Objętość, litry i mililitry - Matematyka z plusem 4

1.Objętość

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła, płyn albo gaz. O naczyniu mówimy, że ma pojemność - to tyle, ile się w nim mieści. Do wiadra wejdzie więcej wody niż do kubka, więc wiadro ma większą pojemność, a woda w pełnym wiadrze ma większą objętość.

2.Jak porównać objętości dwóch brył?

Wypełniamy obie bryły szczelnie jednakowymi figurami przestrzennymi, najczęściej jednakowymi sześcianami. Większą objętość ma ta bryła, w której mieści się więcej takich sześcianów. Gdy w obu mieści się tyle samo sześcianów, ich objętości są równe.

3.Objętość bryły zbudowanej z jednakowych sześcianów

Objętość takiej bryły to liczba sześcianów, z których ją zbudowano. Jednostką jest wtedy jeden taki sześcian. Na przykład bryła z 9 jednakowych sześcianów ma objętość 9 jednostek, a bryła z 14 takich sześcianów - 14 jednostek, czyli o 5 jednostek więcej.

4.Milimetr sześcienny i centymetr sześcienny

$1~\mathrm{mm^3}$ (1 milimetr sześcienny) to objętość sześcianu o krawędzi 1 mm. $1~\mathrm{cm^3}$ (1 centymetr sześcienny) to objętość sześcianu o krawędzi 1 cm. W tych jednostkach podajemy objętości małych rzeczy, np. koralika (w $\mathrm{mm^3}$) albo gumki do mazania (w $\mathrm{cm^3}$).

5.Co oznacza zapis $V = 12~\mathrm{cm^3}$?

Literą $V$ oznaczamy objętość. Zapis $V = 12~\mathrm{cm^3}$ czytamy: objętość wynosi 12 centymetrów sześciennych. Taką objętość ma bryła zbudowana z 12 sześcianów o krawędzi 1 cm. Mała trójka przy cm mówi, że to jednostka objętości, a nie długości.

6.Decymetr sześcienny, metr sześcienny i kilometr sześcienny

$1~\mathrm{dm^3}$ (1 decymetr sześcienny) to objętość sześcianu o krawędzi 1 dm. $1~\mathrm{m^3}$ (1 metr sześcienny) to objętość sześcianu o krawędzi 1 m. $1~\mathrm{km^3}$ (1 kilometr sześcienny) to objętość sześcianu o krawędzi 1 km. Tych jednostek używamy do większych brył i dużych zbiorników.

7.Jednostki objętości od najmniejszej do największej

Od najmniejszej: $\mathrm{mm^3}$, $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$, $\mathrm{m^3}$, $\mathrm{km^3}$. Każda jednostka to objętość sześcianu o krawędzi 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m albo 1 km. Im dłuższa krawędź takiego sześcianu, tym większa jednostka objętości.

8.Jak dobrać jednostkę objętości?

Jednostkę dobieramy do wielkości tego, co mierzymy. Bardzo małe rzeczy, np. koralik, mierzymy w $\mathrm{mm^3}$, a małe, np. kostkę do gry, w $\mathrm{cm^3}$. Wiadro albo akwarium - w $\mathrm{dm^3}$. Pokój albo kontener - w $\mathrm{m^3}$, a wodę w jeziorze czy morzu - w $\mathrm{km^3}$.

9.Liczenie sześcianów w bryle warstwami

Liczymy sześciany w każdej poziomej warstwie osobno i dodajemy wyniki. Nie zapominamy o sześcianach schowanych z tyłu i pod spodem: każdy sześcian z górnej warstwy musi na czymś stać. Na przykład dolna warstwa ma 8 sześcianów, a górna 3, więc bryła ma $8 + 3 = 11$ sześcianów.

10.Bryła z jednakowych kostek o znanej objętości

Mnożymy liczbę kostek przez objętość jednej kostki. Na przykład każda kostka ma objętość $3~\mathrm{cm^3}$, a bryła składa się z 6 kostek: $6 \cdot 3 = 18$, więc $V = 18~\mathrm{cm^3}$. Gdy kostki mają krawędź 1 dm, objętość bryły w $\mathrm{dm^3}$ to po prostu liczba kostek.

11.Czy bryły o różnych kształtach mogą mieć tę samą objętość?

Tak. Z tych samych 10 sześcianów o krawędzi 1 cm można ułożyć wieżę, schodki albo płaski prostopadłościan. Każda z tych brył ma objętość $10~\mathrm{cm^3}$, bo składa się z tej samej liczby takich samych sześcianów. Objętość nie zależy od tego, jak ułożymy sześciany.

12.Objętość a pole powierzchni bryły

Pole powierzchni mówi, ile papieru trzeba na oklejenie wszystkich ścian bryły - podajemy je np. w $\mathrm{cm^2}$. Objętość mówi, ile sześcianów mieści się w bryle - podajemy ją np. w $\mathrm{cm^3}$. Bryły o równych objętościach mogą mieć różne pola powierzchni: 4 sześciany o krawędzi 1 cm w rzędzie mają pole $18~\mathrm{cm^2}$, a ułożone w kwadrat - $16~\mathrm{cm^2}$.

13.Objętość prostopadłościanu - liczenie warstwami

Prostopadłościan z sześcianów o krawędzi 1 cm dzielimy na poziome warstwy. W jednej warstwie jest tyle sześcianów, ile wynosi iloczyn długości i szerokości. Mnożymy go przez liczbę warstw, czyli wysokość. Dla $4~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ (na rysunku): warstwa ma $4 \cdot 3 = 12$ sześcianów, 2 warstwy - $2 \cdot 12 = 24$, więc $V = 24~\mathrm{cm^3}$.

14.Objętość prostopadłościanu

Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka - mnożymy jego długość, szerokość i wysokość. Wymiary muszą być wyrażone w tej samej jednostce. Na przykład prostopadłościan o wymiarach $5~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ (na rysunku) ma objętość $5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$, czyli $V = 30~\mathrm{cm^3}$.

15.Jednostka objętości a jednostka wymiarów

Gdy wymiary są w centymetrach, objętość wychodzi w $\mathrm{cm^3}$, gdy w decymetrach - w $\mathrm{dm^3}$, a gdy w metrach - w $\mathrm{m^3}$. Na przykład pokój $5~\mathrm{m} \times 3~\mathrm{m} \times 3~\mathrm{m}$ ma objętość $5 \cdot 3 \cdot 3 = 45$, czyli $45~\mathrm{m^3}$ - tyle metrów sześciennych powietrza się w nim mieści.

16.Wymiary podane w różnych jednostkach

Przed mnożeniem zamieniamy wszystkie wymiary na tę samą jednostkę. Na przykład prostopadłościan $5~\mathrm{cm} \times 40~\mathrm{mm} \times 2~\mathrm{cm}$: najpierw $40~\mathrm{mm} = 4~\mathrm{cm}$, potem $5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$, więc $V = 40~\mathrm{cm^3}$. Bez zamiany wyszłoby $5 \cdot 40 \cdot 2 = 400$ - dziesięć razy za dużo.

17.Objętość sześcianu

Sześcian ma wszystkie krawędzie równej długości, więc jego objętość to iloczyn trzech jednakowych czynników - długości krawędzi. Na przykład sześcian o krawędzi 3 cm (na rysunku) ma objętość $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, czyli $V = 27~\mathrm{cm^3}$. To sześcian liczby 3: $3^3 = 27$.

18.Krawędź sześcianu, gdy znamy jego objętość

Szukamy liczby, która pomnożona trzy razy przez siebie daje objętość. Pomagają sześciany liczb: $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $10^3 = 1000$. Na przykład sześcian o objętości $216~\mathrm{cm^3}$ ma krawędź 6 cm, bo $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

19.Trzecia krawędź prostopadłościanu, gdy znamy jego objętość

Mnożymy dwie znane krawędzie - tyle sześcianów jest w jednej warstwie. Potem dzielimy objętość przez ten iloczyn - wychodzi liczba warstw, czyli trzecia krawędź. Na przykład $V = 120~\mathrm{cm^3}$, a krawędzie mają 4 cm i 5 cm: $4 \cdot 5 = 20$, $120 : 20 = 6$, więc trzecia krawędź ma 6 cm. Sprawdzenie: $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$.

20.Wymiary prostopadłościanu z dwóch sąsiednich ścian

Sąsiednie ściany mają wspólną krawędź, więc jedna długość powtarza się w wymiarach obu ścian. Bierzemy ją tylko raz. Na przykład ściany $9~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ i $2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ mają wspólną krawędź 2 cm. Wymiary bryły to 9 cm, 2 cm i 3 cm, a $9 \cdot 2 \cdot 3 = 54$, więc $V = 54~\mathrm{cm^3}$.

21.Ile kostek zmieści się w pudełku?

Sprawdzamy, ile kostek mieści się wzdłuż każdej krawędzi pudełka, i mnożymy te trzy liczby. Na przykład w pudełku $6~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ kostki o krawędzi 2 cm mieszczą się 3 razy wzdłuż długości, 2 razy wzdłuż szerokości i 1 raz wzdłuż wysokości: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ kostek. Sprawdzenie: pudełko ma objętość $48~\mathrm{cm^3}$, a jedna kostka $8~\mathrm{cm^3}$, więc $48 : 8 = 6$.

22.Objętość bryły podzielonej na części lub złożonej z części

Objętość całej bryły jest równa sumie objętości jej części. Gdy bryłę dzielimy na kilka jednakowych części, każda ma objętość całości podzieloną przez liczbę części. Na przykład prostopadłościan o objętości $60~\mathrm{cm^3}$ przecięty na 3 jednakowe części daje części po $20~\mathrm{cm^3}$, bo $60 : 3 = 20$.

23.Litr

Litr (w skrócie l) to jednostka objętości. Często używamy jej do podawania objętości płynów oraz pojemności naczyń i zbiorników. Na przykład karton soku ma zwykle $1~\mathrm{l}$, duża butelka wody - $1{,}5~\mathrm{l}$, a bak samochodu - około $50~\mathrm{l}$.

24.Mililitr

Mililitr (w skrócie ml) to 1000 razy mniej niż litr: $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$. Mililitrów używamy, gdy płynu jest niewiele, np. lekarstwa w strzykawce, syropu w małej butelce albo napoju w puszce (zwykle $330~\mathrm{ml}$).

25.Ile mieszczą znane naczynia?

Łyżeczka do herbaty mieści około $5~\mathrm{ml}$, a łyżka stołowa - około $15~\mathrm{ml}$. Szklanka mieści około $250~\mathrm{ml}$, karton mleka - $1~\mathrm{l}$, a wiadro - około $10~\mathrm{l}$. Takie przykłady pomagają sprawdzić, czy wynik zadania ma sens.

26.Litr a decymetr sześcienny

1 litr to objętość sześcianu o krawędzi 1 dm, czyli 10 cm: $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$. Takie sześcienne naczynie (na rysunku) mieści dokładnie $1~\mathrm{l}$ wody. Dlatego objętość w $\mathrm{dm^3}$ to ta sama liczba litrów, np. $7~\mathrm{dm^3} = 7~\mathrm{l}$.

27.Dlaczego $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$?

Sześcian o krawędzi 1 dm, czyli 10 cm, wypełniamy kostkami o krawędzi 1 cm. Na dnie mieści się $10 \cdot 10 = 100$ kostek, a takich warstw jest 10. Razem $10 \cdot 100 = 1000$ kostek, więc $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$. Tak samo $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{cm^3}$.

28.Mililitr a centymetr sześcienny

1 mililitr to objętość sześcianu o krawędzi 1 cm: $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$. Dlatego objętość w $\mathrm{cm^3}$ to ta sama liczba mililitrów, np. $250~\mathrm{cm^3} = 250~\mathrm{ml}$. Strzykawka z napisem 5 ml mieści $5~\mathrm{cm^3}$ lekarstwa.

29.Zależności między jednostkami objętości

$1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$, $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$, $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{cm^3}$. W drugą stronę: $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$, $1~\mathrm{ml} = 0{,}001~\mathrm{l}$ i $1~\mathrm{ml} = 0{,}001~\mathrm{dm^3}$. Litr i decymetr sześcienny to ta sama objętość, tak samo mililitr i centymetr sześcienny.

30.Zamiana litrów na mililitry

Litry mnożymy przez 1000, bo $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$. Na przykład $4~\mathrm{l} = 4000~\mathrm{ml}$, a $12~\mathrm{l} = 12\,000~\mathrm{ml}$. Tak samo zamieniamy $\mathrm{dm^3}$ na $\mathrm{cm^3}$: $3~\mathrm{dm^3} = 3000~\mathrm{cm^3}$. Objętość w litrach i mililitrach zamieniamy po kawałku: $2~\mathrm{l}~50~\mathrm{ml} = 2000~\mathrm{ml} + 50~\mathrm{ml} = 2050~\mathrm{ml}$.

31.Zamiana mililitrów na litry

Mililitry dzielimy przez 1000. Gdy liczba kończy się trzema zerami, skreślamy je: $5000~\mathrm{ml} = 5~\mathrm{l}$, $20\,000~\mathrm{ml} = 20~\mathrm{l}$. Gdy zostaje reszta, zapisujemy litry i mililitry: $2300~\mathrm{ml} = 2~\mathrm{l}~300~\mathrm{ml}$, czyli $2{,}3~\mathrm{l}$.

32.Części litra zapisane ułamkiem dziesiętnym

Litr ma 1000 ml, więc $1~\mathrm{ml} = 0{,}001~\mathrm{l}$, a trzy cyfry po przecinku oznaczają mililitry. Dopisujemy zera, aż po przecinku będą 3 cyfry: $0{,}7~\mathrm{l} = 0{,}700~\mathrm{l} = 700~\mathrm{ml}$, $0{,}25~\mathrm{l} = 0{,}250~\mathrm{l} = 250~\mathrm{ml}$. Liczba przed przecinkiem to całe litry: $4{,}2~\mathrm{l} = 4{,}200~\mathrm{l} = 4~\mathrm{l}~200~\mathrm{ml} = 4200~\mathrm{ml}$. Tak samo $1{,}8~\mathrm{dm^3} = 1800~\mathrm{cm^3}$.

33.Pół litra, ćwierć litra i trzy czwarte litra

Pół litra, czyli $\frac{1}{2}~\mathrm{l}$, to połowa z 1000 ml, czyli 500 ml. Ćwierć litra, czyli $\frac{1}{4}~\mathrm{l}$, to $1000 : 4 = 250$, czyli 250 ml. Trzy czwarte litra, czyli $\frac{3}{4}~\mathrm{l}$, to $3 \cdot 250 = 750$, czyli 750 ml. Na rysunku zamalowano kolejno $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ i $\frac{3}{4}$ litra.

34.Porównywanie objętości zapisanych w różnych jednostkach

Najpierw zapisujemy obie objętości w tej samej jednostce, najlepiej w mililitrach. Na przykład co jest więcej: $0{,}3~\mathrm{l}$ czy $280~\mathrm{cm^3}$? Mamy $0{,}3~\mathrm{l} = 300~\mathrm{ml}$ i $280~\mathrm{cm^3} = 280~\mathrm{ml}$. $300 > 280$, więc więcej jest $0{,}3~\mathrm{l}$.

35.Objętość prostopadłościanu w litrach

Wymiary zamieniamy na decymetry, bo $1~\mathrm{dm^3} = 1~\mathrm{l}$. Na przykład akwarium $4~\mathrm{dm} \times 2~\mathrm{dm} \times 3~\mathrm{dm}$ (na rysunku) ma objętość $4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$, czyli $24~\mathrm{dm^3}$, więc mieści $24~\mathrm{l}$. Gdy wymiary są w cm albo w m, najpierw je zamieniamy: $10~\mathrm{cm} = 1~\mathrm{dm}$, $1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm}$.

36.Wymiary w centymetrach - objętość w mililitrach i litrach

Gdy wymiary są w centymetrach, objętość wychodzi w $\mathrm{cm^3}$, czyli od razu w mililitrach. Litry otrzymamy, dzieląc przez 1000. Na przykład pudełko $30~\mathrm{cm} \times 20~\mathrm{cm} \times 50~\mathrm{cm}$ ma objętość $30 \cdot 20 \cdot 50 = 30\,000$, czyli $30\,000~\mathrm{cm^3} = 30\,000~\mathrm{ml} = 30~\mathrm{l}$.

37.Ile razy napełnimy mniejsze naczynie?

Obie pojemności zapisujemy w tych samych jednostkach, zwykle w ml, i dzielimy większą przez mniejszą. Na przykład z $2~\mathrm{l}$ soku napełnimy szklanki po 250 ml: $2~\mathrm{l} = 2000~\mathrm{ml}$, a $2000 : 250 = 8$, więc 8 szklanek. W drugą stronę mnożymy: 4 kubki po 300 ml to $4 \cdot 300 = 1200~\mathrm{ml}$, czyli $1{,}2~\mathrm{l}$.

38.Odczytywanie objętości z podziałki naczynia

Najpierw ustalamy, ile oznacza jeden odstęp między kreskami. Gdy od 0 do $1~\mathrm{l}$ jest 10 równych odstępów, jeden odstęp to $1000 : 10 = 100$, czyli 100 ml. Gdy od dna do powierzchni wody są 4 takie odstępy, w naczyniu jest $4 \cdot 100 = 400~\mathrm{ml}$, czyli $0{,}4~\mathrm{l}$. Na rysunku podziałka od 0 do 1000 ml.

39.Objętość wody w naczyniu do pewnej wysokości

Woda w prostopadłościennym naczyniu też ma kształt prostopadłościanu. Mnożymy długość i szerokość dna przez wysokość wody, a nie całego naczynia. Na przykład akwarium ma dno $5~\mathrm{dm} \times 3~\mathrm{dm}$, a woda sięga 2 dm: $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$, czyli $30~\mathrm{dm^3} = 30~\mathrm{l}$. Tak samo liczymy, ile wody ubędzie, gdy jej poziom się obniży.

40.Ile waży woda?

$1~\mathrm{ml}$ wody waży 1 g, a $1~\mathrm{l}$ wody waży 1 kg. Dzięki temu masę wody łatwo obliczyć z jej objętości: $5~\mathrm{l}$ wody waży 5 kg, a 300 ml wody - 300 g. Wiadro z $10~\mathrm{l}$ wody waży więc trochę ponad 10 kg, bo trzeba doliczyć samo wiadro.