Ułamek jako część całości, liczby mieszane, porównywanie - Matematyka z plusem 4

1.Ułamek jako część całości

Ułamek pokazuje, jaką część całości wzięliśmy. Całość, np. pizzę albo figurę, dzielimy na równe części i bierzemy kilka z nich. Gdy pizzę podzielimy na 6 równych kawałków i weźmiemy 1 kawałek, mamy $\frac{1}{6}$ pizzy.

2.Licznik, mianownik i kreska ułamkowa

W zapisie ułamka wyróżniamy licznik, mianownik i kreskę ułamkową. Licznik stoi nad kreską ułamkową, a mianownik - pod nią. W ułamku $\frac{4}{9}$ licznik to 4, a mianownik to 9.

3.Co mówią mianownik i licznik?

Mianownik wskazuje, na ile jednakowych części podzielono figurę. Licznik wskazuje, ile tych części zamalowano. Na rysunku prostokąt podzielono na 7 równych pasków i zamalowano 3 z nich, więc zamalowano $\frac{3}{7}$ prostokąta.

4.Jak czytamy ułamki?

Najpierw czytamy licznik, a potem nazwę części z mianownika: $\frac{1}{5}$ - jedna piąta, $\frac{2}{5}$ - dwie piąte, $\frac{4}{5}$ - cztery piąte, $\frac{6}{7}$ - sześć siódmych, $\frac{7}{10}$ - siedem dziesiątych. Po 2, 3 i 4 mówimy „piąte”, „siódme”, a po 5, 6, 7 itd. - „piątych”, „siódmych”. „Piąte” mówimy też, gdy licznik kończy się na 2, 3 lub 4 (ale nie przy 12, 13, 14): $\frac{34}{100}$ - trzydzieści cztery setne, ale $\frac{13}{100}$ - trzynaście setnych.

5.Pół i ćwierć

Połowa (pół) to $\frac{1}{2}$, czyli jedna druga: całość dzielimy na 2 równe części i bierzemy jedną. Ćwierć (ćwiartka) to $\frac{1}{4}$, czyli jedna czwarta: całość dzielimy na 4 równe części i bierzemy jedną. Rysunek pokazuje pół koła i ćwierć koła.

6.Części całości muszą być równe

Ułamek opisuje część całości tylko wtedy, gdy całość podzielono na równe (jednakowe) części. Gdy kwadrat przetniemy na dwie nierówne części, żadna z nich nie jest połową kwadratu, czyli $\frac{1}{2}$. Mniejsza część to mniej niż połowa, a większa - więcej niż połowa.

7.Jaka część figury nie jest zamalowana?

Liczymy części niezamalowane i zapisujemy je nad tym samym mianownikiem. Gdy figurę podzielono na 10 równych części i zamalowano 3, to niezamalowanych jest $10 - 3 = 7$ części, czyli $\frac{7}{10}$ figury. Mianownik się nie zmienia.

8.Ułamek jako część grupy

Ułamkiem opisujemy też część grupy przedmiotów albo osób. Mianownik to liczba wszystkich, a licznik - liczba tych, o które pytamy. W klasie jest 25 uczniów, w tym 11 dziewczynek, więc dziewczynki stanowią $\frac{11}{25}$ klasy.

9.Częsty błąd: mianownik przy części grupy

W mianowniku zapisujemy liczbę wszystkich elementów grupy, a nie tylko pozostałych. W misce są 3 gruszki i 5 jabłek, czyli 8 owoców. Gruszki stanowią $\frac{3}{8}$ owoców, a nie $\frac{3}{5}$. Gdy pytają o dzieci w rodzinie, liczymy też dziecko, o którym mowa.

10.Połowa z części całości

Gdy każdą część całości podzielimy na pół, części jest dwa razy więcej i każda jest dwa razy mniejsza. Tort pokrojony na 5 równych kawałków po przecięciu każdego na pół ma $5 \cdot 2 = 10$ kawałków, więc połowa z $\frac{1}{5}$ tortu to $\frac{1}{10}$ tortu. Tak samo każde złożenie kartki na pół podwaja liczbę części: 2, 4, 8, 16. Rysunek pokazuje $\frac{1}{5}$ i $\frac{1}{10}$ koła.

11.Liczba mieszana

Liczba mieszana opisuje kilka całości i jeszcze część całości. 4 całe tabliczki czekolady i $\frac{2}{5}$ tabliczki to razem $4\frac{2}{5}$ tabliczki. Czytamy: cztery i dwie piąte.

12.Część całkowita i część ułamkowa

W liczbie mieszanej wyróżniamy część całkowitą i część ułamkową. W liczbie $6\frac{3}{8}$ część całkowita to 6, a część ułamkowa to $\frac{3}{8}$. Czytamy najpierw część całkowitą, potem „i” oraz ułamek: sześć i trzy ósme.

13.Milimetry jako część centymetra

1 cm = 10 mm, więc 1 mm to $\frac{1}{10}$ cm, a 9 mm to $\frac{9}{10}$ cm. Pełne centymetry tworzą część całkowitą: 5 cm 7 mm to $5\frac{7}{10}$ cm.

14.Centymetry jako ułamek zwykły metra

1 m = 100 cm, więc 1 cm to $\frac{1}{100}$ m, a 41 cm to $\frac{41}{100}$ m. Pełne metry tworzą część całkowitą: 2 m 39 cm to $2\frac{39}{100}$ m.

15.Dekagramy, kilogramy i tony jako ułamki

1 kg = 100 dag, więc 1 dag to $\frac{1}{100}$ kg, a 3 kg 29 dag to $3\frac{29}{100}$ kg. 1 t = 1000 kg, więc 1 kg to $\frac{1}{1000}$ t, a 7 kg to $\frac{7}{1000}$ t.

16.Doby, godziny i minuty jako ułamki

Tydzień ma 7 dób, doba ma 24 godziny, a godzina - 60 minut. Dlatego 2 doby to $\frac{2}{7}$ tygodnia, 5 godzin to $\frac{5}{24}$ doby, a 13 minut to $\frac{13}{60}$ godziny. 1 tydzień i 4 doby to $1\frac{4}{7}$ tygodnia.

17.Ile całości złożymy z części?

Sprawdzamy, ile pełnych całości da się złożyć z części - to część całkowita. Pozostałe części tworzą część ułamkową. Godzina ma 4 kwadranse, więc kwadrans to $\frac{1}{4}$ godziny. 9 kwadransów to 2 pełne godziny (8 kwadransów) i 1 kwadrans, czyli $2\frac{1}{4}$ godziny.

18.Zamiana liczby mieszanej na mniejsze jednostki

Część całkowitą zamieniamy na mniejsze jednostki i dodajemy część ułamkową. $1\frac{1}{2}$ doby to 24 godziny i pół doby, czyli 12 godzin - razem 36 godzin. $2\frac{3}{4}$ godziny to 120 minut i 3 kwadranse, czyli 45 minut - razem 165 minut.

19.Jak zaznaczyć ułamek na osi liczbowej?

Odcinek od 0 do 1 (odcinek jednostkowy) dzielimy kreskami na tyle równych części, ile wynosi mianownik. Potem od zera odliczamy w prawo tyle części, ile wynosi licznik. Na rysunku zamiast kresek są kropki: dzielą odcinek od 0 do 1 na 6 równych części, a $\frac{5}{6}$ leży na piątej kropce za zerem.

20.Odcinek jednostkowy w kratkach

Odcinek jednostkowy to odcinek od 0 do 1. Jego długość wybieramy sami, tak żeby dało się go łatwo podzielić na potrzebne części. Gdy ma 8 kratek, to $\frac{1}{8}$ to 1 kratka, $\frac{1}{4}$ - 2 kratki, a $\frac{1}{2}$ - 4 kratki. Odcinki od 1 do 2, od 2 do 3 itd. mają tę samą długość.

21.Jak zaznaczyć liczbę mieszaną na osi?

Część całkowita mówi, za którą liczbą szukać punktu. Odcinek od tej liczby do następnej dzielimy na tyle części, ile wynosi mianownik, i odliczamy tyle, ile wynosi licznik. Na rysunku $1\frac{1}{3}$ leży o jedną z trzech równych części za liczbą 1, a $2\frac{2}{3}$ - o dwie takie części za liczbą 2.

22.Gdzie na osi leżą ułamki i liczby mieszane?

Ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika (np. $\frac{4}{7}$), leży między 0 a 1. Liczba mieszana leży między swoją częścią całkowitą a następną liczbą naturalną: $1\frac{4}{7}$ - między 1 a 2, a $5\frac{4}{7}$ - między 5 a 6.

23.Porównywanie liczb na osi liczbowej

Na osi liczbowej większa liczba leży bardziej w prawo. Z dwóch ułamków większy jest ten, który leży dalej od zera. Na rysunku widać, że $\frac{1}{8} < \frac{1}{3} < \frac{3}{5} < \frac{7}{8}$.

24.Porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach

Gdy dwa ułamki mają jednakowe mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik. Całości są wtedy podzielone na tak samo duże części, więc więcej części to więcej: $\frac{5}{9} > \frac{2}{9}$.

25.Porównywanie ułamków o jednakowych licznikach

Gdy dwa ułamki mają jednakowe liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik. Im na mniej części podzielimy całość, tym większa jest każda część: $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$. Większy mianownik nie oznacza większego ułamka.

26.Jak zmienia się ułamek, gdy zmienimy licznik albo mianownik?

Gdy licznik zmniejszymy, a mianownik zostanie bez zmiany, ułamek się zmniejszy: $\frac{3}{7} < \frac{4}{7}$. Gdy licznik zostanie bez zmiany, a mianownik zwiększymy, ułamek też się zmniejszy, bo części są mniejsze: $\frac{4}{9} < \frac{4}{7}$. Gdy licznik zwiększymy albo mianownik zmniejszymy (a druga liczba się nie zmieni), ułamek się zwiększy.

27.Porównywanie liczb mieszanych

Najpierw porównujemy części całkowite: większa jest liczba o większej części całkowitej, np. $3\frac{1}{5} > 2\frac{7}{8}$. Gdy części całkowite są równe, porównujemy części ułamkowe tak jak zwykłe ułamki: $4\frac{5}{9} > 4\frac{2}{9}$.

28.Porównywanie ułamka z $\frac{1}{2}$

Gdy licznik jest mniejszy od połowy mianownika, ułamek jest mniejszy od $\frac{1}{2}$: $\frac{4}{10} < \frac{1}{2}$, bo połowa z 10 to 5, a 4 < 5. Gdy licznik jest większy od połowy mianownika, ułamek jest większy od $\frac{1}{2}$: $\frac{7}{12} > \frac{1}{2}$, bo 7 > 6. Połowa z 11 to $5\frac{1}{2}$, więc $\frac{5}{11} < \frac{1}{2}$. Rysunek pokazuje paski $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{10}$ i $\frac{7}{12}$.

29.Porównywanie ułamków za pomocą $\frac{1}{2}$

Gdy jeden ułamek jest mniejszy od $\frac{1}{2}$, a drugi większy od $\frac{1}{2}$, to większy jest ten drugi. Tak porównujemy niektóre ułamki o różnych licznikach i mianownikach: $\frac{5}{9} > \frac{3}{10}$, bo $\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$ (połowa z 9 to $4\frac{1}{2}$), a $\frac{3}{10} < \frac{1}{2}$ (3 < 5).

30.Który ułamek leży bliżej 1?

Gdy licznik jest o 1 mniejszy od mianownika, do całości brakuje jednej części. Ułamkowi $\frac{2}{3}$ brakuje do 1 jednej trzeciej, a ułamkowi $\frac{7}{8}$ - jednej ósmej. Bliżej 1 leży ten ułamek, któremu brakuje mniej, i to on jest większy: $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$, więc $\frac{7}{8}$ leży bliżej 1 i $\frac{7}{8} > \frac{2}{3}$.

31.Porządkowanie ułamków i liczb mieszanych

Aby ustawić liczby od najmniejszej do największej, najpierw wypisujemy ułamki mniejsze od 1, a potem liczby mieszane według części całkowitych. Liczby o tej samej części całkowitej porządkujemy według części ułamkowych. Przykład: $\frac{1}{6}$, $\frac{5}{6}$, $2\frac{1}{4}$, $2\frac{3}{4}$, $3\frac{1}{2}$.

32.Ułamki równe

Różne ułamki mogą przedstawiać tę samą liczbę. Trzy czwarte paska to tyle samo, co sześć ósmych takiego samego paska, więc $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$. Na osi liczbowej takie ułamki leżą w tym samym punkcie.

33.Rozszerzanie ułamka

Rozszerzanie ułamka to mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia: $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}$. Każdy ułamek można rozszerzyć.

34.Częste błędy przy rozszerzaniu

Mnożymy obie liczby: licznik i mianownik. Gdy pomnożymy tylko licznik, ułamek się zmieni: $\frac{1}{4}$ to nie $\frac{3}{4}$, tylko $\frac{3}{12}$. Nie wolno też dodawać tej samej liczby: $\frac{4}{5}$ to nie $\frac{5}{6}$, tylko np. $\frac{8}{10}$.

35.Jak znaleźć brakujący licznik lub mianownik?

Sprawdzamy, przez jaką liczbę pomnożono znany mianownik (albo licznik), i przez tę samą liczbę mnożymy drugą liczbę. W zapisie $\frac{3}{5} = \frac{?}{20}$ mianownik pomnożono przez 4, bo $5 \cdot 4 = 20$. Licznik to $3 \cdot 4 = 12$, więc $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$.

36.Skracanie ułamka

Skracanie ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Wartość ułamka się nie zmienia: $\frac{10}{25} = \frac{10 : 5}{25 : 5} = \frac{2}{5}$. Dzielimy przez liczbę, przez którą dzieli się i licznik, i mianownik.

37.Ułamek nieskracalny

Ułamek nieskracalny to ułamek, którego nie da się skrócić: licznika i mianownika nie można podzielić przez tę samą liczbę większą od 1. Nieskracalne są np. $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{15}$. Każdy ułamek można rozszerzyć, ale nie każdy można skrócić.

38.Jak skrócić ułamek do postaci nieskracalnej?

Dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę tak długo, aż nie da się dalej. Można w kilku krokach: $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (najpierw przez 2, potem przez 3), albo od razu przez największą możliwą liczbę: $\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$.

39.Jak sprawdzić, czy dwa ułamki są równe?

Skracamy oba ułamki do postaci nieskracalnej albo rozszerzamy je do tego samego mianownika i porównujemy. $\frac{10}{12}$ i $\frac{15}{18}$ są równe, bo po skróceniu oba dają $\frac{5}{6}$: $\frac{10 : 2}{12 : 2} = \frac{5}{6}$ i $\frac{15 : 3}{18 : 3} = \frac{5}{6}$.

40.Porównywanie ułamków przez rozszerzanie do wspólnego mianownika

Gdy ułamki mają różne liczniki i różne mianowniki, rozszerzamy jeden z nich albo oba tak, aby miały ten sam mianownik. Wtedy większy jest ten, który ma większy licznik: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ i $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, więc $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi (np. 8 przez 4), wystarczy rozszerzyć jeden ułamek.