Prostopadłościany i sześciany - Matematyka z plusem 4

1.Figury płaskie i figury przestrzenne

Figury płaskie, np. odcinki, kąty, prostokąty i koła, w całości leżą na płaszczyźnie - można je dokładnie narysować na kartce. Figury przestrzenne, np. prostopadłościan i sześcian, zajmują miejsce w przestrzeni. Ich modelami są np. karton soku, kostka Rubika i pudełko na buty.

2.Ściany, krawędzie i wierzchołki prostopadłościanu

Prostopadłościan to figura przestrzenna w kształcie pudełka. Jego ściany to prostokąty, krawędzie to odcinki, a wierzchołki to punkty. Krawędź to bok ściany - tam stykają się dwie ściany. W wierzchołku spotykają się trzy krawędzie. Na rysunku krawędzie, których nie widać, narysowano linią przerywaną.

3.Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma prostopadłościan?

Prostopadłościan ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Łatwo to policzyć: górna i dolna ściana mają po 4 krawędzie i po 4 wierzchołki, a między nimi są jeszcze 4 krawędzie pionowe. Stąd $4 + 4 + 4 = 12$ krawędzi i $4 + 4 = 8$ wierzchołków. Ściany tworzą 3 pary.

4.Sześcian

Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie mają równe długości. Wszystkie ściany sześcianu są jednakowymi kwadratami. Tak jak każdy prostopadłościan, ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Na rysunku jedną krawędź podpisano literą $a$ - każda krawędź ma tę samą długość $a$. Modelem sześcianu jest np. kostka do gry.

5.Czy każdy prostopadłościan jest sześcianem?

Nie. Każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem. Sześcianem jest tylko taki prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość. Np. pudełko o krawędziach długości 5 cm i 2 cm nie jest sześcianem. Podobnie każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem.

6.Jak narysować prostopadłościan?

1. Rysujemy prostokąt i z trzech jego wierzchołków dorysowujemy trzy równoległe odcinki jednakowej długości. 2. Łącząc końce dorysowanych odcinków, rysujemy kolejne widoczne krawędzie. 3. Linią przerywaną rysujemy trzy niewidoczne krawędzie.

7.Ściany równoległe prostopadłościanu

Ściany równoległe leżą naprzeciw siebie i nie mają wspólnej krawędzi. Prostopadłościan ma 3 pary ścian równoległych: górna i dolna, przednia i tylna, lewa i prawa. Ściany równoległe są jednakowymi prostokątami.

8.Ściany prostopadłe prostopadłościanu

Dwie ściany, które mają wspólną krawędź, są prostopadłe - stykają się pod kątem prostym, jak podłoga i ściana pokoju. Każda ściana prostopadłościanu jest prostopadła do 4 innych ścian: do wszystkich oprócz ściany do niej równoległej.

9.Oznaczanie prostopadłościanu literami

Wierzchołki oznaczamy wielkimi literami, np. prostopadłościan ABCDEFGH. Zwykle ABCD to dolna ściana, a EFGH - górna: E leży nad A, F nad B, G nad C, H nad D. Krawędź nazywamy dwiema literami jej końców, np. AB albo BF. Ścianę nazywamy czterema literami jej wierzchołków, np. ABFE.

10.Krawędzie równoległe prostopadłościanu

Krawędzie równoległe biegną w tym samym kierunku, np. wszystkie 4 krawędzie pionowe. W prostopadłościanie 12 krawędzi tworzy 3 grupy po 4 krawędzie równoległe, więc każda krawędź ma 3 krawędzie do niej równoległe. Np. w prostopadłościanie ABCDEFGH do krawędzi AB równoległe są CD, EF i GH.

11.Krawędzie prostopadłe prostopadłościanu

Krawędzie prostopadłe leżą na wspólnej ścianie i tworzą kąt prosty. Każda krawędź ma 4 krawędzie do niej prostopadłe - po 2 przy każdym swoim końcu. Np. w prostopadłościanie ABCDEFGH do krawędzi AB prostopadłe są AD, AE, BC i BF.

12.Które krawędzie prostopadłościanu mają równe długości?

Krawędzie równoległe mają równe długości. Dlatego 12 krawędzi tworzy 3 grupy po 4 równe krawędzie: 4 mają długość prostopadłościanu, 4 - jego szerokość, a 4 - wysokość. Np. gdy w prostopadłościanie ABCDEFGH krawędź AB ma 5 cm, to CD, EF i GH też mają po 5 cm.

13.Wymiary prostopadłościanu

Z każdego wierzchołka wychodzą 3 krawędzie, każde dwie prostopadłe do siebie. Ich długości to wymiary prostopadłościanu. Zapisujemy je ze znakiem $\times$, np. $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ (czytamy: 6 na 2 na 3 centymetry). Taki prostopadłościan jest na rysunku.

14.Szkielet prostopadłościanu

Szkielet to model prostopadłościanu z samych krawędzi, np. z patyczków połączonych kulkami plasteliny. Patyczki to krawędzie, a kulki - wierzchołki. Na szkielet każdego prostopadłościanu, także sześcianu, potrzeba 12 patyczków i 8 kulek.

15.Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu

Prostopadłościan ma po 4 krawędzie każdego wymiaru. Każdy wymiar mnożymy przez 4 i dodajemy wyniki. Np. dla $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$: $4 \cdot 6 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 24 + 8 + 12 = 44$, czyli 44 cm. Można też najpierw dodać wymiary: $4 \cdot (6 + 2 + 3) = 4 \cdot 11 = 44$.

16.Suma długości krawędzi sześcianu

Sześcian ma 12 krawędzi tej samej długości, więc długość krawędzi mnożymy przez 12. Np. sześcian o krawędzi 7 cm: $12 \cdot 7 = 84$, czyli 84 cm. I odwrotnie: gdy znamy sumę długości krawędzi, dzielimy ją przez 12. Szkielet sześcianu z 72 cm drutu ma krawędź $72 : 12 = 6$, czyli 6 cm.

17.Jak obliczyć trzeci wymiar, gdy znamy sumę długości krawędzi?

Dzielimy sumę długości krawędzi przez 4 - otrzymujemy sumę trzech wymiarów. Potem odejmujemy dwa znane wymiary. Np. suma to 100 cm, a dwa wymiary to 10 cm i 8 cm: $100 : 4 = 25$, $25 - 10 - 8 = 7$, więc trzeci wymiar to 7 cm. Sprawdzenie: $4 \cdot 10 + 4 \cdot 8 + 4 \cdot 7 = 40 + 32 + 28 = 100$.

18.Wymiary ścian prostopadłościanu

Ściany tworzą 3 pary jednakowych prostokątów, a boki każdej ściany to dwa z trzech wymiarów. Prostopadłościan $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ ma 2 ściany $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ (górną i dolną), 2 ściany $6~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ (przednią i tylną) i 2 ściany $2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$ (lewą i prawą).

19.Prostopadłościan o dwóch równych wymiarach

Gdy dwa wymiary są równe, np. $5~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$, dwie ściany naprzeciw siebie są kwadratami $2~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$, a cztery pozostałe - jednakowymi prostokątami $5~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$. I odwrotnie: gdy cztery ściany prostopadłościanu są jednakowymi prostokątami, to dwie pozostałe są kwadratami.

20.Widok bryły z przodu, z góry i z boku

Widok bryły to obraz, który widzimy, gdy patrzymy na nią prosto z jednej strony: z przodu, z góry, z lewego albo z prawego boku. Rysujemy go jak figurę płaską. Widok prostopadłościanu z każdej strony to prostokąt - jedna z jego ścian, a widok sześcianu to kwadrat.

21.Widoki bryły zbudowanej z jednakowych kostek

Z góry widzimy tylko górną kostkę każdego słupka, więc w widoku z góry jest tyle kwadratów, ile słupków stoi na stole - bez względu na ich wysokość. Z przodu widzimy wysokości słupków, a gdy dwa słupki stoją jeden za drugim - tylko wyższy z nich. Np. słupki z 4, 1 i 2 kostek stojące obok siebie od lewej do prawej widać z góry jako 3 kwadraty w rzędzie, a z przodu - jako słupki z 4, 1 i 2 kwadratów.

22.Siatka prostopadłościanu

Siatka prostopadłościanu to figura płaska, którą otrzymamy, gdy pudełko w kształcie prostopadłościanu rozetniemy wzdłuż kilku krawędzi i rozłożymy na płaskiej powierzchni. Siatka składa się z 6 prostokątów - 3 par jednakowych. Z siatki można złożyć i skleić prostopadłościan.

23.Czy prostopadłościan ma tylko jedną siatkę?

Nie. Siatki tego samego prostopadłościanu mogą mieć różne kształty - zależy to od tego, wzdłuż których krawędzi rozetniemy pudełko. W każdej siatce są jednak te same ściany: po 2 jednakowe prostokąty każdego rodzaju. Siatki sześcianu też mogą mieć różne kształty.

24.Jak narysować siatkę prostopadłościanu?

Najczęściej rysujemy w rzędzie 4 ściany boczne, na przemian szerszą i węższą. Nad jedną z szerszych ścian i pod nią dorysowujemy górną i dolną ścianę. Np. dla $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$: w rzędzie prostokąty o wysokości 3 cm i szerokościach 6 cm, 2 cm, 6 cm, 2 cm, a nad i pod pierwszym z nich - prostokąty $6~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$.

25.Siatka sześcianu

Siatka sześcianu składa się z 6 jednakowych kwadratów. Może mieć różne kształty. Często rysujemy ją w kształcie krzyża: 4 kwadraty w rzędzie oraz po jednym kwadracie nad i pod jednym z nich, np. drugim. Inne siatki sześcianu mają np. kształt schodków.

26.Kiedy figura z 6 kwadratów na pewno nie jest siatką sześcianu?

Na przykład wtedy, gdy ma 5 albo 6 kwadratów w jednym rzędzie, gdy 4 kwadraty tworzą większy kwadrat (2 na 2) albo gdy przy rzędzie 4 kwadratów oba pozostałe kwadraty leżą po tej samej stronie rzędu. Po złożeniu takiej figury niektóre ściany nachodzą na siebie, a niektórych brakuje. Są też inne figury, które nie są siatkami sześcianu, dlatego w razie wątpliwości złóż figurę w wyobraźni albo wytnij ją z kartki.

27.Ściany sąsiednie i równoległe w siatce sześcianu

Kwadraty, które w siatce mają wspólny bok, po złożeniu są ścianami sąsiednimi, czyli prostopadłymi. Gdy trzy kwadraty leżą w jednym rzędzie, to pierwszy i trzeci będą po złożeniu ścianami równoległymi (naprzeciw siebie). W rzędzie 4 kwadratów równoległe są więc pierwszy z trzecim i drugi z czwartym.

28.Wymiary prostopadłościanu odczytane z siatki

Boki ścian w siatce to krawędzie prostopadłościanu, więc różne długości boków to jego wymiary. Np. siatka z prostokątów $7 \times 4$, $7 \times 2$ i $4 \times 2$ (w cm, po dwa każdego rodzaju) to siatka prostopadłościanu $7~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$, a suma długości jego krawędzi to $4 \cdot (7 + 4 + 2) = 52$, czyli 52 cm. Gdy są tylko dwie różne długości, dwa wymiary są równe: 2 kwadraty $2 \times 2$ i 4 prostokąty $5 \times 2$ (w cm) to siatka prostopadłościanu $5~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$.

29.Języczki

Języczki to paski dorysowane do niektórych ścian siatki przed jej wycięciem - miejsca sklejania sąsiednich ścian. Na każdą parę krawędzi, które sklejamy, wystarczy jeden języczek. Prostopadłościan ma 12 krawędzi, a w siatce 5 z nich to zgięcia, więc sklejamy $12 - 5 = 7$ par krawędzi i wystarczy 7 języczków.

30.Model prostopadłościanu w skali

Aby zrobić model w skali $1 : 100$, każdy wymiar dzielimy przez 100: 1 m w rzeczywistości to 1 cm na modelu. Np. sala o wymiarach $20~\mathrm{m} \times 10~\mathrm{m} \times 7~\mathrm{m}$ ma model $20~\mathrm{cm} \times 10~\mathrm{cm} \times 7~\mathrm{cm}$. Potem rysujemy siatkę modelu i go sklejamy.

31.Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian. Oznaczamy je $P_c$ (skrót od pola powierzchni całkowitej). Jest równe polu jego siatki - tyle papieru trzeba, żeby okleić całe pudełko. Podajemy je w jednostkach pola, np. w $\mathrm{cm^2}$ albo $\mathrm{m^2}$.

32.Jak obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu?

Prostopadłościan ma 3 pary jednakowych ścian. Obliczamy pola trzech różnych ścian, każde mnożymy przez 2 i dodajemy wyniki. Np. dla $5~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$: $5 \cdot 4 = 20$, $4 \cdot 2 = 8$, $5 \cdot 2 = 10$, a $2 \cdot 20 + 2 \cdot 8 + 2 \cdot 10 = 40 + 16 + 20 = 76$, więc $P_c = 76~\mathrm{cm^2}$.

33.Pole powierzchni a suma długości krawędzi

To dwie różne wielkości. Suma długości krawędzi to długość 12 odcinków - podajemy ją np. w cm. Pole powierzchni to suma pól 6 ścian - podajemy je np. w $\mathrm{cm^2}$. Dla $5~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ suma długości krawędzi to $4 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 44$, czyli 44 cm, a pole powierzchni to $76~\mathrm{cm^2}$.

34.Pole powierzchni sześcianu

Sześcian ma 6 jednakowych ścian - kwadratów. Wystarczy obliczyć pole jednej ściany i pomnożyć je przez 6. Np. sześcian o krawędzi 7 cm (na rysunku): pole ściany to $7 \cdot 7 = 49$, czyli $49~\mathrm{cm^2}$, a $P_c = 6 \cdot 49 = 294$, czyli $294~\mathrm{cm^2}$.

35.Wymiary w różnych jednostkach

Przed obliczaniem pola powierzchni wyrażamy wszystkie krawędzie w tej samej jednostce. Np. prostopadłościan $8~\mathrm{cm} \times 5~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{dm}$: najpierw $3~\mathrm{dm} = 30~\mathrm{cm}$ (na rysunku wymiary są już w cm). Pola ścian: $8 \cdot 5 = 40$, $5 \cdot 30 = 150$, $8 \cdot 30 = 240$, więc $P_c = 2 \cdot 40 + 2 \cdot 150 + 2 \cdot 240 = 860$, czyli $860~\mathrm{cm^2}$.

36.Krawędź sześcianu, gdy znamy jego pole powierzchni

Dzielimy pole powierzchni przez 6 - to pole jednej ściany. Potem szukamy liczby, która pomnożona przez siebie daje pole ściany - to długość krawędzi. Np. gdy $P_c = 2400~\mathrm{cm^2}$, to $2400 : 6 = 400$, a $20 \cdot 20 = 400$, więc krawędź ma 20 cm.

37.Pole powierzchni sześcianu, gdy znamy sumę długości krawędzi

Najpierw dzielimy sumę długości krawędzi przez 12 - to długość jednej krawędzi. Potem obliczamy pole jednej ściany i mnożymy je przez 6. Np. suma długości krawędzi to 120 cm: $120 : 12 = 10$, $10 \cdot 10 = 100$, $6 \cdot 100 = 600$, więc $P_c = 600~\mathrm{cm^2}$.

38.Gdy liczymy pole tylko niektórych ścian

W zadaniach z życia sprawdzamy, ile ścian naprawdę liczymy. Pudełko bez pokrywki i basen (dno i ściany) mają 5 ścian - bez górnej. Gdy malujemy pokój, malujemy 4 ściany i sufit, ale nie podłogę. Dodajemy wtedy pola tylko tych ścian, a nie całe $P_c$.

39.Koszt malowania i liczba puszek farby

Najpierw obliczamy pole powierzchni, którą malujemy albo oklejamy. Koszt to pole razy cena za $1~\mathrm{m^2}$, np. $40~\mathrm{m^2}$ po 9 zł kosztuje $40 \cdot 9 = 360$ zł. Gdy jedna puszka farby wystarcza na $5~\mathrm{m^2}$, to na $40~\mathrm{m^2}$ potrzeba $40 : 5 = 8$ puszek. Gdy dzielenie daje resztę, kupujemy o jedną puszkę więcej: na $42~\mathrm{m^2}$ mamy $42 : 5 = 8 \text{ r } 2$, więc trzeba 9 puszek.

40.Prostopadłościany z jednakowych kostek

Z 12 kostek o krawędzi 1 cm można zbudować 4 różne prostopadłościany: $1 \times 1 \times 12$, $1 \times 2 \times 6$, $1 \times 3 \times 4$ i $2 \times 2 \times 3$ (w cm). Kostek jest tyle samo, ale pola powierzchni są różne: 50, 40, 38 i $32~\mathrm{cm^2}$. Najmniejsze pole ma bryła najbardziej podobna do sześcianu.