Pola figur - Matematyka z plusem 4

1.Pole figury

Pole figury mówi, jak dużą powierzchnię zajmuje ta figura. Pola figur porównujemy, wypełniając je jednakowymi figurami, tzw. figurami jednostkowymi, np. kratkami. Figura, w której mieści się więcej takich kratek, ma większe pole.

2.Jednostka pola

Jednostką pola może być powierzchnia, jaką zajmuje jedna kratka albo jeden mały trójkącik. Pole figury to liczba takich jednostek, które się w niej mieszczą. Na przykład figura złożona z 9 jednakowych kwadratów ma pole 9 jednostek, gdy jednostką jest jeden taki kwadrat.

3.Jak porównać pola dwóch figur?

Wypełniamy obie figury tymi samymi figurami jednostkowymi, np. kratkami, i liczymy, ile ich mieści się w każdej z nich. Większe pole ma figura, w której mieści się więcej jednostek. Na przykład figura z 15 kratek ma większe pole niż figura z 13 takich samych kratek.

4.Czy figury o różnych kształtach mogą mieć równe pola?

Tak. Pole zależy od tego, ile jednostek mieści się w figurze, a nie od jej kształtu. Na przykład prostokąt z 3 rzędów po 4 kratki i figura w kształcie litery L ułożona z 12 kratek mają równe pola - po 12 kratek, choć wyglądają zupełnie inaczej.

5.Dlaczego figury jednostkowe muszą być jednakowe?

Pole liczymy w jednakowych jednostkach. Gdy figura składa się z kwadratów różnej wielkości, nie wystarczy ich policzyć. Na przykład prostokąt złożony z jednego dużego kwadratu o boku 2 kratek i 2 pojedynczych kratek to 3 kwadraty, ale duży kwadrat zajmuje 4 kratki, więc pole wynosi $4 + 2 = 6$ kratek.

6.Ile kwadratowych płytek potrzeba na prostokątną podłogę?

Liczymy, ile płytek zmieści się wzdłuż jednego boku podłogi i ile wzdłuż drugiego, a potem mnożymy te liczby. Na przykład podłoga ma wymiary 120 cm i 150 cm, a płytka jest kwadratem o boku 30 cm: $120 : 30 = 4$ i $150 : 30 = 5$, więc potrzeba $4 \cdot 5 = 20$ płytek.

7.Centymetr kwadratowy i milimetr kwadratowy

Kwadrat o boku 1 cm ma pole $1~\mathrm{cm^2}$ (1 centymetr kwadratowy), a kwadrat o boku 1 mm ma pole $1~\mathrm{mm^2}$ (1 milimetr kwadratowy). Gdy figura składa się z 14 kwadratów o polu $1~\mathrm{cm^2}$, jej pole jest równe $14~\mathrm{cm^2}$. Zapisujemy to tak: $P = 14~\mathrm{cm^2}$.

8.Decymetr kwadratowy, metr kwadratowy i kilometr kwadratowy

Pola większych figur podajemy w większych jednostkach. Kwadrat o boku 1 dm ma pole $1~\mathrm{dm^2}$ (1 decymetr kwadratowy), kwadrat o boku 1 m ma pole $1~\mathrm{m^2}$ (1 metr kwadratowy), a kwadrat o boku 1 km ma pole $1~\mathrm{km^2}$ (1 kilometr kwadratowy).

9.Jakiej jednostki pola użyć?

Jednostkę pola dobieramy do wielkości powierzchni. W $\mathrm{mm^2}$ i $\mathrm{cm^2}$ podajemy pola małych figur, np. znaczka albo kartki, w $\mathrm{dm^2}$ - np. powierzchnię lustra, w $\mathrm{m^2}$ - powierzchnię pokoju, a w $\mathrm{km^2}$ - powierzchnię miasta albo kraju. Zdanie „pokój ma $12~\mathrm{cm^2}$” nie ma sensu, bo pokój mierzymy w metrach kwadratowych.

10.Pole prostokąta jako rzędy kwadratów

Prostokąt o wymiarach $5~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$ dzielimy na kwadraty o boku 1 cm. Mieszczą się w nim 4 rzędy po 5 kwadratów, każdy o polu $1~\mathrm{cm^2}$. Kwadratów jest $4 \cdot 5 = 20$, więc $P = 20~\mathrm{cm^2}$.

11.Jak obliczyć pole prostokąta?

Pole prostokąta obliczamy, mnożąc jego długość przez szerokość. Obie długości muszą być wyrażone w tej samej jednostce, a wynik podajemy w odpowiedniej jednostce pola. Na przykład dla prostokąta o wymiarach $9~\mathrm{m} \times 6~\mathrm{m}$: $9 \cdot 6 = 54$, więc $P = 54~\mathrm{m^2}$.

12.Pole prostokąta, gdy boki podano w różnych jednostkach

Najpierw zamieniamy długości na tę samą jednostkę, a potem mnożymy. Na przykład prostokąt ma wymiary 25 mm i 4 cm. Zamieniamy: $4~\mathrm{cm} = 40~\mathrm{mm}$. Obliczamy: $25 \cdot 40 = 1000$, więc $P = 1000~\mathrm{mm^2}$. Mnożenie $25 \cdot 4$ bez zamiany jednostek daje zły wynik.

13.Pole kwadratu

Kwadrat jest prostokątem o równych bokach, więc jego pole obliczamy, mnożąc długość boku przez nią samą. Na przykład dla kwadratu o boku 9 cm: $9 \cdot 9 = 81$, więc $P = 81~\mathrm{cm^2}$.

14.Pole a obwód prostokąta

Obwód to suma długości wszystkich boków i podajemy go w jednostkach długości, np. w cm. Pole mówi, ile kwadratów jednostkowych mieści się w figurze, i podajemy je w jednostkach pola, np. w $\mathrm{cm^2}$. Prostokąt $4~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ ma obwód $2 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 14$, czyli 14 cm, a pole $4 \cdot 3 = 12$, czyli $12~\mathrm{cm^2}$.

15.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znamy pole i jeden bok?

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków, więc pole dzielimy przez znany bok. Na przykład prostokąt ma pole $42~\mathrm{m^2}$, a jeden bok ma 6 m: $42 : 6 = 7$, więc drugi bok ma 7 m. Sprawdzamy: $6 \cdot 7 = 42$.

16.Jak obliczyć pole prostokąta, gdy znamy obwód i jeden bok?

Najpierw obliczamy drugi bok: obwód dzielimy przez 2 i od wyniku odejmujemy znany bok. Potem mnożymy boki. Na przykład obwód wynosi 30 cm, a jeden bok ma 9 cm: $30 : 2 = 15$ i $15 - 9 = 6$, więc drugi bok ma 6 cm, a pole $9 \cdot 6 = 54$, czyli $54~\mathrm{cm^2}$.

17.Jak obliczyć pole kwadratu, gdy znamy jego obwód?

Kwadrat ma 4 równe boki, więc długość boku to obwód podzielony przez 4. Potem mnożymy bok przez bok. Na przykład kwadrat ma obwód 20 cm: $20 : 4 = 5$, więc bok ma 5 cm, a pole $5 \cdot 5 = 25$, czyli $25~\mathrm{cm^2}$.

18.Jak obliczyć obwód kwadratu, gdy znamy jego pole?

Szukamy liczby, która pomnożona przez siebie daje pole - to długość boku. Potem mnożymy bok przez 4. Na przykład kwadrat ma pole $49~\mathrm{cm^2}$: $7 \cdot 7 = 49$, więc bok ma 7 cm, a obwód $4 \cdot 7 = 28$, czyli 28 cm.

19.Pole figury złożonej z prostokątów - dzielenie na części

Figurę dzielimy na prostokąty, obliczamy pole każdego z nich i dodajemy wyniki. Na przykład figurę w kształcie litery L dzielimy na prostokąt o wymiarach 6 m i 2 m oraz prostokąt o wymiarach 2 m i 3 m: $6 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18$, więc $P = 18~\mathrm{m^2}$.

20.Pole figury - od prostokąta odejmujemy brakującą część

Figurę uzupełniamy do prostokąta, obliczamy jego pole i odejmujemy pole części, której brakuje. Na przykład z prostokąta o wymiarach 7 cm i 4 cm wycięto w rogu kwadrat o boku 2 cm. Prostokąt ma pole $7 \cdot 4 = 28$, czyli $28~\mathrm{cm^2}$. Brakuje kwadratu o polu $2 \cdot 2 = 4$, czyli $4~\mathrm{cm^2}$, więc $28 - 4 = 24$ i $P = 24~\mathrm{cm^2}$.

21.Prostokąty o tym samym polu mogą mieć różne obwody

Z 16 kwadratów o polu $1~\mathrm{cm^2}$ ułożymy prostokąty o wymiarach $1~\mathrm{cm} \times 16~\mathrm{cm}$, $2~\mathrm{cm} \times 8~\mathrm{cm}$ i $4~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$. Każdy z nich ma pole $16~\mathrm{cm^2}$, ale ich obwody są różne: 34 cm, 20 cm i 16 cm. Równe pola nie oznaczają równych obwodów.

22.Pole trójkąta, który powstał z przecięcia prostokąta wzdłuż przekątnej

Gdy prostokąt przetniemy wzdłuż przekątnej, otrzymamy dwa jednakowe trójkąty. Każdy z nich ma pole równe połowie pola prostokąta. Na rysunku boki przy kącie prostym mają 4 cm i 3 cm. Prostokąt o takich wymiarach ma pole $4 \cdot 3 = 12$, więc trójkąt ma pole $12 : 2 = 6$, czyli $6~\mathrm{cm^2}$.

23.Czy pole się zmienia, gdy figurę rozetniemy i ułożymy inaczej?

Nie. Gdy figurę rozetniemy na części i ułożymy z nich nową figurę, niczego nie dokładając ani nie wyrzucając, nowa figura ma takie samo pole. Na przykład gdy z prostokąta o polu $10~\mathrm{cm^2}$ wytniemy trójkąt i dokleimy go z drugiej strony, otrzymamy figurę o polu $10~\mathrm{cm^2}$.

24.Jak policzyć pole figury z całych kratek i części kratek?

Połówka kratki to np. trójkąt, który powstaje, gdy kratkę przetniemy wzdłuż przekątnej, albo prostokącik o bokach 1 kratka i pół kratki. Dwie połówki dają razem jedną kratkę, a cztery ćwiartki, np. kwadraciki o boku równym połowie boku kratki, też dają jedną kratkę. Liczymy osobno całe kratki i części. Na przykład 5 całych kratek i 6 połówek to $5 + 6 : 2 = 5 + 3 = 8$ kratek.

25.Jak oszacować pole figury o krzywym brzegu?

Figurę rysujemy albo obrysowujemy na kratkach. Liczymy kratki, które leżą całe wewnątrz figury, i kratki, które figura zajmuje choć w części. Pole jest większe od pierwszej liczby i mniejsze od drugiej. Na przykład koło narysowane w kwadracie o boku 6 kratek ma pole mniejsze niż $6 \cdot 6 = 36$ kratek.

26.Jak obliczyć pole figury, która ma jeden bok ukośny?

Dzielimy figurę na prostokąt i trójkąt, który jest połową prostokąta. Na rysunku górny bok ma 3 cm, lewy 4 cm, a dolny 5 cm. Prostokąt $3~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$ ma pole $12~\mathrm{cm^2}$. Zostaje trójkąt - połowa prostokąta $2~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$ (bo $5 - 3 = 2$), czyli $8 : 2 = 4$, więc $4~\mathrm{cm^2}$. Razem $12 + 4 = 16$, więc $P = 16~\mathrm{cm^2}$.

27.Jak obliczyć pole w terenie na podstawie planu albo mapy?

Najpierw zamieniamy wymiary z planu na wymiary w terenie, a dopiero potem mnożymy. Na przykład w skali $1 : 200$ pokój ma na planie wymiary 2 cm i 3 cm. W rzeczywistości to $2 \cdot 200 = 400~\mathrm{cm} = 4~\mathrm{m}$ i $3 \cdot 200 = 600~\mathrm{cm} = 6~\mathrm{m}$, więc pole pokoju to $4 \cdot 6 = 24$, czyli $24~\mathrm{m^2}$. Gdy 1 cm na mapie to 2 km, $1~\mathrm{cm^2}$ na mapie to $2 \cdot 2 = 4$, czyli $4~\mathrm{km^2}$.