Liczby wymierne, rozwinięcia dziesiętne, zaokrąglanie - Matematyka z plusem 7

1.Liczby naturalne i liczby całkowite

Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3, 4, ... Liczby całkowite to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne: ..., $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3, ... Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą, ale nie odwrotnie: $-4$ jest liczbą całkowitą, a nie jest naturalną.

2.Liczby wymierne

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać w postaci ułamka $\frac{l}{m}$, gdzie $l$, $m$ są liczbami całkowitymi i $m \neq 0$. Wymierne są wszystkie liczby całkowite oraz wszystkie ułamki zwykłe i dziesiętne, np. $-6 = \frac{-6}{1}$, $0 = \frac{0}{5}$, $-1{,}3 = \frac{-13}{10}$. Rysunek pokazuje, z czego składają się liczby wymierne.

3.Rozszerzanie i skracanie ułamka

Rozszerzanie: mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Skracanie: dzielimy licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik. Wartość ułamka się nie zmienia: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0{,}75$, $\frac{42}{56} = \frac{6 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Ułamek nieskracalny to taki, którego licznik i mianownik mają tylko wspólny dzielnik 1.

4.Jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy i odwrotnie?

Całości mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik, mianownik zostaje: $3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{19}{5}$. Odwrotnie: dzielimy licznik przez mianownik z resztą - iloraz to całości, reszta to nowy licznik: $\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$, bo $23 : 6 = 3$ r 5.

5.Jak zamienić ułamek dziesiętny na nieskracalny ułamek zwykły?

Cyfry po przecinku wpisujemy do licznika, a w mianowniku piszemy 10, 100, 1000 - z tyloma zerami, ile jest cyfr po przecinku. Potem skracamy. Część całkowita zostaje przed ułamkiem: $0{,}64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$, $2{,}375 = 2\frac{375}{1000} = 2\frac{3}{8}$.

6.Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny przez rozszerzanie?

Rozszerzamy ułamek tak, aby w mianowniku było 10, 100 albo 1000, i zapisujemy go z przecinkiem: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$, $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0{,}36$, $\frac{7}{40} = \frac{175}{1000} = 0{,}175$. Ten sposób działa, gdy mianownik da się rozszerzyć do 10, 100, 1000 itd.

7.Przydatne zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne

Warto pamiętać: $\frac{1}{2} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$, $\frac{1}{8} = 0{,}125$, $\frac{1}{20} = 0{,}05$, $\frac{1}{25} = 0{,}04$. Z nich szybko otrzymamy inne, np. $\frac{3}{5} = 3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6$, $\frac{3}{8} = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375$.

8.Jak zapisać część jednostki ułamkiem?

Liczbę mniejszych jednostek dzielimy przez to, ile takich jednostek mieści się w całej większej jednostce, i skracamy. 1 h = 60 min, więc 20 min to $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ h. 1 km = 1000 m, więc 250 m to $\frac{250}{1000} = \frac{1}{4}$ km. 1 kg = 100 dag, więc 35 dag to $\frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ kg. Ułamkiem dziesiętnym: 1 h 12 min = $1{,}2$ h, bo $\frac{12}{60} = \frac{2}{10}$; 7 zł 5 gr = $7{,}05$ zł.

9.Liczba przeciwna

Liczba przeciwna do danej liczby różni się od niej tylko znakiem: przeciwną do $\frac{2}{5}$ jest $-\frac{2}{5}$, a przeciwną do $-7$ jest 7. Liczbą przeciwną do 0 jest 0. Na osi liczbowej liczby przeciwne leżą w tej samej odległości od zera, po przeciwnych stronach - jak $-2{,}5$ i $2{,}5$ na rysunku.

10.Odwrotność liczby

Odwrotność liczby to liczba, która pomnożona przez nią daje 1. Odwracamy ułamek, a znak zostaje: odwrotnością $\frac{3}{7}$ jest $\frac{7}{3}$, a $-6$ jest $-\frac{1}{6}$. Liczbę mieszaną i ułamek dziesiętny najpierw zamieniamy na ułamek zwykły: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, więc odwrotność to $\frac{3}{7}$; $0{,}4 = \frac{2}{5}$, więc odwrotność to $\frac{5}{2}$. Liczba 0 nie ma odwrotności.

11.Jak odczytać współrzędną punktu na osi liczbowej?

Najpierw ustalamy, ile wynosi jedna działka: odległość między dwiema opisanymi liczbami dzielimy przez liczbę równych części. Potem liczymy kreski od opisanej liczby. Na rysunku odcinek od 2 do 3 podzielono na 5 części, więc działka to $\frac{1}{5} = 0{,}2$. Punkt A leży na trzeciej kresce za liczbą 2, więc ma współrzędną $2 + 3 \cdot 0{,}2 = 2{,}6$.

12.Jak porównać ułamki zwykłe?

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki: $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$, $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$, więc $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$. Gdy ułamki mają ten sam licznik, większy jest ten o mniejszym mianowniku: $\frac{3}{7} > \frac{3}{8}$. Liczby mieszane porównujemy najpierw po całościach.

13.Jak porównać ułamki dziesiętne?

Porównujemy kolejno: części całkowite, potem cyfry części dziesiątych, setnych itd. Brakujące miejsca można uzupełnić zerami: $0{,}7 = 0{,}70 > 0{,}68$, $3{,}405 < 3{,}45$. Ułamek zwykły i dziesiętny sprowadzamy do tej samej postaci: $\frac{3}{8} = 0{,}375 > 0{,}37$. Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby.

14.Jak porównać liczby ujemne?

Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera i od każdej liczby dodatniej. Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera: $-0{,}2 > -0{,}7$ (rysunek), $-0{,}4 > -0{,}45$, $-2\frac{1}{4} > -2\frac{1}{3}$, bo $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$. Na osi liczbowej większa liczba leży bardziej na prawo.

15.Ułamek jako iloraz

Każdy ułamek zwykły to iloraz licznika przez mianownik: $\frac{a}{b} = a : b$, np. $\frac{5}{8} = 5 : 8$, a $13 : 4 = \frac{13}{4}$. Dlatego ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik (pisemnie, dopisując zera po przecinku): $\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$.

16.Rozwinięcie dziesiętne skończone

Jeżeli dzieląc licznik ułamka przez mianownik, otrzymamy ułamek dziesiętny o skończonej liczbie cyfr po przecinku (dzielenie się kończy, reszta 0), to ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, np. $\frac{9}{16} = 9 : 16 = 0{,}5625$, $\frac{7}{20} = 0{,}35$.

17.Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe i okres

Jeżeli dzielenie licznika przez mianownik się nie kończy i od pewnego momentu obliczenia się powtarzają, ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Powtarzający się układ cyfr to okres. Na rysunku przy dzieleniu $1 : 6$ wciąż wraca reszta 4, więc $\frac{1}{6} = 0{,}1666...$ (okres 6). Tak samo $\frac{7}{11} = 0{,}636363...$ (okres 63).

18.Skrócony zapis rozwinięcia okresowego

Okres zapisujemy raz, w nawiasie: $0{,}8333... = 0{,}8(3)$, $2{,}454545... = 2{,}(45)$, $0{,}1272727... = 0{,}1(27)$. Cyfry przed okresem piszemy przed nawiasem. Zapisy $0{,}8(3)$ i $0{,}83(3)$ oznaczają tę samą liczbę, ale zwykle używamy najkrótszego zapisu.

19.Jakie rozwinięcia dziesiętne mają liczby wymierne?

Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe. Istnieją też liczby o rozwinięciu nieskończonym nieokresowym, np. $0{,}101001000100001...$ (między jedynkami jest coraz więcej zer, więc nie ma okresu). Takie liczby nie są wymierne.

20.Rozwinięcie dziesiętne liczby mieszanej

Część całkowita zostaje przed przecinkiem, a na ułamek dziesiętny zamieniamy tylko część ułamkową: $3\frac{2}{9} = 3 + 2 : 9 = 3{,}222... = 3{,}(2)$, $1\frac{3}{4} = 1 + 0{,}75 = 1{,}75$.

21.Na co uważać, szukając rozwinięcia na kalkulatorze?

Kalkulator pokazuje tylko kilka cyfr i zwykle zaokrągla ostatnią: dla $2 : 3$ wyświetla 0.666666667, a naprawdę $\frac{2}{3} = 0{,}(6)$. Na kalkulatorze trudno też ustalić okres, gdy jest długi albo zaczyna się daleko po przecinku, np. $\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$. Pewny wynik daje dzielenie pisemne.

22.Jak znaleźć n-tą cyfrę po przecinku w rozwinięciu okresowym?

Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, dzielimy n przez liczbę cyfr okresu. Reszta mówi, która to cyfra okresu; reszta 0 oznacza ostatnią cyfrę okresu. Na rysunku: 20. cyfra liczby $0{,}(374)$ to 7. Gdy przed okresem są inne cyfry, najpierw je odliczamy: w $0{,}5(18)$ dziewiąta cyfra to 8, bo po odliczeniu cyfry 5 zostaje 8 miejsc, a $8 : 2 = 4$ r 0.

23.Jak porównać liczby o rozwinięciach okresowych?

Rozpisujemy kilka pierwszych cyfr obu liczb i porównujemy je po kolei: $0{,}(45) = 0{,}4545... > 0{,}45$, $0{,}4(5) = 0{,}4555... > 0{,}(45) = 0{,}4545...$, $\frac{2}{3} = 0{,}666... > 0{,}66$. Liczba okresowa jest większa od swojego „uciętego" zapisu, bo ma dalsze cyfry różne od zera.

24.Kiedy ułamek ma rozwinięcie skończone, a kiedy nieskończone okresowe?

Najpierw skracamy ułamek i rozkładamy mianownik na czynniki pierwsze. Gdy jedynymi dzielnikami pierwszymi mianownika są 2 lub 5, rozwinięcie jest skończone: $\frac{7}{20}$, $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, więc $\frac{7}{20} = 0{,}35$. Gdy mianownik dzieli się przez inną liczbę pierwszą, rozwinięcie jest nieskończone okresowe: $\frac{5}{12}$, $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, więc $\frac{5}{12} = 0{,}41(6)$. Uwaga: $\frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ - po skróceniu trójka znika.

25.Rozwinięcia ułamków o mianownikach 9, 99, 999

Ułamek o mianowniku 9 ma okres jednocyfrowy równy licznikowi, o mianowniku 99 - dwucyfrowy, o mianowniku 999 - trzycyfrowy: $\frac{4}{9} = 0{,}(4)$, $\frac{23}{99} = 0{,}(23)$, $\frac{8}{99} = 0{,}(08)$, $\frac{416}{999} = 0{,}(416)$. Odwrotnie: $0{,}(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, $0{,}(35) = \frac{35}{99}$.

26.Dlaczego $0{,}(9) = 1$?

Niech $a = 0{,}(9)$. Wtedy $10a = 9{,}(9)$, więc $10a - a = 9{,}(9) - 0{,}(9) = 9$. Stąd $9a = 9$, czyli $a = 1$. Można to też zobaczyć inaczej: $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$, więc $3 \cdot \frac{1}{3} = 0{,}(9)$, a $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

27.Zaokrąglenie i znak $\approx$

Zaokrąglając, zastępujemy liczbę liczbą bliską jej, o prostszym zapisie, z ustaloną dokładnością (np. do dziesiątek, do jedności, do części setnych). Symbol $\approx$ czytamy „równa się w przybliżeniu". Wzrost podajemy z dokładnością do 1 cm: $1{,}768~\mathrm{m} \approx 1{,}77~\mathrm{m}$.

28.Reguła zaokrąglania liczb

Patrzymy na cyfrę stojącą zaraz na prawo od miejsca, do którego zaokrąglamy. Gdy jest to 0, 1, 2, 3, 4, zaokrąglamy w dół: cyfra na miejscu zaokrąglenia się nie zmienia. Gdy jest to 5, 6, 7, 8, 9, zaokrąglamy w górę: tę cyfrę zwiększamy o 1. Cyfry dalej na prawo przed przecinkiem zastępujemy zerami, a po przecinku odrzucamy.

29.Zaokrąglanie do dziesiątek, setek i tysięcy

Do dziesiątek decyduje cyfra jedności, do setek - cyfra dziesiątek, do tysięcy - cyfra setek. Przykład: $4\,372 \approx 4\,370$ (do dziesiątek), $4\,372 \approx 4\,400$ (do setek), $4\,372 \approx 4\,000$ (do tysięcy). Przy zaokrąglaniu w górę może się zmienić kilka cyfr: $68\,950 \approx 69\,000$ (do setek).

30.Zaokrąglanie do jedności, części dziesiątych i setnych

Do jedności decyduje cyfra części dziesiątych, do części dziesiątych - cyfra części setnych, do części setnych - cyfra części tysięcznych. Przykład: $12{,}658 \approx 13$ (do jedności), $12{,}658 \approx 12{,}7$ (do części dziesiątych), $12{,}658 \approx 12{,}66$ (do części setnych). Zaokrąglenie kwoty do pełnych złotych to zaokrąglenie do jedności: $38{,}49$ zł $\approx 38$ zł.

31.Zaokrąglanie w górę, gdy na miejscu zaokrąglenia jest 9

Gdy zwiększamy cyfrę 9 o 1, powstaje 10, więc zmienia się też cyfra przed nią: $7{,}96 \approx 8{,}0$ (do części dziesiątych), $3{,}995 \approx 4{,}00$ (do części setnych), $2\,970 \approx 3\,000$ (do setek). Zera na końcu po przecinku zostawiamy: zapis $8{,}0$ pokazuje, że zaokrąglono do części dziesiątych.

32.Jaka jest najmniejsza i największa liczba naturalna o danym zaokrągleniu?

Wynik zaokrąglenia do dziesiątek jest zawsze wielokrotnością 10, do setek - wielokrotnością 100 itd. Zaokrąglenie do setek równe 3200 mają liczby naturalne od 3150 (cyfra dziesiątek 5 - zaokrąglamy w górę) do 3249. Liczba 3250 to już 3300. Najmniejsza liczba naturalna to więc 3150, a największa 3249. Rysunek pokazuje wszystkie liczby, które zaokrąglone do setek dają 3200: należą do nich też liczby niecałkowite, np. $3249{,}9$, ale nie 3250 - dlatego przy 3250 jest puste kółko.

33.Jak zaokrąglić liczbę o rozwinięciu okresowym?

Rozpisujemy okres tyle razy, aby widzieć cyfrę stojącą za miejscem zaokrąglenia, i stosujemy zwykłą regułę: $2{,}(7) = 2{,}777... \approx 2{,}78$ (do części setnych), $0{,}(48) = 0{,}4848... \approx 0{,}485$ (do części tysięcznych). Ułamek zwykły najpierw zamieniamy przez dzielenie: $\frac{5}{7} = 0{,}714... \approx 0{,}7$.

34.Szacowanie wyniku działania

Szacując, zaokrąglamy liczby do takich, na których łatwo liczyć w pamięci: $3\,912 + 2\,079 \approx 3\,900 + 2\,100 = 6\,000$, $4{,}9 \cdot 21 \approx 5 \cdot 20 = 100$. Szacowanie pomaga też porównać wynik z liczbą bez dokładnego rachunku: $598 + 297 < 900$, bo $598 < 600$ i $297 < 300$.

35.Jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe?

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, dodajemy albo odejmujemy liczniki, a mianownik zostaje. Wynik skracamy i wyłączamy całości: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$ (rysunek), $\frac{5}{6} - \frac{3}{10} = \frac{25}{30} - \frac{9}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$. Nazwy: składnik + składnik = suma, odjemna - odjemnik = różnica.

36.Jak dodawać liczby mieszane?

Dodajemy osobno całości i osobno ułamki (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika). Gdy ułamek w wyniku jest niewłaściwy, wyłączamy z niego całości: $2\frac{3}{8} + 1\frac{3}{4} = 2\frac{3}{8} + 1\frac{6}{8} = 3\frac{9}{8} = 4\frac{1}{8}$.

37.Jak odejmować liczby mieszane, gdy ułamek odjemnej jest za mały?

Zamieniamy jedną całość odjemnej na ułamek i dopiero odejmujemy: $5\frac{1}{4} - 2\frac{2}{3} = 5\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12} = 4\frac{15}{12} - 2\frac{8}{12} = 2\frac{7}{12}$ (rysunek). Tak samo odejmujemy ułamek od liczby całkowitej: $4 - \frac{3}{7} = 3\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 3\frac{4}{7}$.

38.Jak dodawać i odejmować ułamki dziesiętne w pamięci?

Dodajemy dziesiąte do dziesiątych, setne do setnych: $0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}3$, bo 8 dziesiątych i 5 dziesiątych to 13 dziesiątych. Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera: $0{,}76 - 0{,}4 = 0{,}76 - 0{,}40 = 0{,}36$, $1 - 0{,}35 = 1{,}00 - 0{,}35 = 0{,}65$.

39.Jak dodawać i odejmować ułamki dziesiętne sposobem pisemnym?

Zapisujemy liczby przecinek pod przecinkiem, więc jedności są pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi. Puste miejsca można uzupełnić zerami. Liczymy jak na liczbach naturalnych, a w wyniku stawiamy przecinek pod przecinkami: $12{,}58 + 7{,}9 = 20{,}48$, $31{,}4 - 6{,}725 = 31{,}400 - 6{,}725 = 24{,}675$ (rysunek).

40.Jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe i dziesiętne w jednym działaniu?

Zapisujemy wszystkie liczby w tej samej postaci. Gdy ułamek zwykły ma rozwinięcie skończone, wygodnie zamienić go na dziesiętny: $\frac{3}{4} + 1{,}6 = 0{,}75 + 1{,}6 = 2{,}35$. Gdy rozwinięcie jest nieskończone (np. $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{7}$), zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły albo na liczbę mieszaną: $\frac{2}{3} + 0{,}1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{10} = \frac{20}{30} + \frac{3}{30} = \frac{23}{30}$.