Rachunki pamięciowe, działania pisemne, potęgi - Matematyka z plusem 6

1.Jak dodawać i odejmować w pamięci liczby naturalne?

Rozkładamy jedną z liczb na łatwe składniki i dodajemy lub odejmujemy po kolei: setki, dziesiątki, jedności. Przykład: $346 + 207 = 346 + 200 + 7 = 553$. Przy odejmowaniu wygodnie odjąć liczbę okrągłą i oddać nadmiar: $824 - 390 = 824 - 400 + 10 = 434$.

2.Jak mnożyć i dzielić w pamięci, rozkładając liczbę na części?

Liczbę rozkładamy na sumę łatwych części, mnożymy albo dzielimy każdą część osobno, a wyniki dodajemy. Przykłady: $213 \cdot 3 = 200 \cdot 3 + 13 \cdot 3 = 600 + 39 = 639$, $156 : 4 = 120 : 4 + 36 : 4 = 30 + 9 = 39$.

3.Przestawianie czynników w iloczynie

Wynik mnożenia się nie zmienia, gdy przestawiamy czynniki. Dlatego liczby z zerami rozkładamy na czynniki i mnożymy je w wygodnej kolejności: $140 \cdot 300 = 14 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 100 = 14 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 100 = 42 \cdot 1000 = 42\,000$.

4.Jak mnożyć liczby z zerami na końcu?

Mnożymy liczby bez końcowych zer, a potem dopisujemy do wyniku tyle zer, ile ich było razem w obu czynnikach. Przykład: w $340 \cdot 20$ liczymy $34 \cdot 2 = 68$ i dopisujemy 2 zera, więc $340 \cdot 20 = 6800$. Uwaga: $50 \cdot 60 = 3000$, bo $5 \cdot 6 = 30$ i dopisujemy jeszcze 2 zera.

5.Kiedy wynik dzielenia się nie zmienia?

Wynik dzielenia się nie zmienia, gdy dzielną i dzielnik podzielimy albo pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera. Przykłady: $36\,000 : 900 = 360 : 9 = 40$ (obie liczby podzielone przez 100), $90 : 15 = 180 : 30 = 6$ (obie liczby pomnożone przez 2).

6.Jak dzielić liczby z zerami na końcu?

Najpierw skreślamy po tyle samo końcowych zer w dzielnej i w dzielniku, a potem dzielimy. Przykład: w $48\,000 : 600$ skreślamy po 2 zera i liczymy $480 : 6 = 80$. W $350\,000 : 70$ skreślamy po 1 zerze: $35\,000 : 7 = 5000$.

7.Jak w pamięci obliczyć iloczyn, np. $24 \cdot 15$?

Można rozłożyć czynnik na sumę: $24 \cdot 15 = 24 \cdot 10 + 24 \cdot 5 = 240 + 120 = 360$. Można rozłożyć czynnik na iloczyn: $24 \cdot 15 = 24 \cdot 5 \cdot 3 = 120 \cdot 3 = 360$. Można też zaokrąglić czynnik i odjąć nadmiar: $24 \cdot 15 = 25 \cdot 15 - 1 \cdot 15 = 375 - 15 = 360$.

8.Jak mnożyć w pamięci przez 11, 19 albo 99?

Zamieniamy czynnik na liczbę okrągłą i poprawiamy wynik. Przy 99 mnożymy przez 100 i odejmujemy jeden raz drugi czynnik: $46 \cdot 99 = 4600 - 46 = 4554$. Przy 11 mnożymy przez 10 i dodajemy: $43 \cdot 11 = 430 + 43 = 473$. Przy 19: $25 \cdot 19 = 25 \cdot 20 - 25 = 500 - 25 = 475$.

9.Dzielenie z resztą i równość, która z niego wynika

Gdy dzielna nie dzieli się przez dzielnik bez reszty, otrzymujemy iloraz i resztę: $93 : 20 = 4 \text{ reszta } 13$. Wynika stąd równość: $\text{dzielna} = \text{iloraz} \cdot \text{dzielnik} + \text{reszta}$, czyli $93 = 4 \cdot 20 + 13$. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

10.Jak szybko znaleźć resztę z dzielenia przez 10, 100 albo 5?

Reszta z dzielenia przez 10 to cyfra jedności, a przez 100 - liczba z dwóch ostatnich cyfr: 4387 daje resztę 7 przy dzieleniu przez 10 i resztę 87 przy dzieleniu przez 100. Przy dzieleniu przez 5 patrzymy na cyfrę jedności: gdy jest to cyfra od 0 do 4, ona sama jest resztą, a gdy od 5 do 9 - odejmujemy od niej 5. Dlatego 4387 daje resztę 2 przy dzieleniu przez 5.

11.Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Liczbę dzielimy kolejno przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, ...), aż otrzymamy 1. Dzielniki zapisujemy po prawej stronie kreski - to szukane czynniki. Przykład: $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

12.Jak z rozkładu na czynniki pierwsze odczytać dzielniki liczby?

Dzielnikiem liczby jest każdy iloczyn wybranych czynników z jej rozkładu. Dla $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ dzielnikami są np. $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$, $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$ i $3 \cdot 3 \cdot 5 = 45$. Liczba 180 nie dzieli się przez 7, bo w rozkładzie nie ma 7. Wspólne dzielniki dwóch liczb tworzymy z czynników wspólnych dla obu rozkładów.

13.Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) z rozkładów

NWW dwóch liczb to najmniejsza liczba podzielna przez każdą z nich. Z rozkładów bierzemy każdy czynnik tyle razy, ile razy najwięcej występuje w jednej z liczb. Dla $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ i $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ mamy $\mathrm{NWW} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$. Pozostałe wspólne wielokrotności to wielokrotności NWW: 72, 108, 144 itd.

14.Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach. 2. Potęgowanie. 3. Mnożenie i dzielenie w kolejności od lewej do prawej. 4. Dodawanie i odejmowanie w kolejności od lewej do prawej. Przykłady: $30 - 2 \cdot 3^2 = 30 - 2 \cdot 9 = 30 - 18 = 12$, a $48 : 4 \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$.

15.Masa brutto i masa netto

Masa netto to masa samego towaru, a masa brutto to masa towaru razem z opakowaniem: $\text{brutto} = \text{netto} + \text{opakowanie}$. Słoik dżemu o masie brutto 450 g i masie netto 300 g ma opakowanie o masie $450~\mathrm{g} - 300~\mathrm{g} = 150~\mathrm{g}$.

16.Końcowe zera w ułamku dziesiętnym

Ułamek dziesiętny nie zmienia wartości, gdy dopisujemy lub pomijamy końcowe zera: $0{,}4 = 0{,}40 = 0{,}400$, $2{,}0500 = 2{,}05$. Nie wolno usuwać zer stojących między przecinkiem a cyfrą: $2{,}05 \neq 2{,}5$. Dopisane zera pomagają liczyć: $0{,}6 - 0{,}25 = 0{,}60 - 0{,}25 = 0{,}35$.

17.Jak mnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000?

Przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile zer ma 10, 100 albo 1000: o 1, 2 albo 3. Gdy brakuje cyfr, dopisujemy zera. Przykłady: $0{,}351 \cdot 10 = 3{,}51$, $4{,}7 \cdot 100 = 470$, $0{,}0062 \cdot 1000 = 6{,}2$.

18.Jak dzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000?

Przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc, ile zer ma dzielnik: o 1, 2 albo 3. Brakujące miejsca wypełniamy zerami. Przykłady: $36{,}5 : 10 = 3{,}65$, $0{,}9 : 100 = 0{,}009$, $4{,}2 : 1000 = 0{,}0042$. Rysunek zestawia obie reguły przesuwania przecinka.

19.Mnożenie przez $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ i dzielenie przez te liczby

Mnożenie przez $0{,}1$ daje ten sam wynik co dzielenie przez 10, przez $0{,}01$ - co dzielenie przez 100, a przez $0{,}001$ - co dzielenie przez 1000. Przecinek przesuwamy więc w lewo: $5{,}4 \cdot 0{,}1 = 0{,}54$, $5{,}4 \cdot 0{,}01 = 0{,}054$. Dzielenie przez $0{,}1$ daje to samo co mnożenie przez 10: $5{,}4 : 0{,}1 = 54$.

20.Jak dodawać i odejmować ułamki dziesiętne w pamięci?

Całości dodajemy do całości, dziesiąte do dziesiątych, setne do setnych. Pamiętamy, że 10 części dziesiątych to jedna całość, a 10 części setnych to jedna dziesiąta. Tak samo odejmujemy. Przykłady: $2{,}6 + 0{,}4 = 3$, $4{,}8 + 0{,}5 = 5{,}3$, $8{,}1 - 0{,}6 = 7{,}5$, $3{,}4 - 0{,}25 = 3{,}40 - 0{,}25 = 3{,}15$.

21.Jak mnożyć ułamki dziesiętne?

Mnożymy liczby tak jak naturalne, bez przecinków. W wyniku oddzielamy przecinkiem (od prawej strony) tyle cyfr, ile było ich po przecinku łącznie w obu czynnikach. Gdy cyfr brakuje, dopisujemy zera z lewej strony. Przykłady: $0{,}6 \cdot 7 = 4{,}2$ (1 cyfra), $0{,}3 \cdot 0{,}02 = 0{,}006$ (3 cyfry), $0{,}5 \cdot 0{,}8 = 0{,}40 = 0{,}4$ (2 cyfry).

22.Kwadrat i sześcian ułamka dziesiętnego

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch takich samych czynników, a sześcian - trzech. Liczymy jak zwykłe mnożenie ułamków: po przecinku w wyniku jest 2 razy (kwadrat) albo 3 razy (sześcian) więcej cyfr niż w tej liczbie. Przykłady: $0{,}3^2 = 0{,}09$, $0{,}04^2 = 0{,}0016$, $1{,}1^2 = 1{,}21$, $0{,}4^3 = 0{,}064$.

23.Jak dzielić przez ułamek dziesiętny?

Dzielną i dzielnik mnożymy przez tę samą liczbę (10, 100, 1000 itd.) tak, aby dzielnik stał się liczbą naturalną. Wynik się nie zmienia. Przykłady: $2{,}4 : 0{,}6 = 24 : 6 = 4$ (obie liczby razy 10), $0{,}35 : 0{,}05 = 35 : 5 = 7$ (obie liczby razy 100).

24.Dzielenie zapisane kreską ułamkową

Iloraz można zapisać kreską ułamkową: $0{,}06 : 1{,}2 = \frac{0{,}06}{1{,}2}$. Licznik i mianownik mnożymy przez tę samą liczbę, aż oba będą naturalne, i skracamy: $\frac{0{,}06}{1{,}2} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$. Kreska ułamkowa zastępuje też nawiasy: $\frac{9 - 3}{1 + 2}$ oznacza $(9 - 3) : (1 + 2) = 2$.

25.Jak mnożyć ułamek dziesiętny przez liczbę z zerami, np. przez 300?

Liczbę z zerami rozkładamy na iloczyn: $2{,}4 \cdot 300 = 2{,}4 \cdot 3 \cdot 100 = 7{,}2 \cdot 100 = 720$. Można też przesunąć przecinek w jednym czynniku w prawo i skreślić tyle samo zer w drugim: $500 \cdot 0{,}07 = 5 \cdot 7 = 35$.

26.Jak szybko mnożyć przez 5 albo przez 50?

Zamiast mnożyć przez 5 (lub 50), można najpierw pomnożyć liczbę przez 10 (lub 100), a wynik podzielić przez 2. Przykłady: $0{,}84 \cdot 5 = 8{,}4 : 2 = 4{,}2$, $3{,}6 \cdot 50 = 360 : 2 = 180$.

27.Kolejność działań na ułamkach dziesiętnych

Obowiązują te same reguły co dla liczb naturalnych: najpierw nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Przykład: $1{,}5 + 0{,}5 \cdot 4 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5$, a $(1{,}5 + 0{,}5) \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8$.

28.Pisemne dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Liczby zapisujemy przecinek pod przecinkiem, jedności pod jednościami, części dziesiąte pod częściami dziesiątymi itd. Brakujące miejsca na końcu uzupełniamy zerami, np. $15 - 3{,}46$ zapisujemy jako $15{,}00 - 3{,}46$. Liczymy jak na liczbach naturalnych, a przecinek w wyniku stawiamy pod przecinkami: $15{,}00 - 3{,}46 = 11{,}54$.

29.Pisemne mnożenie ułamków dziesiętnych

Czynniki zapisujemy jeden pod drugim, wyrównane do prawej strony, i mnożymy tak jak liczby naturalne. W wyniku oddzielamy przecinkiem (od prawej strony) tyle cyfr, ile ich było po przecinku łącznie w obu czynnikach. Przykład: w $2{,}35 \cdot 1{,}4$ liczymy $235 \cdot 14 = 3290$, oddzielamy 3 cyfry i otrzymujemy $3{,}290 = 3{,}29$.

30.Pisemne dzielenie ułamków dziesiętnych

Najpierw dzielną i dzielnik mnożymy przez 10, 100 lub 1000 itd., aby dzielnik stał się liczbą naturalną. Potem dzielimy pisemnie jak liczby naturalne, a przecinek w wyniku stawiamy nad przecinkiem dzielnej. Przykład: $0{,}522 : 0{,}06 = 52{,}2 : 6 = 8{,}7$.

31.Co robimy, gdy w dzieleniu pisemnym zostaje reszta?

Gdy wykorzystamy już wszystkie cyfry dzielnej, a zostaje reszta, dopisujemy do dzielnej zero na końcu po przecinku i dzielimy dalej. Przykład: $3{,}4 : 4 = 3{,}40 : 4 = 0{,}85$. Przy liczbie naturalnej najpierw stawiamy przecinek i dopisujemy zera: $7 : 4 = 7{,}00 : 4 = 1{,}75$.

32.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna kilku liczb to ich suma podzielona przez to, ile jest tych liczb: dla dwóch liczb $\frac{a + b}{2}$, dla trzech $\frac{a + b + c}{3}$. Przykład: średnia liczb $2{,}4$; $3{,}2$ i $1{,}9$ to $\frac{2{,}4 + 3{,}2 + 1{,}9}{3} = \frac{7{,}5}{3} = 2{,}5$.

33.Cena, masa i wartość zakupu

Wartość zakupu obliczamy, mnożąc cenę za 1 kg przez masę towaru. Cenę za 1 kg obliczamy, dzieląc zapłaconą kwotę przez masę. Przykłady: $0{,}4$ kg sera po 32 zł za 1 kg kosztuje $0{,}4 \cdot 32 = 12{,}8$, czyli 12,80 zł. Gdy za $2{,}5$ kg jabłek płacimy 7,50 zł, to 1 kg kosztuje $7{,}5 : 2{,}5 = 3$ zł.

34.Jak obliczyć część liczby podaną ułamkiem dziesiętnym?

Liczbę mnożymy przez ten ułamek. Gdy woda stanowi $0{,}9$ masy arbuza, to w arbuzie o masie 4 kg jest $0{,}9 \cdot 4 = 3{,}6$ kg wody. Część jest mniejsza od całości, bo mnożymy przez liczbę mniejszą od 1.

35.Potęga, podstawa potęgi i wykładnik potęgi

Potęga to iloczyn jednakowych czynników: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$. Liczba $a$ to podstawa potęgi, a $n$ - wykładnik potęgi. $9^4 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$ czytamy: dziewięć do potęgi czwartej. Druga potęga to kwadrat liczby, a trzecia - sześcian. Przyjmujemy też, że $a^1 = a$, a dla $a \neq 0$: $a^0 = 1$.

36.Jak obliczać potęgi liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych?

Mnożymy podstawę przez siebie tyle razy, ile wskazuje wykładnik: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$, $0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. Potęga nie jest iloczynem podstawy i wykładnika: $6^3 \neq 6 \cdot 3$. Kolejne potęgi liczby większej od 1 szybko rosną - rysunek pokazuje potęgi liczby 3: 3, 9, 27, 81.

37.Potęgi liczby 10

$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$, $10^6 = 1\,000\,000$ (milion), $10^9$ - miliard, $10^{12}$ - bilion. Mnożenie przez $10^n$ przesuwa przecinek o $n$ miejsc w prawo: $4{,}5 \cdot 10^3 = 4500$, a dzielenie - o $n$ miejsc w lewo: $6 : 10^2 = 0{,}06$.