Liczby i działania - Matematyka z plusem 8

1.Znaki systemu rzymskiego

W systemie rzymskim liczby zapisujemy siedmioma znakami: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Każdą liczbę od 1 do 3999 zapisujemy jako sumę wartości tych znaków i par odejmowanych, takich jak IV (4) czy XL (40). Znak C pochodzi od łacińskiego centum (sto), a M od mille (tysiąc) - stąd słowa procent i milimetr. Cyfry od 0 do 9, których używamy na co dzień, nazywamy arabskimi.

2.Ile razy może się powtórzyć znak w liczbie rzymskiej?

Znaki I, X, C i M mogą stać obok siebie najwyżej trzy razy, np. XXX (30), CCC (300). Znaki V, L i D występują w liczbie najwyżej raz. Dlatego 40 zapisujemy jako XL, a nie XXXX, a 10 jako X, a nie VV.

3.Kiedy w liczbie rzymskiej odejmujemy?

Gdy znak mniejszy stoi przed większym, ta para oznacza ich różnicę. Dozwolonych jest tylko sześć takich par: IV (4), IX (9), XL (40), XC (90), CD (400), CM (900). Odczytując liczbę, dzielimy ją na takie pary i pojedyncze znaki, a potem dodajemy ich wartości: MCMLXXIV to $1000 + 900 + 50 + 10 + 10 + 4 = 1974$.

4.Jak zapisać liczbę w systemie rzymskim?

Rozkładamy liczbę na tysiące, setki, dziesiątki i jedności, każdą część zapisujemy znakami rzymskimi i łączymy zapisy w tej kolejności. Na przykład $2468 = 2000 + 400 + 60 + 8$, więc 2000 to MM, 400 to CD, 60 to LX, 8 to VIII, a cała liczba to MMCDLXVIII.

5.Największa liczba rzymska i kreska nad znakiem

Według zasad zapisu największa liczba rzymska to MMMCMXCIX, czyli 3999. Większe liczby Rzymianie zapisywali z poziomą kreską: kreska nad znakiem oznacza liczbę 1000 razy większą. Na przykład $\overline{\mathrm{L}}$ to 50 000, a $\overline{\mathrm{C}}$ to 100 000.

6.Dzielenie z resztą

Gdy dzielna nie dzieli się przez dzielnik bez reszty, zapisujemy np. $47 : 5 = 9$ reszta $2$. Dzielna jest wtedy równa iloczynowi ilorazu i dzielnika powiększonemu o resztę: $47 = 9 \cdot 5 + 2$. Z tej równości obliczamy brakującą dzielną. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika: przy dzieleniu przez 5 możliwe reszty to 0, 1, 2, 3, 4.

7.Jak reszta z dzielenia pomaga ustalić podzielność?

Jeśli liczba $a$ przy dzieleniu przez $n$ daje resztę $r$, to $a - r$ dzieli się przez $n$. Dodając do $a$ jakąś liczbę, zwiększamy resztę o tyle samo (gdy wyjdzie $n$ lub więcej, odejmujemy $n$). Na przykład $100 : 7 = 14$ reszta $2$, więc 98 i 105 dzielą się przez 7, a 103 daje resztę 5.

8.Dzielnik liczby i cechy podzielności przez 2, 5, 10, 100 i 4

Dzielnik liczby to liczba, przez którą ona dzieli się bez reszty. Liczba dzieli się: przez 2, gdy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8; przez 5, gdy ostatnia cyfra to 0 lub 5; przez 10, gdy ostatnia cyfra to 0; przez 100, gdy kończy się na 00; przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, np. 3716, bo $16 : 4 = 4$.

9.Cechy podzielności przez 3, 9 i 6

Liczba dzieli się przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3, a przez 9 - gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9. Na przykład 5742 ma sumę cyfr $5 + 7 + 4 + 2 = 18$, więc dzieli się przez 3 i przez 9. Liczba dzieli się przez 6, gdy dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3 - tak jak parzysta liczba 5742.

10.Liczba pierwsza i liczba złożona

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która nie jest pierwsza, czyli ma więcej dzielników, np. $21 = 3 \cdot 7$. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, a jedyną parzystą jest 2.

11.Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Dzielimy liczbę przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą się dzieli, wynik zapisujemy pod spodem i powtarzamy, aż zostanie 1. Liczby zapisane po prawej stronie kreski to czynniki pierwsze: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze tylko w jeden sposób.

12.Dzielniki liczby z jej rozkładu na czynniki pierwsze

Każdy iloczyn czynników z rozkładu jest dzielnikiem liczby. Z $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ mamy np. dzielniki $2 \cdot 3 = 6$, $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$, $3 \cdot 3 \cdot 5 = 45$. Liczba wszystkich dzielników to iloczyn wykładników powiększonych o 1: $72 = 2^3 \cdot 3^2$, więc 72 ma $(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 12$ dzielników.

13.Jak znaleźć NWD dwóch liczb?

NWD, czyli największy wspólny dzielnik, znajdziemy, wypisując dzielniki obu liczb, albo z rozkładów: rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze, podkreślamy czynniki występujące w obu rozkładach i mnożymy je. $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$, $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$, więc NWD $(84, 120) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. NWD podaje np. największą długość jednakowych kawałków bez resztek.

14.Jak znaleźć NWW dwóch liczb?

NWW, czyli najmniejszą wspólną wielokrotność różną od 0, znajdziemy, wypisując kolejne wielokrotności obu liczb, albo z rozkładów: w rozkładzie drugiej liczby skreślamy czynniki, które wystąpiły w rozkładzie pierwszej, i mnożymy pierwszą liczbę przez nieskreślone czynniki. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, więc NWW $(12, 18) = 12 \cdot 3 = 36$. NWW podaje np., kiedy dwa autobusy znów odjadą razem.

15.Liczby wymierne

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{l}{m}$, gdzie $l$ i $m$ są liczbami całkowitymi i $m \neq 0$. Wymierne są wszystkie liczby naturalne, całkowite oraz ułamki dodatnie i ujemne, np. $-4$, $0{,}3$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{9}$. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone, np. $\frac{3}{8} = 0{,}375$, albo nieskończone okresowe, np. $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$.

16.Porównywanie ułamków przez wspólny mianownik lub wspólny licznik

Przy tym samym mianowniku większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{4}{9} = \frac{28}{63}$ i $\frac{3}{7} = \frac{27}{63}$, więc $\frac{4}{9} > \frac{3}{7}$. Przy tym samym liczniku większy jest ułamek o mniejszym mianowniku: $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$ i $\frac{3}{11} = \frac{6}{22}$, więc $\frac{2}{7} > \frac{3}{11}$. Na rysunku $\frac{3}{4} > \frac{3}{5}$, bo czwarte części są większe od piątych.

17.Porównywanie ułamków przez rozwinięcia dziesiętne lub iloraz

Możemy znaleźć rozwinięcia dziesiętne i je porównać: $\frac{5}{12} \approx 0{,}417$, a $\frac{7}{16} = 0{,}4375$, więc $\frac{5}{12} < \frac{7}{16}$. Możemy też obliczyć iloraz liczb dodatnich $a : b$ i porównać go z 1: gdy $a : b < 1$, to $a < b$. Tu $\frac{5}{12} : \frac{7}{16} = \frac{5 \cdot 16}{12 \cdot 7} = \frac{20}{21} < 1$.

18.Jak porównać liczby ujemne?

Na osi liczbowej większa jest liczba leżąca bardziej na prawo. Każda liczba ujemna jest mniejsza od 0 i od każdej liczby dodatniej. Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera, czyli ma mniejszą wartość bez znaku minus: $-1{,}5 > -2{,}3$, a $-\frac{1}{4} > -\frac{1}{2}$.

19.Znak potęgi i porównywanie potęg

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o nieparzystym - ujemna: $(-2)^4 = 16$, $(-2)^3 = -8$. Uwaga: $-2^4 = -16$, bo potęgujemy tylko 2. Gdy podstawa jest większa od 1, potęga rośnie razem z wykładnikiem: $1{,}5^3 < 1{,}5^4$. Gdy podstawa jest między 0 a 1, każde kolejne mnożenie zmniejsza wynik: $0{,}5^3 > 0{,}5^4$.

20.Notacja wykładnicza

To zapis liczby w postaci $a \cdot 10^n$, gdzie $1 \le a < 10$, a $n$ jest liczbą całkowitą. Przecinek stawiamy za pierwszą cyfrą różną od zera, a wykładnik mówi, o ile miejsc go przesunęliśmy: $72\,000 = 7{,}2 \cdot 10^4$, $0{,}0036 = 3{,}6 \cdot 10^{-3}$. Pamiętaj: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$, więc ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą od 1.

21.Nazwy dużych liczb

Milion to $10^6$, miliard to $10^9$, bilion to $10^{12}$, biliard to $10^{15}$, a trylion to $10^{18}$. Nazwy kończące się na „lion” to kolejne potęgi miliona, np. bilion to $(10^6)^2$, a trylion to $(10^6)^3$. Dlatego $4{,}2 \cdot 10^9$ to $4{,}2$ mld, a $3 \cdot 10^{12}$ to 3 bln.

22.Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Dla $a \ge 0$: $\sqrt{a} = b$, gdy $b^2 = a$ i $b \ge 0$, np. $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$. Pierwiastek kwadratowy obliczamy tylko z liczby nieujemnej. Pierwiastek sześcienny obliczamy z każdej liczby: $\sqrt[3]{c} = d$, gdy $d^3 = c$, np. $\sqrt[3]{-27} = -3$. Wiele pierwiastków, np. $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$, ma rozwinięcie nieskończone nieokresowe - to liczby niewymierne.

23.Jak oszacować pierwiastek?

Im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy pierwiastek. Szukamy dwóch kolejnych kwadratów liczb całkowitych, między którymi leży liczba podpierwiastkowa: $49 < 55 < 64$, więc $\sqrt{49} < \sqrt{55} < \sqrt{64}$, czyli $7 < \sqrt{55} < 8$. Dla pierwiastka sześciennego szukamy sześcianów: $8 < 20 < 27$, więc $2 < \sqrt[3]{20} < 3$.

24.Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000 oraz przez $0{,}1$; $0{,}01$; $0{,}001$

Mnożąc przez 10, 100, 1000, przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile jest zer (brakujące miejsca uzupełniamy zerami), a dzieląc - w lewo: $0{,}36 \cdot 1000 = 360$, $4{,}5 : 100 = 0{,}045$. Mnożenie przez $0{,}01$ to to samo co dzielenie przez 100, a dzielenie przez $0{,}1$ - co mnożenie przez 10: $28 \cdot 0{,}01 = 0{,}28$, $3{,}2 : 0{,}1 = 32$.

25.Jednostki długości, masy i pola

Długość: $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$. Masa: $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$, $1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag}$, $1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$. Pole: $1~\mathrm{a} = 100~\mathrm{m^2}$, $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{a} = 10\,000~\mathrm{m^2}$, $1~\mathrm{km^2} = 10^6~\mathrm{m^2}$. Na mniejszą jednostkę mnożymy, na większą dzielimy: $3{,}5~\mathrm{ha} = 350~\mathrm{a}$.

26.Jednostki objętości i pojemności

$1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$, $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3} = 0{,}001~\mathrm{l}$, $1~\mathrm{cl} = 0{,}01~\mathrm{l}$, $1~\mathrm{hl} = 100~\mathrm{l}$. Ponieważ $1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm}$, to $1~\mathrm{m^3} = 10^3~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{l}$. Na przykład $0{,}25~\mathrm{m^3} = 250~\mathrm{l}$, a $750~\mathrm{ml} = 0{,}75~\mathrm{l}$.

27.Jak zamienić m/s na km/h?

Podstawiamy $1~\mathrm{m} = \frac{1}{1000}~\mathrm{km}$ i $1~\mathrm{s} = \frac{1}{3600}~\mathrm{h}$: $15~\mathrm{m/s} = \frac{15 \cdot \frac{1}{1000}~\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}~\mathrm{h}} = 54~\mathrm{km/h}$. Wynika z tego, że $1~\mathrm{m/s} = 3{,}6~\mathrm{km/h}$: z m/s na km/h mnożymy przez $3{,}6$, a z km/h na m/s dzielimy przez $3{,}6$, np. $72~\mathrm{km/h} = 20~\mathrm{m/s}$.

28.Kolejność wykonywania działań

Najpierw obliczamy działania w nawiasach, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), a na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej). Na przykład $8 - 2 \cdot (1 - 4)^2 = 8 - 2 \cdot 9 = 8 - 18 = -10$. Błędem byłoby zacząć od odejmowania $8 - 2$.

29.Działania pisemne na ułamkach dziesiętnych

Dodając i odejmując, piszemy przecinek pod przecinkiem. Mnożąc, liczymy jak na liczbach naturalnych, a w wyniku oddzielamy przecinkiem tyle cyfr, ile jest ich łącznie po przecinku w obu czynnikach: $2{,}4 \cdot 0{,}15 = 0{,}360 = 0{,}36$. Dzieląc, przesuwamy przecinek w dzielnej i w dzielniku o tyle samo miejsc, aby dzielnik był liczbą naturalną: $7{,}56 : 1{,}2 = 75{,}6 : 12 = 6{,}3$.

30.Typowe błędy w obliczeniach na ułamkach

Liczbę mieszaną przed potęgowaniem, mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $(1\frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$, a nie $1\frac{1}{4}$. Skracać wolno tylko czynniki, a nie składniki: $\frac{5 + 3}{3} = \frac{8}{3}$, a nie 6. Pilnujemy kolejności działań: $5 - 1 : 2 = 4\frac{1}{2}$, a nie 2.

31.Szacowanie wyników działań

Gdy dokładny wynik nie jest potrzebny, zaokrąglamy liczby tak, by łatwo liczyć w pamięci. Jeśli obie liczby zmniejszyliśmy, prawdziwy wynik dodawania lub mnożenia jest większy od oszacowania: $498{,}6 + 312{,}4 > 490 + 310 = 800$, a jeśli obie zwiększyliśmy - mniejszy: $19{,}7 \cdot 4{,}8 < 20 \cdot 5 = 100$. Przy odejmowaniu i dzieleniu z drugą liczbą jest odwrotnie: gdy ją zmniejszymy, oszacowanie wyjdzie za duże, a gdy zwiększymy - za małe: $47 - 18{,}4 < 47 - 18 = 29$, $6400 : 795 > 6400 : 800 = 8$.

32.Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie, potęga potęgi

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$, $a^m : a^n = a^{m - n}$ (dla $a \neq 0$) oraz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Przykłady: $5^4 \cdot 5^3 = 5^7$, $2^{10} : 2^4 = 2^6 = 64$, $(3^2)^4 = 3^8$. Pamiętaj, że $9 = 9^1$, więc $9 \cdot 9^3 = 9^4$. Nie myl potęgi potęgi z iloczynem potęg: $3^2 \cdot 3^4 = 3^6$.

33.Potęga iloczynu i potęga ilorazu

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ oraz $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ dla $b \neq 0$. Wzory stosujemy też w drugą stronę, gdy potęgi mają jednakowe wykładniki: $4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000$ oraz $\frac{12^5}{4^5} = 3^5 = 243$.

34.Sprowadzanie potęg do tej samej podstawy

Gdy podstawy są różne, zapisujemy je jako potęgi tej samej liczby, najczęściej liczby pierwszej, i dopiero wtedy stosujemy prawa działań: $8^2 \cdot 4^3 = (2^3)^2 \cdot (2^2)^3 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}$, $27 \cdot 9^2 = 3^3 \cdot 3^4 = 3^7$. Liczbę złożoną rozkładamy na czynniki: $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.

35.Wyłączanie wspólnego czynnika w sumie lub różnicy potęg

Dodając potęgi, nie dodajemy wykładników. Większą potęgę zapisujemy jako iloczyn liczby i mniejszej potęgi, a potem liczymy jak na wyrazach podobnych: $3^6 - 3^4 = 9 \cdot 3^4 - 3^4 = 8 \cdot 3^4$, $2^7 + 2^5 = 4 \cdot 2^5 + 2^5 = 5 \cdot 2^5$. Tak samo $2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5 = 2^6$, a nie $2^{10}$.

36.Działania na liczbach w notacji wykładniczej

Mnożąc i dzieląc, osobno liczymy na liczbach i na potęgach 10: $(3 \cdot 10^4) \cdot (5 \cdot 10^6) = 15 \cdot 10^{10} = 1{,}5 \cdot 10^{11}$, $\frac{8{,}4 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^3} = 4{,}2 \cdot 10^6$. Dodając, sprowadzamy liczby do tej samej potęgi 10: $6 \cdot 10^8 + 4 \cdot 10^7 = 60 \cdot 10^7 + 4 \cdot 10^7 = 6{,}4 \cdot 10^8$.

37.Pierwiastek z iloczynu i z ilorazu

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ i $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (gdy pierwiastki są określone, a $b \neq 0$); tak samo dla pierwiastków sześciennych. Dzięki temu mnożymy i dzielimy pierwiastki tego samego stopnia: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{64} = 8$, $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$. Podobnie $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

38.Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka i włączanie pod znak

Wyłączając, zapisujemy liczbę podpierwiastkową jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest jak największym kwadratem (sześcianem) liczby naturalnej: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$. Włączając, podnosimy czynnik do kwadratu: $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$. Tak porównujemy liczby: $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, więc $2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$.

39.Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Dodawać i odejmować możemy tylko jednakowe pierwiastki, tak jak wyrazy podobne: $4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$, $5\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}$. Często najpierw wyłączamy czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{12} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. Liczb pod pierwiastkami nie dodajemy: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$.

40.Usuwanie niewymierności z mianownika

Gdy w mianowniku jest pierwiastek, mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożymy go przez 1: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$, $\frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.