Ułamki dziesiętne - Matematyka z plusem 4

1.Ułamek dziesiętny

Ułamek dziesiętny to liczba zapisana z użyciem przecinka, np. $0{,}8$ albo $6{,}45$. Przecinek oddziela część całkowitą od części ułamkowej. W liczbie $6{,}45$ część całkowita to 6, a część ułamkowa to 45 setnych. Ułamkami dziesiętnymi często zapisujemy ceny, masy i długości.

2.Jak zapisać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 za pomocą przecinka?

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000 itd. można zapisać bez kreski ułamkowej, używając przecinka. Ile zer ma mianownik, tyle cyfr piszemy po przecinku: $\frac{7}{10} = 0{,}7$, $\frac{56}{100} = 0{,}56$, $\frac{8}{100} = 0{,}08$, $\frac{4}{1000} = 0{,}004$. Brakujące miejsca zaraz po przecinku wypełniamy zerami. Na rysunku zamalowano 7 z 10 równych części paska, czyli $0{,}7$ paska.

3.Jak czytamy ułamki dziesiętne?

Czytamy część całkowitą, potem „i” oraz liczbę po przecinku z nazwą: dziesiąte (1 cyfra po przecinku), setne (2 cyfry) albo tysięczne (3 cyfry). $2{,}43$ to dwa i czterdzieści trzy setne, a $4{,}5$ - cztery i pięć dziesiątych albo cztery i pół. Gdy przed przecinkiem jest 0, czytamy tylko część ułamkową: $0{,}7$ - siedem dziesiątych (potocznie: zero przecinek siedem), $0{,}016$ - szesnaście tysięcznych.

4.Liczba mieszana i ułamek niewłaściwy jako ułamek dziesiętny

Część całkowitą liczby mieszanej piszemy przed przecinkiem, a część ułamkową - po przecinku: $5\frac{3}{10} = 5{,}3$, $8\frac{6}{100} = 8{,}06$. Gdy licznik jest większy od mianownika, najpierw wyłączamy całości, a potem piszemy przecinek: $\frac{34}{10} = 3\frac{4}{10} = 3{,}4$, $\frac{215}{100} = 2\frac{15}{100} = 2{,}15$.

5.Nazwy cyfr w ułamku dziesiętnym

Cyfry przed przecinkiem to, licząc od przecinka w lewo: cyfra jedności, dziesiątek, setek itd. Kolejne cyfry po przecinku to cyfra części dziesiątych, cyfra części setnych i cyfra części tysięcznych. W liczbie $47{,}385$: 4 to cyfra dziesiątek, 7 - cyfra jedności, 3 - cyfra części dziesiątych, 8 - cyfra części setnych, a 5 - cyfra części tysięcznych.

6.Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Liczbę zapisaną po przecinku wpisujemy do licznika, a do mianownika 10, 100 albo 1000 - z tyloma zerami, ile cyfr jest po przecinku. Potem skracamy ułamek, jeśli się da: $0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$, $0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$. Część całkowita zostaje bez zmian: $3{,}12 = 3\frac{12}{100} = 3\frac{3}{25}$.

7.Pół, ćwierć i trzy czwarte jako ułamki dziesiętne

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$. Dlatego pół litra to $0{,}5~\mathrm{l}$, ćwierć tony to $0{,}25~\mathrm{t}$, a półtora metra to $1{,}5~\mathrm{m}$. Rysunek pokazuje pół, ćwierć i trzy czwarte koła.

8.Ułamki dziesiętne na osi liczbowej

Odcinek od 0 do 1 dzielimy na 10 równych części. Każda część to $0{,}1$, więc kolejne kreski oznaczają $0{,}1$; $0{,}2$; $0{,}3$ itd. Na rysunku zaznaczono $0{,}3$ (trzecia kreska za zerem) i $0{,}7$ (siódma kreska). Tak samo $2{,}4$ leży na czwartej kresce za liczbą 2. Gdy każdą dziesiątą część podzielimy jeszcze na 10 równych części, kreski oznaczają części setne.

9.Grosze jako część złotego

$1~\text{zł} = 100~\text{gr}$, więc 1 gr to $\frac{1}{100}$ zł, czyli $0{,}01$ zł. Grosze zajmują zawsze dwa miejsca po przecinku: $46~\text{gr} = 0{,}46~\text{zł}$, $8~\text{gr} = 0{,}08~\text{zł}$, $3~\text{zł}~8~\text{gr} = 3{,}08~\text{zł}$, a $3~\text{zł}~80~\text{gr} = 3{,}80~\text{zł} = 3{,}8~\text{zł}$.

10.Wyrażenie dwumianowane

Wyrażenie dwumianowane to wielkość zapisana za pomocą dwóch jednostek, np. 5 m 12 cm, 8 cm 3 mm albo 2 kg 40 dag. Taką wielkość możemy też zapisać jedną jednostką, używając ułamka dziesiętnego: $5~\mathrm{m}~12~\mathrm{cm} = 5{,}12~\mathrm{m}$.

11.Milimetry i centymetry jako ułamki dziesiętne

$1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, więc $1~\mathrm{mm} = 0{,}1~\mathrm{cm}$, a $6~\mathrm{mm} = 0{,}6~\mathrm{cm}$. Tak samo $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, więc $1~\mathrm{cm} = 0{,}1~\mathrm{dm}$. Mniejsza jednostka zajmuje jedno miejsce po przecinku: $4~\mathrm{cm}~9~\mathrm{mm} = 4{,}9~\mathrm{cm}$, $3~\mathrm{dm}~2~\mathrm{cm} = 3{,}2~\mathrm{dm}$.

12.Centymetry jako ułamek dziesiętny metra

$1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, więc $1~\mathrm{cm} = 0{,}01~\mathrm{m}$. Centymetry zajmują dwa miejsca po przecinku: $8~\mathrm{cm} = 0{,}08~\mathrm{m}$, $64~\mathrm{cm} = 0{,}64~\mathrm{m}$, $3~\mathrm{m}~7~\mathrm{cm} = 3{,}07~\mathrm{m}$, $3~\mathrm{m}~70~\mathrm{cm} = 3{,}70~\mathrm{m} = 3{,}7~\mathrm{m}$.

13.Metry jako część kilometra

$1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, więc $1~\mathrm{m} = 0{,}001~\mathrm{km}$. Metry zajmują trzy miejsca po przecinku: $9~\mathrm{m} = 0{,}009~\mathrm{km}$, $85~\mathrm{m} = 0{,}085~\mathrm{km}$, $430~\mathrm{m} = 0{,}430~\mathrm{km}$, $6~\mathrm{km}~52~\mathrm{m} = 6{,}052~\mathrm{km}$.

14.Jak zamienić wyrażenie dwumianowane na ułamek dziesiętny?

1. Sprawdzamy, ile mniejszych jednostek ma większa jednostka: 10, 100 czy 1000. Ile zer ma ta liczba, tyle cyfr będzie po przecinku. 2. Liczbę większych jednostek piszemy przed przecinkiem. 3. Liczbę mniejszych jednostek piszemy po przecinku, a gdy ma za mało cyfr, dopisujemy zera z przodu. Np. 7 km 63 m: $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, czyli 3 cyfry, a 63 zapisujemy jako 063. Wynik: $7~\mathrm{km}~63~\mathrm{m} = 7{,}063~\mathrm{km}$.

15.Jak zamienić ułamek dziesiętny na wyrażenie dwumianowane?

Część całkowita to większe jednostki, a cyfry po przecinku - mniejsze. Gdy po przecinku jest za mało cyfr, najpierw dopisujemy zera na końcu: centymetry w metrze potrzebują 2 cyfr, a metry w kilometrze - 3 cyfr. $4{,}38~\mathrm{m} = 4~\mathrm{m}~38~\mathrm{cm}$, $9{,}06~\mathrm{m} = 9~\mathrm{m}~6~\mathrm{cm}$, $2{,}5~\mathrm{km} = 2{,}500~\mathrm{km} = 2~\mathrm{km}~500~\mathrm{m}$.

16.Częsty błąd: zgubione zero po przecinku

$6~\mathrm{m}~4~\mathrm{cm} = 6{,}04~\mathrm{m}$, a nie $6{,}4~\mathrm{m}$, bo $6{,}4~\mathrm{m} = 6~\mathrm{m}~40~\mathrm{cm}$. Tak samo $4~\text{zł}~5~\text{gr} = 4{,}05~\text{zł}$, a $9~\mathrm{km}~3~\mathrm{m} = 9{,}003~\mathrm{km}$. Gdy liczba mniejszych jednostek ma mniej cyfr, niż potrzeba miejsc po przecinku, z przodu dopisujemy zera.

17.Dekagramy jako część kilograma

$1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag}$, więc $1~\mathrm{dag} = 0{,}01~\mathrm{kg}$. Dekagramy zajmują dwa miejsca po przecinku: $7~\mathrm{dag} = 0{,}07~\mathrm{kg}$, $3~\mathrm{kg}~15~\mathrm{dag} = 3{,}15~\mathrm{kg}$, $2~\mathrm{kg}~60~\mathrm{dag} = 2{,}60~\mathrm{kg} = 2{,}6~\mathrm{kg}$. Wagi elektroniczne często pokazują masę właśnie tak: w kilogramach, z przecinkiem albo kropką.

18.Gramy w kilogramach i kilogramy w tonach

$1~\mathrm{kg} = 1000~\mathrm{g}$ i $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$, więc $1~\mathrm{g} = 0{,}001~\mathrm{kg}$ i $1~\mathrm{kg} = 0{,}001~\mathrm{t}$. Mniejsze jednostki zajmują trzy miejsca po przecinku: $4~\mathrm{kg}~35~\mathrm{g} = 4{,}035~\mathrm{kg}$, $250~\mathrm{g} = 0{,}250~\mathrm{kg} = 0{,}25~\mathrm{kg}$, $6~\mathrm{t}~420~\mathrm{kg} = 6{,}420~\mathrm{t} = 6{,}42~\mathrm{t}$, $3~\mathrm{t}~8~\mathrm{kg} = 3{,}008~\mathrm{t}$.

19.Gramy jako część dekagrama

$1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$, więc $1~\mathrm{g} = 0{,}1~\mathrm{dag}$. Gramy zajmują wtedy jedno miejsce po przecinku: $7~\mathrm{g} = 0{,}7~\mathrm{dag}$, $5~\mathrm{dag}~3~\mathrm{g} = 5{,}3~\mathrm{dag}$. Przy zamianie gramów na kilogramy potrzebne są już trzy miejsca, bo kilogram ma 1000 g: $5~\mathrm{dag}~3~\mathrm{g} = 53~\mathrm{g} = 0{,}053~\mathrm{kg}$.

20.Ile cyfr po przecinku przy zamianie jednostek?

Tyle, ile zer ma liczba mniejszych jednostek w większej. 10 - jedna cyfra (mm w cm, cm w dm, g w dag), 100 - dwie cyfry (cm w m, dag w kg, gr w zł), 1000 - trzy cyfry (m w km, g w kg, kg w t). Dlatego $1~\mathrm{t}~5~\mathrm{kg} = 1{,}005~\mathrm{t}$, ale $1~\mathrm{kg}~5~\mathrm{dag} = 1{,}05~\mathrm{kg}$.

21.Dopisywanie zer na końcu ułamka dziesiętnego

Ułamek dziesiętny nie zmienia wartości, gdy po ostatniej cyfrze po przecinku dopisujemy zera: $0{,}3 = 0{,}30 = 0{,}300$, bo $\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = \frac{300}{1000}$. Każdą liczbę naturalną też możemy zapisać z przecinkiem i zerami po nim: $9 = 9{,}0 = 9{,}00$.

22.Pomijanie zer na końcu ułamka dziesiętnego

Gdy ostatnimi cyframi po przecinku są zera, możemy je pominąć: $4{,}600 = 4{,}60 = 4{,}6$, a $8{,}0 = 8$. Pomijamy tylko zera na samym końcu. Zero zaraz po przecinku, za którym stoi jeszcze inna cyfra, musi zostać: $0{,}08$ to nie to samo co $0{,}8$, a $7{,}050 = 7{,}05$, ale nie $7{,}5$.

23.Kropka zamiast przecinka

Na paragonach, kwitach i wyświetlaczach wag zamiast przecinka często stoi kropka. Zapis 2.75 kg oznacza $2{,}75~\mathrm{kg}$, a 15.00 zł to $15{,}00~\text{zł}$, czyli 15 zł. Pełne złote zapisuje się na paragonie z dwoma zerami po przecinku.

24.Dopisywanie zer przy zamianie jednostek

Dopisanie zer na końcu pomaga zamienić jednostki. Dopisujemy tyle zer, żeby po przecinku były 3 cyfry, gdy większa jednostka ma 1000 mniejszych, albo 2 cyfry, gdy ma ich 100: $0{,}4~\mathrm{km} = 0{,}400~\mathrm{km} = 400~\mathrm{m}$, $0{,}7~\mathrm{kg} = 0{,}70~\mathrm{kg} = 70~\mathrm{dag}$, $3{,}2~\mathrm{t} = 3{,}200~\mathrm{t} = 3~\mathrm{t}~200~\mathrm{kg} = 3200~\mathrm{kg}$.

25.Porównywanie ułamków dziesiętnych przez dopisanie zer

Gdy oba ułamki mają tyle samo cyfr po przecinku, porównanie jest łatwe: $0{,}47 < 0{,}52$, bo 47 setnych to mniej niż 52 setne. Gdy liczba cyfr po przecinku jest różna, dopisujemy końcowe zera w krótszej liczbie: $0{,}7$ i $0{,}68$ to $0{,}70$ i $0{,}68$, więc $0{,}7 > 0{,}68$.

26.Jak porównać dwa ułamki dziesiętne krok po kroku?

Najpierw porównujemy części całkowite: większa jest liczba o większej części całkowitej, np. $5{,}1 > 4{,}987$. Gdy części całkowite są równe, porównujemy cyfry części dziesiątych, potem części setnych, potem tysięcznych. Pierwsza różna cyfra rozstrzyga: $8{,}256 < 8{,}27$, bo w częściach setnych $5 < 7$.

27.Częsty błąd: więcej cyfr po przecinku to większa liczba?

Nie. Liczba cyfr po przecinku nie mówi, która liczba jest większa. $0{,}6 > 0{,}35$, choć $0{,}35$ ma więcej cyfr: $0{,}6 = 0{,}60$, a 60 setnych to więcej niż 35 setnych. Na osi liczbowej $0{,}6$ leży dalej w prawo, więc jest większa.

28.Porządkowanie ułamków dziesiętnych

Dopisujemy zera tak, żeby wszystkie liczby miały tyle samo cyfr po przecinku, i porównujemy je cyfra po cyfrze. Np. $0{,}3$; $0{,}03$; $0{,}33$; $0{,}303$ to $0{,}300$; $0{,}030$; $0{,}330$; $0{,}303$. Od najmniejszej: $0{,}03 < 0{,}3 < 0{,}303 < 0{,}33$.

29.Porównywanie wielkości zapisanych w różnych jednostkach

Najpierw zapisujemy obie wielkości w tej samej jednostce, a potem porównujemy liczby. $2{,}4~\mathrm{m}$ i 235 cm: $2{,}4~\mathrm{m} = 240~\mathrm{cm}$, więc $2{,}4~\mathrm{m} > 235~\mathrm{cm}$. $1{,}6~\mathrm{kg}$ i 1 kg 58 dag: $1~\mathrm{kg}~58~\mathrm{dag} = 1{,}58~\mathrm{kg}$, a $1{,}60 > 1{,}58$, więc $1{,}6~\mathrm{kg}$ to więcej.

30.Liczba między dwoma ułamkami dziesiętnymi

Aby znaleźć liczbę większą od $0{,}3$ i mniejszą od $0{,}4$, dopisujemy zera: $0{,}30$ i $0{,}40$. Pasują np. $0{,}31$; $0{,}35$; $0{,}39$. Gdy między liczbami nie widać miejsca, dopisujemy kolejne zero: między $0{,}35 = 0{,}350$ i $0{,}36 = 0{,}360$ leżą np. $0{,}351$ i $0{,}358$.

31.Dodawanie ułamków dziesiętnych w pamięci

Dodajemy dziesiąte do dziesiątych, a całości do całości: $0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$, bo 4 dziesiąte i 3 dziesiąte to 7 dziesiątych, a $2{,}5 + 1{,}2 = 3{,}7$. 10 dziesiątych to 1 całość, więc $0{,}6 + 0{,}7 = 1{,}3$. Rysunek: 6 dziesiątych i 7 dziesiątych to razem 13 dziesiątych, czyli cały pasek i 3 dziesiąte.

32.Dodawanie kwot: złote do złotych, grosze do groszy

Kwoty możemy dodawać osobno: złote do złotych i grosze do groszy. $2{,}35~\text{zł} + 1{,}48~\text{zł}$: $2~\text{zł} + 1~\text{zł} = 3~\text{zł}$, $35~\text{gr} + 48~\text{gr} = 83~\text{gr}$, razem $3{,}83~\text{zł}$. Gdy groszy jest 100 lub więcej, 100 gr zamieniamy na 1 zł: $4~\text{zł}~126~\text{gr} = 5~\text{zł}~26~\text{gr} = 5{,}26~\text{zł}$.

33.Dodawanie pisemne ułamków dziesiętnych

Składniki podpisujemy tak, żeby przecinek był pod przecinkiem, jedności pod jednościami, części dziesiąte pod częściami dziesiątymi itd. Potem dodajemy tak samo jak liczby naturalne, od prawej strony: gdy w kolumnie wyjdzie 10 lub więcej, piszemy cyfrę jedności tej sumy, a 1 przenosimy w lewo. W sumie stawiamy przecinek pod przecinkami. Rysunek: $4{,}6 + 2{,}87 = 7{,}47$.

34.Dopisywanie zer przy dodawaniu

Gdy składniki mają różną liczbę cyfr po przecinku, możemy dopisać zera: $12{,}5 + 3{,}746 = 12{,}500 + 3{,}746 = 16{,}246$. Cyfry podpisujemy według przecinka, a nie od prawej strony: 5 dziesiątych dodajemy do 7 dziesiątych, a nie do 6 tysięcznych.

35.Szacowanie sumy ułamków dziesiętnych

Aby bez dokładnego liczenia ocenić, czy suma jest większa od danej liczby, porównujemy składniki z pełnymi całościami. $3{,}98 + 5{,}96 < 10$, bo $3{,}98 < 4$ i $5{,}96 < 6$, a $4 + 6 = 10$. $2{,}1 + 7{,}05 > 9$, bo $2{,}1 > 2$ i $7{,}05 > 7$, a $2 + 7 = 9$.

36.Odejmowanie kwot z zamianą złotego na grosze

Kwoty możemy odejmować osobno: złote od złotych, grosze od groszy. Gdy groszy w odjemnej jest za mało, zamieniamy 1 zł na 100 gr. $7{,}20~\text{zł} - 3{,}45~\text{zł}$: $7~\text{zł}~20~\text{gr} = 6~\text{zł}~120~\text{gr}$, grosze: $120 - 45 = 75$, złote: $6 - 3 = 3$. Wynik: $3{,}75~\text{zł}$.

37.Odejmowanie pisemne ułamków dziesiętnych

Podpisujemy przecinek pod przecinkiem, jedności pod jednościami itd. i odejmujemy tak samo jak liczby naturalne, od prawej strony. Gdy cyfra odjemnej jest za mała, zamieniamy 1 z kolumny po lewej na 10, np. 4 dziesiąte i 2 setne to 3 dziesiąte i 12 setnych. W różnicy stawiamy przecinek pod przecinkami. Rysunek: $6{,}42 - 3{,}85 = 2{,}57$.

38.Dopisywanie zer przy odejmowaniu

Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera: $9{,}3 - 4{,}172 = 9{,}300 - 4{,}172 = 5{,}128$. Od liczby naturalnej odejmujemy tak samo: $8 - 2{,}35 = 8{,}00 - 2{,}35 = 5{,}65$. W pamięci można to zrobić w dwóch krokach: $8 - 2 = 6$, a $6 - 0{,}35 = 5{,}65$.

39.Odjemna, odjemnik, różnica i sprawdzanie odejmowania

W działaniu $6{,}42 - 3{,}85 = 2{,}57$ liczba $6{,}42$ to odjemna, $3{,}85$ - odjemnik, a $2{,}57$ - różnica. Wynik sprawdzamy dodawaniem: różnica dodana do odjemnika daje odjemną, $2{,}57 + 3{,}85 = 6{,}42$. Odejmowaniem obliczamy też, o ile jedna liczba jest większa od drugiej: liczba $4{,}2$ jest o $4{,}2 - 1{,}5 = 2{,}7$ większa od $1{,}5$.

40.Masa brutto, netto i tara

Masa brutto to masa towaru razem z opakowaniem, masa netto - masa samego towaru, a tara - masa opakowania. Brutto to netto razem z tarą, więc tarę obliczamy, odejmując: brutto - netto. Np. słoik dżemu: brutto $0{,}52~\mathrm{kg}$, netto $0{,}36~\mathrm{kg}$, tara $0{,}52 - 0{,}36 = 0{,}16~\mathrm{kg}$.