Wyrażenia algebraiczne, równania i proporcje - Matematyka z plusem 8

1.Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb i znaków działań występują litery (zmienne), np. $3x + 5$, $2a \cdot b$, $\frac{x}{4}$. Litera oznacza dowolną liczbę. Wyrażeniami opisujemy zależności, np. liczba o 7 większa od $a$ to $a + 7$.

2.Jak zapisać wyrażeniem słowa „o … większa” i „… razy większa”?

„O” oznacza dodawanie albo odejmowanie, a „razy” - mnożenie albo dzielenie. Liczba o 6 większa od $p$ to $p + 6$, o 2 mniejsza - $p - 2$, 3 razy większa - $3p$, 4 razy mniejsza - $\frac{p}{4}$. Liczba o 3 mniejsza od dwukrotności $b$ to $2b - 3$.

3.Jak zapisać zamianę jednostek wyrażeniem algebraicznym?

Z większej jednostki na mniejszą mnożymy, a z mniejszej na większą dzielimy przez liczbę, która mówi, ile mniejszych jednostek mieści się w większej. $x$ m to $100x$ cm, a $y$ cm to $\frac{y}{100}$ m. $g$ godzin to $60g$ minut, a $m$ minut to $\frac{m}{60}$ h. $k$ m i 40 cm to $100k + 40$ cm.

4.Jak obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego?

Najpierw upraszczamy wyrażenie (jeśli się da), potem w miejsce liter wstawiamy liczby i liczymy w kolejności działań. Liczbę ujemną wstawiamy w nawiasie. Np. $2x^2 - 3x$ dla $x = -2$: $2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 8 + 6 = 14$.

5.Jednomian i suma algebraiczna

Jednomian to liczba, litera albo iloczyn liczb i liter, np. $-4ab$, $\frac{1}{2}x^2$, $7$. Liczbę przed literami nazywamy współczynnikiem liczbowym. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $3x^2 - 5x + 7$; jej wyrazy to $3x^2$, $-5x$ i $7$.

6.Wyrazy podobne

Wyrazy podobne to jednomiany, które mają te same litery w tych samych potęgach, a różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym, np. $3x^2$ i $-7x^2$ albo $5ab$ i $ab$. Wyrazy $2x$ i $2x^2$ nie są podobne, bo $x$ jest w różnych potęgach.

7.Redukcja wyrazów podobnych

Dodajemy współczynniki wyrazów podobnych, a część literową przepisujemy bez zmian: $4x^2 + x - 6x^2 - 0{,}5x = -2x^2 + 0{,}5x$. Wyrazów, które nie są podobne, nie łączymy: $3x + 2$ to nie $5x$.

8.Jak opuścić nawias poprzedzony znakiem plus albo minus?

Gdy przed nawiasem stoi plus, opuszczamy nawias bez zmiany znaków: $a + (b - c) = a + b - c$. Gdy stoi minus, opuszczamy nawias i zmieniamy znak KAŻDEGO wyrazu w nawiasie na przeciwny: $5x - (3x - 4) = 5x - 3x + 4 = 2x + 4$.

9.Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Mnożymy jednomian przez każdy wyraz sumy i pilnujemy znaków: $3x(2x - 5) = 6x^2 - 15x$, $-2(4 - a) = -8 + 2a$. Iloczyn jednakowych liter zapisujemy potęgą: $x \cdot x = x^2$.

10.Mnożenie dwumianu przez dwumian

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego nawiasu, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd$. Np. $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$.

11.Jak zapisać $(x + 3)^2$ w postaci sumy algebraicznej?

Kwadrat nawiasu zapisujemy jako iloczyn dwóch takich samych nawiasów i mnożymy każdy wyraz przez każdy: $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$. Częsty błąd: $(x + 3)^2$ to nie $x^2 + 9$.

12.Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

Przez liczbę dzielimy każdy wyraz sumy: $\frac{6x + 9}{3} = \frac{6x}{3} + \frac{9}{3} = 2x + 3$, $(10a - 4) : 2 = 5a - 2$. Nie wolno podzielić tylko jednego wyrazu: $\frac{4x + 1}{4} = x + \frac{1}{4}$, a nie $x + 1$.

13.Jak upraszczać wyrażenie z nawiasem w nawiasie?

Opuszczamy nawiasy po kolei, zaczynając od wewnętrznego (okrągłego), a potem kwadratowy. Przy każdym minusie przed nawiasem zmieniamy znaki: $x - [2 - (x - 1)] = x - [2 - x + 1] = x - [3 - x] = x - 3 + x = 2x - 3$.

14.Jak uprościć wyrażenie algebraiczne krok po kroku?

1. Wykonujemy mnożenia (jednomian razy suma, dwumian razy dwumian). 2. Opuszczamy nawiasy (minus zmienia znaki). 3. Redukujemy wyrazy podobne. 4. Porządkujemy wynik od najwyższej potęgi. Np. $2x(x - 1) - (x^2 - 4x) = 2x^2 - 2x - x^2 + 4x = x^2 + 2x$.

15.Obwód i pole figury zapisane wyrażeniem algebraicznym

Gdy boki figury opisują wyrażenia z literą, obwód i pole też zapisujemy wyrażeniem i upraszczamy. Prostokąt z rysunku ma boki $x + 3$ i $x$, więc jego obwód to $2(x + 3) + 2x = 4x + 6$, a pole to $x(x + 3) = x^2 + 3x$.

16.Jak zapisać wyrażeniem zależność z treści zadania?

Jedną wielkość oznaczamy literą, a pozostałe zapisujemy za jej pomocą. Np. kąt trójkąta ma miarę $\alpha$, a drugi jest o $20^\circ$ mniejszy, czyli ma $\alpha - 20^\circ$. Trzeci kąt ma $180^\circ - \alpha - (\alpha - 20^\circ) = 200^\circ - 2\alpha$. Na rysunku $\alpha = 80^\circ$, więc kąty mają $80^\circ$, $60^\circ$ i $40^\circ$.

17.Jak uzasadnić, że wyrażenie ma zawsze tę samą wartość albo jest zawsze dodatnie?

Upraszczamy wyrażenie. Jeśli zostaje sama liczba, wyrażenie ma tę wartość dla każdej wartości zmiennej: $x^2 - (x^2 - 3x + 2) - 3x = x^2 - x^2 + 3x - 2 - 3x = -2$. Kwadrat żadnej liczby nie jest ujemny, więc $x^2 + 2$ ma zawsze wartość co najmniej 2, czyli dodatnią.

18.Kiedy liczba spełnia równanie?

Liczba spełnia równanie, gdy po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej wartości lewej strony (L) i prawej strony (P) są równe. Liczymy osobno L i P. Dla $x^2 + 2 = 3x$ i $x = 2$: $L = 2^2 + 2 = 6$, $P = 3 \cdot 2 = 6$, $L = P$, więc 2 spełnia równanie.

19.Co to znaczy rozwiązać równanie?

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie. Rozwiązując je, zapisujemy coraz prostsze równania równoważne danemu, czyli mające te same rozwiązania.

20.Jakie przekształcenia dają równanie równoważne?

Do obu stron równania możemy dodać albo od obu stron odjąć tę samą liczbę lub to samo wyrażenie, a także obie strony pomnożyć albo podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Przekształcenie zapisujemy za kreską, np. $| + 3$, $| : 4$.

21.Jak rozwiązać równanie pierwszego stopnia?

Opuszczamy nawiasy, wyrazy z niewiadomą przenosimy na jedną stronę, a liczby na drugą, redukujemy i dzielimy przez współczynnik przy $x$. Np. $5x - 2 = 2(x + 5)$, $5x - 2 = 2x + 10 \quad | - 2x + 2$, $3x = 12 \quad | : 3$, $x = 4$. Sprawdzenie: $L = 18$, $P = 18$.

22.Jak rozwiązać równanie z ułamkami zwykłymi?

Mnożymy obie strony (każdy wyraz) przez wspólny mianownik wszystkich ułamków, żeby pozbyć się ułamków. Licznik ułamka, przed którym stoi minus, bierzemy w nawias: $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 2 \quad | \cdot 6$, $3x - 2(x - 1) = 12$, $3x - 2x + 2 = 12$, $x = 10$.

23.Jak rozwiązać równanie z ułamkami dziesiętnymi?

Można liczyć wprost na ułamkach dziesiętnych albo najpierw pomnożyć każdy wyraz po obu stronach przez 10 (albo 100), żeby pozbyć się przecinków: $0{,}4x + 3 = 0{,}1x \quad | \cdot 10$, $4x + 30 = x$, $3x = -30$, $x = -10$.

24.Równanie sprzeczne

Równanie sprzeczne to równanie, które nie ma rozwiązań - nie spełnia go żadna liczba. Po przekształceniach otrzymujemy fałszywą równość liczb, np. z $x + 2 = x + 7$ po odjęciu $x$ zostaje $2 = 7$.

25.Równanie tożsamościowe

Równanie tożsamościowe to równanie, które spełnia każda liczba - ma nieskończenie wiele rozwiązań. Po przekształceniach otrzymujemy prawdziwą równość, np. $3(x - 1) = 3x - 3$ daje $3x - 3 = 3x - 3$, czyli $0 = 0$.

26.Ile rozwiązań może mieć równanie pierwszego stopnia?

Porządkujemy równanie do postaci $ax = b$. Gdy $a \neq 0$, ma ono jedno rozwiązanie $x = \frac{b}{a}$. Gdy $a = 0$ i $b \neq 0$, nie ma rozwiązań (jest sprzeczne). Gdy $a = 0$ i $b = 0$, ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest tożsamościowe).

27.Równania z iloczynami nawiasów sprowadzalne do pierwszego stopnia

Wymnażamy nawiasy po obu stronach. Często wyrazy z $x^2$ się redukują i zostaje równanie pierwszego stopnia: $x(x + 4) = (x + 1)(x + 2)$, $x^2 + 4x = x^2 + 3x + 2 \quad | - x^2 - 3x$, $x = 2$.

28.Jak wyznaczyć wielkość ze wzoru?

Traktujemy wzór jak równanie, w którym niewiadomą jest szukana litera, i przekształcamy go, aż zostanie ona sama po jednej stronie. Obwód trójkąta równoramiennego o ramieniu $a$ i podstawie $b$ to $O = 2a + b$: $O - b = 2a$, więc $a = \frac{O - b}{2}$. Z $P = \frac{a \cdot h}{2}$: $2P = a \cdot h$, więc $h = \frac{2P}{a}$.

29.Jak wyznaczyć podstawę trapezu ze wzoru na pole?

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \quad | \cdot 2$, $2P = (a + b) \cdot h \quad | : h$, $\frac{2P}{h} = a + b \quad | - a$, $b = \frac{2P}{h} - a$. Np. dla $P = 24$, $h = 4$, $a = 5$: $b = \frac{48}{4} - 5 = 7$.

30.Przekształcanie wzoru na prędkość $v = \frac{s}{t}$

$v$ to średnia prędkość, $s$ - przebyta droga, $t$ - czas ruchu. Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ wynika $s = v \cdot t$ oraz $t = \frac{s}{v}$. Np. 150 km w 2 h to $v = 75~\mathrm{km/h}$. Średnia prędkość to cała droga podzielona przez cały czas, a nie średnia arytmetyczna prędkości.

31.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania?

Oznaczamy niewiadomą literą, inne wielkości zapisujemy za jej pomocą, układamy i rozwiązujemy równanie, sprawdzamy wynik z treścią i piszemy odpowiedź. Np. kurtka jest o 60 zł droższa od czapki, razem kosztują 140 zł: $x + (x + 60) = 140$, $2x = 80$, $x = 40$. Czapka kosztuje 40 zł, a kurtka 100 zł.

32.Proporcja

Proporcja to równość dwóch ilorazów: $a : b = c : d$ albo $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, gdzie $b \neq 0$ i $d \neq 0$. Czytamy: $a$ ma się do $b$ jak $c$ do $d$. Np. $3 : 4 = 6 : 8$.

33.Wyrazy skrajne i wyrazy środkowe proporcji

Proporcję tworzą cztery wyrazy. W $a : b = c : d$ wyrazy $a$ i $d$ to wyrazy skrajne (na brzegach), a $b$ i $c$ - wyrazy środkowe. W zapisie $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ skrajne to licznik pierwszego i mianownik drugiego ułamka. W $2 : 5 = 6 : 15$ skrajne są 2 i 15, a środkowe 5 i 6.

34.Własność proporcji

W każdej proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych: jeżeli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, to $a \cdot d = b \cdot c$. Tak sprawdzamy proporcję: $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$, bo $4 \cdot 15 = 60$ i $6 \cdot 10 = 60$.

35.Jak rozwiązać równanie w postaci proporcji?

Zapisujemy założenie, że mianowniki są różne od zera, korzystamy z własności proporcji i rozwiązujemy otrzymane równanie: $\frac{3}{x} = \frac{6}{x + 2}$, $x \neq 0$ i $x \neq -2$; $3(x + 2) = 6x$, $3x + 6 = 6x$, $x = 2$. Na koniec sprawdzamy, czy rozwiązanie spełnia założenia.

36.Zadania z proporcją typu „na każde 2 … przypadają 3 …”

Taki zapis oznacza, że stosunek dwóch liczb jest równy $2 : 3$. Gdy np. dziewcząt jest $x$, a chłopców o 5 więcej, to $\frac{x}{x + 5} = \frac{2}{3}$, $3x = 2(x + 5)$, $3x = 2x + 10$, $x = 10$. Dziewcząt jest 10, a chłopców 15, i rzeczywiście $10 : 15 = 2 : 3$.

37.Wielkości wprost proporcjonalne

Jeśli wraz ze wzrostem jednej wielkości druga rośnie tyle samo razy, to wielkości są wprost proporcjonalne. Ich iloraz jest wtedy stały. Na rysunku zeszyt kosztuje 3 zł: punkty A(1, 3), B(2, 6), C(3, 9), D(4, 12) (liczba zeszytów, kwota) leżą na półprostej wychodzącej z punktu O(0, 0).

38.Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych

M.in. liczba jednakowych bułek i kwota do zapłaty, długość boku kwadratu i jego obwód, liczba jednakowych butelek i objętość płynu, który się w nich zmieści, odległość na mapie i w terenie, czas jazdy ze stałą prędkością i przebyta droga. Bok kwadratu i jego pole NIE są wprost proporcjonalne: bok 2 razy dłuższy daje pole 4 razy większe.

39.Jak sprawdzić w tabelce, czy wielkości są wprost proporcjonalne?

Dzielimy każdą wartość drugiej wielkości przez odpowiadającą jej wartość pierwszej. Jeśli zawsze wychodzi ten sam iloraz, wielkości są wprost proporcjonalne. Np. 2 l soku - 5 zł, 4 l - 10 zł, 6 l - 15 zł: iloraz zawsze wynosi 2,50 zł za litr. Z dowolnych dwóch kolumn takiej tabelki można ułożyć proporcję.

40.Jak rozwiązać zadanie z wielkościami wprost proporcjonalnymi?

Zapisujemy dane w tabelce w tych samych jednostkach (np. 1 kg = 1000 g), układamy proporcję, korzystamy z własności proporcji i obliczamy niewiadomą. Np. 4 kg jabłek kosztują 10 zł, ile kosztuje 6 kg: $\frac{10}{4} = \frac{x}{6}$, $4x = 60$, $x = 15$. Odpowiedź: 15 zł.