczamy $|a|$. Wartością bezwzględną liczby dodatniej i liczby 0 jest ta sama liczba, a liczby ujemnej - liczba do niej przeciwna: $|7| = 7$, $|0| = 0$, $|-3{,}2| = 3{,}2$. Liczby przeciwne mają więc taką samą wartość bezwzględną: $|-2\frac{1}{3}| = |2\frac{1}{3}| = 2\frac{1}{3}$.

39.Czy wynik działania zawsze jest liczbą tego samego rodzaju?

Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych są zawsze liczbami całkowitymi, ale iloraz - nie zawsze ($1 : 4 = \frac{1}{4}$). Różnica dwóch liczb naturalnych nie zawsze jest naturalna ($3 - 5 = -2$). Suma, różnica, iloczyn i iloraz (przez liczbę różną od 0) dwóch liczb wymiernych są zawsze liczbami wymiernymi.

40.Mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią mniejszą od 1

Mnożenie przez liczbę dodatnią mniejszą od 1 zmniejsza liczbę dodatnią: $40 \cdot 0{,}3 = 12$. Dzielenie przez taką liczbę ją zwiększa: $40 : 0{,}5 = 80$. Dlatego iloraz dwóch liczb dodatnich mniejszych od 1 może być bardzo duży: $0{,}5 : 0{,}001 = 500$.