Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych - Matematyka z plusem 6

1.Licznik, mianownik i kreska ułamkowa

W ułamku $\frac{3}{5}$ liczba 3 nad kreską to licznik, a liczba 5 pod kreską to mianownik. Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik - ile takich części wzięto. Kreska ułamkowa oznacza dzielenie: $\frac{3}{5} = 3 : 5$. Na rysunku zamalowano 3 z 5 równych części paska.

2.Ułamek właściwy, ułamek niewłaściwy i liczba mieszana

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika i jest mniejszy od 1, np. $\frac{4}{7}$. Ułamek niewłaściwy ma licznik większy od mianownika albo mu równy, np. $\frac{9}{4}$. Liczba mieszana to suma liczby naturalnej i ułamka właściwego: $2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4}$, a nie $2 \cdot \frac{1}{4}$.

3.Skracanie ułamków

Skracanie ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę większą od 1. Wartość ułamka się nie zmienia: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (licznik i mianownik dzielimy przez 2). Ułamek, którego nie da się już skrócić, to ułamek nieskracalny, np. $\frac{3}{4}$. Na rysunku $\frac{6}{8}$ i $\frac{3}{4}$ paska to ta sama część.

4.Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamka to mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ (licznik i mianownik razy 4). Aby otrzymać ułamek o danym mianowniku, sprawdzamy, ile razy nowy mianownik jest większy od starego: $12 : 3 = 4$. Rysunek pokazuje, że $\frac{2}{3}$ i $\frac{8}{12}$ paska to ta sama część.

5.Jak zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną?

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Iloraz to całości, reszta to nowy licznik, a mianownik zostaje ten sam: $23 : 4 = 5 \text{ reszta } 3$, więc $\frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}$. Na rysunku $\frac{7}{3}$ koła to 2 całe koła i $\frac{1}{3}$ koła, czyli $2\frac{1}{3}$.

6.Jak zamienić liczbę mieszaną albo naturalną na ułamek niewłaściwy?

Całości mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik - to nowy licznik, a mianownik zostaje ten sam: $4\frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{22}{5}$. Liczbę naturalną zapisujemy jako ułamek o wybranym mianowniku: $3 = \frac{3 \cdot 4}{4} = \frac{12}{4}$.

7.Wspólny mianownik ułamków

Wspólny mianownik dwóch ułamków to liczba podzielna przez oba mianowniki, czyli ich wspólna wielokrotność. Dla $\frac{1}{4}$ i $\frac{5}{6}$ może to być 12, 24, 36 itd. Najwygodniej wybrać najmniejszy, czyli NWW mianowników: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$.

8.Jak porównywać ułamki zwykłe?

Z dwóch ułamków o tym samym mianowniku większy jest ten, który ma większy licznik: $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$. Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ i $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$, więc $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$. Ułamek jest większy od $\frac{1}{2}$, gdy jego licznik jest większy od połowy mianownika, np. $\frac{5}{8}$.

9.Jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe?

Ułamki o tych samych mianownikach dodajemy (odejmujemy), dodając (odejmując) liczniki, a mianownik zostaje: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$. Ułamki o różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$ - pokazuje to rysunek. Wynik skracamy, gdy się da.

10.Jak dodawać liczby mieszane?

Dodajemy osobno całości i osobno ułamki, po sprowadzeniu ich do wspólnego mianownika. Gdy ułamek w wyniku jest niewłaściwy, wyłączamy z niego całości: $3\frac{2}{3} + 1\frac{5}{6} = 3\frac{4}{6} + 1\frac{5}{6} = 4\frac{9}{6} = 5\frac{3}{6} = 5\frac{1}{2}$.

11.Jak odejmować liczby mieszane, gdy ułamek w odjemnej jest za mały?

Zamieniamy jedną całość odjemnej na ułamek i dodajemy ją do części ułamkowej: $6\frac{1}{4} - 2\frac{2}{3} = 6\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12} = 5\frac{15}{12} - 2\frac{8}{12} = 3\frac{7}{12}$. Tak samo odejmujemy od liczby naturalnej: $5 - 1\frac{3}{8} = 4\frac{8}{8} - 1\frac{3}{8} = 3\frac{5}{8}$.

12.Jak mnożyć ułamki zwykłe?

Licznik mnożymy przez licznik, a mianownik przez mianownik. Przed mnożeniem można skracać licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$ (4 z 8 skracamy przez 4, a 3 z 9 przez 3). Liczbę naturalną mnożymy przez licznik: $\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{6}{7}$.

13.Jak mnożyć liczby mieszane?

Przed mnożeniem zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, potem skracamy i mnożymy: $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 4$. Nie wolno mnożyć osobno całości i osobno ułamków - to daje błędny wynik.

14.Jak skracać przy mnożeniu kilku ułamków?

Przy mnożeniu kilku ułamków możemy skracać licznik jednego z nich z mianownikiem innego, także wtedy, gdy te ułamki ze sobą nie sąsiadują: $\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{12}$ (skracamy 4 z 8, 5 z 10 oraz 3 z 9).

15.Odwrotność liczby

Odwrotność ułamka otrzymujemy, zamieniając licznik z mianownikiem: odwrotnością $\frac{4}{9}$ jest $\frac{9}{4}$. Odwrotnością liczby 6 jest $\frac{1}{6}$. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, więc odwrotność to $\frac{3}{7}$. Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1. Zero nie ma odwrotności, a 1 jest odwrotnością samej siebie.

16.Jak dzielić ułamki zwykłe i liczby mieszane?

Dzielenie zastępujemy mnożeniem dzielnej przez odwrotność dzielnika: $\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Liczby mieszane najpierw zamieniamy na ułamki niewłaściwe: $3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2} = \frac{10}{3} : \frac{5}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

17.Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną i liczby przez ułamek

Dzieląc przez liczbę naturalną, mnożymy przez jej odwrotność: $\frac{6}{7} : 3 = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{7}$. Dzieląc liczbę przez ułamek, też mnożymy przez odwrotność: $4 : \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10$. Dzielenie przez ułamek mniejszy od 1 daje wynik większy od dzielnej.

18.Co oznacza kreska ułamkowa między dwoma ułamkami?

Gdy w liczniku i mianowniku stoją ułamki, kreska ułamkowa oznacza dzielenie licznika przez mianownik: $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{3}{4} : \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2$.

19.Kolejność działań i potęgi ułamków zwykłych

Obowiązują te same reguły co dla liczb naturalnych: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Przykład: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 2 = 2\frac{1}{2}$. Ułamek podnosimy do potęgi, podnosząc licznik i mianownik: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy.

20.Jak obliczyć ułamek danej liczby?

Ułamek liczby obliczamy, mnożąc ten ułamek przez liczbę: $\frac{3}{8}$ z 40 zł to $\frac{3}{8} \cdot 40 = 15$ zł. Część z części też liczymy mnożeniem: $\frac{1}{2}$ z $\frac{2}{3}$ tortu to $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ tortu.

21.Jak obliczyć, jaka część całości została?

Całość to 1. Gdy z działki zajęto $\frac{1}{4}$ i $\frac{2}{5}$, to razem zajęto $\frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}$, a zostało $1 - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$ działki. Gdy działka ma $600~\mathrm{m^2}$, pozostała część ma $\frac{7}{20} \cdot 600 = 210~\mathrm{m^2}$.

22.Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Cyfry po przecinku zapisujemy w liczniku, a w mianowniku 10, 100, 1000 - z tyloma zerami, ile jest cyfr po przecinku. Potem skracamy: $0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$, $3{,}2 = 3\frac{2}{10} = 3\frac{1}{5}$, $0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$.

23.Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny przez rozszerzanie?

Rozszerzamy (albo najpierw skracamy) ułamek tak, aby miał mianownik 10, 100 lub 1000, i zapisujemy go z przecinkiem: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$, $2\frac{3}{5} = 2\frac{6}{10} = 2{,}6$, $\frac{11}{200} = \frac{55}{1000} = 0{,}055$. Nie każdy ułamek da się tak zapisać, np. $\frac{1}{3}$ albo $\frac{2}{7}$.

24.Ułamki, które warto znać na pamięć

$\frac{1}{2} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$, $\frac{1}{8} = 0{,}125$, $\frac{1}{20} = 0{,}05$. Z nich łatwo otrzymać inne: $\frac{3}{8} = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375$, $\frac{4}{5} = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8$. Rysunek pokazuje kilka z tych liczb na osi liczbowej.

25.Jak porównać ułamek zwykły z ułamkiem dziesiętnym?

Zamieniamy obie liczby na ten sam rodzaj ułamków - najczęściej na dziesiętne, bo te łatwo porównać: $\frac{7}{20} = 0{,}35$, więc $\frac{7}{20} < 0{,}4$. Porządkując kilka liczb, zamieniamy je wszystkie na ułamki dziesiętne: $\frac{3}{8} = 0{,}375$, więc $0{,}37 < \frac{3}{8} < 0{,}38$.

26.Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych jednocześnie

Zamieniamy obie liczby na ułamki tego samego rodzaju. Można liczyć na dziesiętnych: $\frac{3}{4} + 0{,}6 = 0{,}75 + 0{,}6 = 1{,}35$, albo na zwykłych: $\frac{3}{4} + 0{,}6 = \frac{3}{4} + \frac{3}{5} = \frac{15}{20} + \frac{12}{20} = 1\frac{7}{20}$. Oba sposoby dają ten sam wynik, bo $1\frac{7}{20} = 1{,}35$.

27.Kiedy lepiej liczyć na ułamkach zwykłych?

Gdy ułamka zwykłego nie da się zapisać jako dziesiętnego skończonego, np. $\frac{1}{3}$ albo $\frac{5}{6}$, zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły: $1{,}5 - \frac{5}{6} = \frac{3}{2} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Przy mnożeniu ułamki zwykłe łatwo skracać: $0{,}6 \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$.

28.Ułamek zwykły z liczby zapisanej ułamkiem dziesiętnym

Ułamek mnożymy przez liczbę; ułamek zwykły często wygodnie zamienić na dziesiętny: $\frac{2}{5}$ z $7{,}5~\mathrm{m}$ to $0{,}4 \cdot 7{,}5 = 3~\mathrm{m}$. Tak liczymy np. tarę, czyli masę opakowania: gdy stanowi ona $\frac{1}{8}$ masy brutto $2{,}4~\mathrm{kg}$, ma $2{,}4 : 8 = 0{,}3~\mathrm{kg}$, a masa netto to $2{,}4 - 0{,}3 = 2{,}1~\mathrm{kg}$.

29.Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny przez dzielenie?

Każdy ułamek zwykły można zamienić na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik (pisemnie lub na kalkulatorze), bo kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Do licznika dopisujemy przecinek i zera, aż dzielenie się skończy: $\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625$.

30.Rozwinięcie dziesiętne skończone i nieskończone

Ułamek zwykły zapisany w postaci dziesiętnej to jego rozwinięcie dziesiętne. Gdy dzielenie licznika przez mianownik się kończy, rozwinięcie jest skończone: $\frac{9}{16} = 0{,}5625$. Gdy dzielenie się nie kończy, bo reszty się powtarzają, rozwinięcie jest nieskończone: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots$. Przykłady obu rodzajów są na rysunku.

31.Okres i rozwinięcie okresowe

W rozwinięciu nieskończonym od pewnego miejsca powtarza się ten sam układ cyfr, zwany okresem. Takie rozwinięcie nazywamy okresowym i zapisujemy krócej, biorąc okres w nawias: $0{,}444\ldots = 0{,}(4)$, $0{,}363636\ldots = 0{,}(36)$, $1{,}2777\ldots = 1{,}2(7)$. W ostatnim przykładzie okresem jest 7, a cyfra 2 się nie powtarza.

32.Jak zamienić liczbę mieszaną na rozwinięcie dziesiętne?

Część całkowita zostaje przed przecinkiem, a ułamek zamieniamy, dzieląc licznik przez mianownik: $3\frac{2}{9} = 3 + 2 : 9 = 3{,}222\ldots = 3{,}(2)$, $1\frac{5}{6} = 1{,}8333\ldots = 1{,}8(3)$.

33.Jak znaleźć cyfrę na dalekim miejscu po przecinku w rozwinięciu okresowym?

Sprawdzamy, którą cyfrą okresu jest szukane miejsce. W $0{,}(372)$ okres ma 3 cyfry, więc na miejscach 3, 6, 9 itd. stoi ostatnia cyfra okresu, 2. Dlatego 10. cyfra po przecinku to pierwsza cyfra okresu, czyli 3. Gdy przed okresem stoją inne cyfry, najpierw je pomijamy w liczeniu.

34.Jak porównywać rozwinięcia okresowe?

Zapisujemy kilka pierwszych cyfr każdego rozwinięcia i porównujemy cyfra po cyfrze, jak zwykłe ułamki dziesiętne: $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ jest większe od $0{,}33$. Tak samo $0{,}(45) = 0{,}4545\ldots$ jest mniejsze od $0{,}4(5) = 0{,}4555\ldots$, bo różnią się dopiero trzecią cyfrą po przecinku.

35.Po czym poznać, że ułamek ma rozwinięcie skończone?

Najpierw skracamy ułamek. Jeśli mianownik ułamka nieskracalnego nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą poza 2 i 5, rozwinięcie jest skończone: $\frac{3}{40} = 0{,}075$, bo $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$. Jeśli dzieli się przez inną liczbę pierwszą (3, 7, 11, 13 itd.), rozwinięcie jest nieskończone: $\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$. Uwaga: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ - po skróceniu czynnik 3 znika.