Ułamki niewłaściwe, dodawanie i odejmowanie ułamków - Matematyka z plusem 4

1.Ułamek właściwy

Ułamek właściwy to ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika, np. $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{7}{10}$. Każdy ułamek właściwy jest liczbą mniejszą od 1, bo opisuje tylko część jednej całości.

2.Ułamek niewłaściwy

Ułamek niewłaściwy to ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika albo równy mianownikowi, np. $\frac{5}{3}$, $\frac{12}{7}$, $\frac{4}{4}$. Taki ułamek jest równy 1 albo większy od 1. Np. $\frac{5}{3}$ koła to 5 trzecich części, czyli więcej niż całe koło (całe koło to 3 trzecie).

3.Ułamek a liczba 1

Porównujemy licznik z mianownikiem. Gdy licznik jest mniejszy od mianownika, ułamek jest mniejszy od 1: $\frac{3}{5} < 1$. Gdy licznik jest równy mianownikowi, ułamek jest równy 1: $\frac{5}{5} = 1$. Gdy licznik jest większy od mianownika, ułamek jest większy od 1: $\frac{8}{5} > 1$. Na rysunku: 3 piąte koła, całe koło oraz $\frac{8}{5}$, czyli całe koło i 3 piąte drugiego.

4.Ułamki właściwe i niewłaściwe na osi liczbowej

Ułamki właściwe leżą na osi liczbowej między 0 a 1. Ułamek niewłaściwy leży w punkcie 1 albo na prawo od 1. Na rysunku: $\frac{3}{4}$ leży między 0 a 1, $\frac{6}{4}$ między 1 a 2, a $\frac{10}{4}$ między 2 a 3. Ułamek $\frac{4}{4}$ leży dokładnie w punkcie 1.

5.Który ułamek jest większy: właściwy czy niewłaściwy?

Każdy ułamek niewłaściwy jest większy od każdego ułamka właściwego. Ułamek niewłaściwy jest równy 1 albo większy od 1, a ułamek właściwy jest mniejszy od 1. Np. $\frac{7}{6} > \frac{6}{7}$, choć w obu ułamkach są te same liczby.

6.Ułamek niewłaściwy jako liczba mieszana (z rysunku)

Tę samą ilość można zapisać ułamkiem niewłaściwym albo liczbą mieszaną. Z części układamy całe figury, a to, co zostanie, zapisujemy ułamkiem. Np. 11 szóstych części koła: z 6 części złożymy 1 całe koło i zostanie 5 części, więc $\frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$ (na rysunku). Gdy nic nie zostanie, wychodzi liczba naturalna: $\frac{16}{8} = 2$.

7.Liczba naturalna jako ułamek niewłaściwy

Każdą liczbę naturalną można zapisać jako ułamek o wybranym mianowniku. Licznik to ta liczba pomnożona przez mianownik. Np. $4 = \frac{12}{3}$, bo $4 \cdot 3 = 12$ (4 całe koła to 12 trzecich części), oraz $2 = \frac{10}{5}$, bo $2 \cdot 5 = 10$.

8.Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Część całkowitą mnożymy przez mianownik i do wyniku dodajemy licznik - to licznik ułamka niewłaściwego. Mianownik zostaje ten sam. Np. $2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$, bo $2 \cdot 5 + 3 = 13$: 2 całe to 10 piątych, a razem z 3 piątymi jest 13 piątych.

9.Wyłączanie całości z ułamka

Wyłączanie całości to zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną albo liczbę naturalną. Licznik dzielimy przez mianownik z resztą. Iloraz to część całkowita, reszta to licznik części ułamkowej, a mianownik zostaje ten sam. Np. $17 : 5 = 3 \text{ r } 2$, więc $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$.

10.Liczba mieszana z ułamkiem niewłaściwym

Gdy w liczbie mieszanej część ułamkowa jest ułamkiem niewłaściwym, wyłączamy z niej całości i dodajemy je do części całkowitej. Np. $2\frac{7}{4} = 3\frac{3}{4}$, bo $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$, a $2 + 1\frac{3}{4} = 3\frac{3}{4}$.

11.Porównywanie ułamków niewłaściwych i liczb mieszanych

Ułamki niewłaściwe zamieniamy na liczby mieszane. Najpierw porównujemy części całkowite - większa jest liczba, która ma więcej całości. Gdy części całkowite są równe, porównujemy części ułamkowe. Np. $\frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}$, więc $\frac{19}{4} > 3\frac{9}{10}$, a $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$, więc $\frac{13}{6} < 2\frac{5}{6}$.

12.Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach

Dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmiany. Np. $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$, bo 2 siódme i 3 siódme to razem 5 siódmych. Na rysunku: $\frac{2}{7}$ koła, $\frac{3}{7}$ koła i ich suma. Mianowników nie dodajemy - części są ciągle siódmymi częściami.

13.Suma ułamków, która jest ułamkiem niewłaściwym

Gdy suma ułamków jest ułamkiem niewłaściwym, wyłączamy z niej całości, a ułamek skracamy, jeśli się da. Np. $\frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$. Na rysunku: $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{6}$ i ich suma $\frac{9}{6}$, czyli cały pasek i 3 szóste drugiego.

14.Dodawanie kilku ułamków i suma równa 1

Kilka ułamków o jednakowych mianownikach dodajemy tak samo: dodajemy wszystkie liczniki. Gdy suma liczników jest równa mianownikowi, wynik jest równy 1. Np. $\frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

15.Dodawanie liczb mieszanych

Osobno dodajemy części całkowite i osobno części ułamkowe. Np. $2\frac{1}{6} + 3\frac{4}{6} = 5\frac{5}{6}$, bo $2 + 3 = 5$ i $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$.

16.Dodawanie liczb mieszanych z wyłączaniem całości

Gdy suma części ułamkowych jest ułamkiem niewłaściwym, wyłączamy z niej całości i dodajemy je do sumy części całkowitych. Np. $3\frac{4}{7} + 2\frac{5}{7} = 5\frac{9}{7} = 6\frac{2}{7}$, bo $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$.

17.Dodawanie liczby mieszanej i ułamka

Ułamek dodajemy do części ułamkowej, a część całkowita zostaje bez zmiany. Gdy wyjdzie ułamek niewłaściwy, wyłączamy z niego całość. Np. $4\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = 4\frac{7}{9}$, a $4\frac{6}{9} + \frac{5}{9} = 4\frac{11}{9} = 5\frac{2}{9}$. Liczba naturalna i ułamek dają od razu liczbę mieszaną: $3 + \frac{2}{5} = 3\frac{2}{5}$.

18.Sprytne dodawanie

Przy dodawaniu kilku liczb możemy zmieniać ich kolejność. Najpierw dodajemy te ułamki, które razem dają całość. Np. $1\frac{3}{8} + 2\frac{1}{4} + \frac{5}{8} = 1\frac{3}{8} + \frac{5}{8} + 2\frac{1}{4} = 2 + 2\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$, bo $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1$.

19.Ile brakuje do całości?

Ułamek uzupełniamy do 1, dodając tyle części, ile brakuje licznikowi do mianownika. Np. $\frac{4}{11} + \frac{7}{11} = 1$, bo $4 + 7 = 11$. Tak samo uzupełniamy liczbę mieszaną do najbliższej większej liczby naturalnej: $5\frac{3}{10} + \frac{7}{10} = 6$.

20.Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach

Odejmujemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. Np. $\frac{8}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$: z 8 dziewiątych zabieramy 3 dziewiąte i zostaje 5 dziewiątych.

21.Odejmowanie liczb mieszanych

Gdy część ułamkowa odjemnej jest większa od części ułamkowej odjemnika albo jej równa, osobno odejmujemy części całkowite i osobno części ułamkowe. Np. $6\frac{5}{8} - 2\frac{1}{8} = 4\frac{4}{8} = 4\frac{1}{2}$. Od liczby mieszanej ułamek odejmujemy tylko w części ułamkowej: $3\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = 3\frac{3}{10}$.

22.Odejmowanie ułamka od 1

Liczbę 1 zapisujemy jako ułamek o takim samym mianowniku jak odejmowany ułamek, a potem odejmujemy liczniki. Np. $1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$. Na rysunku: całe koło to 8 ósmych, po zabraniu 3 ósmych zostaje 5 ósmych.

23.Zamiana jednej całości na części

Jedną całość z części całkowitej możemy zamienić na części o takim mianowniku, jaki ma część ułamkowa. Część całkowita zmniejsza się o 1, a licznik zwiększa się o mianownik. Np. $4\frac{2}{5} = 3\frac{7}{5}$, bo $1 = \frac{5}{5}$, a $\frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. Tak samo $6 = 5\frac{3}{3}$. Na rysunku: $\frac{7}{5}$ to cały pasek i 2 piąte drugiego.

24.Odejmowanie ułamka od liczby naturalnej

Jedną całość zamieniamy na części o mianowniku odejmowanego ułamka, a potem odejmujemy liczniki. Np. $5 - \frac{2}{7} = 4\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = 4\frac{5}{7}$.

25.Odejmowanie liczby mieszanej od liczby naturalnej

Jedną całość odjemnej zamieniamy na części, a potem osobno odejmujemy części całkowite i części ułamkowe. Np. $7 - 2\frac{3}{4} = 6\frac{4}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}$.

26.Odejmowanie liczb mieszanych z zamianą całości

Gdy część ułamkowa odjemnej jest mniejsza od części ułamkowej odjemnika, najpierw zamieniamy jedną całość odjemnej na części. Potem osobno odejmujemy części całkowite i części ułamkowe. Np. $5\frac{2}{7} - 1\frac{5}{7} = 4\frac{9}{7} - 1\frac{5}{7} = 3\frac{4}{7}$.

27.Typowy błąd przy odejmowaniu liczb mieszanych

Gdy licznik odjemnej jest mniejszy od licznika odjemnika, nie wolno odejmować liczników „na odwrót”. W działaniu $8\frac{1}{6} - 3\frac{5}{6}$ nie liczymy $5 - 1$. Zamieniamy jedną całość na szóste: $8\frac{1}{6} = 7\frac{7}{6}$, więc $7\frac{7}{6} - 3\frac{5}{6} = 4\frac{2}{6} = 4\frac{1}{3}$. Błędny wynik $5\frac{4}{6}$ powstaje po odjęciu liczników na odwrót.

28.O ile większa? Liczba o tyle większa lub o tyle mniejsza

Aby obliczyć, o ile jedna liczba jest większa od drugiej, od większej odejmujemy mniejszą. Liczbę o daną wartość większą obliczamy dodawaniem, a liczbę o daną wartość mniejszą - odejmowaniem. Np. $4\frac{5}{6}$ jest o $3\frac{4}{6}$ większa od $1\frac{1}{6}$, bo $4\frac{5}{6} - 1\frac{1}{6} = 3\frac{4}{6}$.

29.Nieznany składnik

Nieznany składnik obliczamy, odejmując od sumy znany składnik. Np. gdy $x + 1\frac{2}{5} = 4$, to $x = 4 - 1\frac{2}{5} = 3\frac{5}{5} - 1\frac{2}{5} = 2\frac{3}{5}$. Sprawdzenie: $2\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} = 3\frac{5}{5} = 4$.

30.Nieznana odjemna i nieznany odjemnik

Nieznaną odjemną obliczamy, dodając różnicę i odjemnik: gdy $x - \frac{3}{8} = 2\frac{1}{8}$, to $x = 2\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = 2\frac{4}{8}$. Nieznany odjemnik obliczamy, odejmując różnicę od odjemnej: gdy $5\frac{6}{7} - x = 2\frac{1}{7}$, to $x = 5\frac{6}{7} - 2\frac{1}{7} = 3\frac{5}{7}$.

31.Sprawdzanie odejmowania ułamków dodawaniem

Wynik odejmowania sprawdzamy dodawaniem: różnica dodana do odjemnika musi dać odjemną. Np. $4\frac{1}{7} - 1\frac{4}{7} = 2\frac{4}{7}$ jest dobrze, bo $2\frac{4}{7} + 1\frac{4}{7} = 3\frac{8}{7} = 4\frac{1}{7}$.

32.Jaka część całości zostaje?

Gdy znamy kilka części całości, dodajemy je, a potem sumę odejmujemy od całości, czyli od 1. Np. $\frac{2}{10}$ uczniów klasy jeździ do szkoły autobusem, a $\frac{5}{10}$ chodzi pieszo. Pozostali to $1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ klasy.

33.Godziny jako część doby

Doba ma 24 godziny, więc 1 godzina to $\frac{1}{24}$ doby. Liczbę godzin wpisujemy do licznika, 24 do mianownika i skracamy ułamek, jeśli się da. Np. 6 godzin to $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ doby, a 12 godzin to $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ doby.

34.Porównywanie liczb mieszanych o różnych mianownikach

Najpierw porównujemy części całkowite. Gdy są równe, części ułamkowe sprowadzamy do wspólnego mianownika (rozszerzamy) i porównujemy liczniki. Np. $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2\frac{9}{12}$, więc $\frac{11}{4} > 2\frac{5}{12}$.