Wielokąty, obwody, koła, okręgi i skala - Matematyka z plusem 4

1.Wielokąt

Wielokąt to figura, której brzeg składa się z samych odcinków - boków wielokąta. Wielokątami są np. trójkąty, kwadraty i pięciokąty. Nie są wielokątami figury, których brzeg jest choć częściowo zakrzywiony, np. koło, ani figury z dziurą w środku.

2.Wierzchołki, boki i kąty wielokąta

Wielokąt nazywamy literami jego wierzchołków wypisanymi po kolei, np. pięciokąt ABCDE. Punkty A, B, C, D, E to wierzchołki, a odcinki AB, BC, CD, DE i AE - boki tego pięciokąta. Każdy bok łączy dwa sąsiednie wierzchołki, a przy każdym wierzchołku jest jeden kąt wielokąta. Jednakowe kreski na rysunku oznaczają równe boki, ale w innych wielokątach boki mogą być różne.

3.Nazwy wielokątów

Nazwę wielokąta tworzymy od liczby jego kątów. Wielokąty, które mają 3 kąty, nazywamy trójkątami, a te, które mają 4 kąty - czworokątami. Wielokąt o 5 kątach to pięciokąt, o 6 kątach - sześciokąt, o 8 kątach - ośmiokąt i tak dalej.

4.Ile boków, kątów i wierzchołków ma wielokąt?

W każdym wielokącie liczba boków jest taka sama jak liczba kątów i jak liczba wierzchołków. Trójkąt ma 3 boki, 3 kąty i 3 wierzchołki, a ośmiokąt - 8 boków, 8 kątów i 8 wierzchołków. Gdy znamy jedną z tych liczb, znamy też dwie pozostałe.

5.Które punkty należą do wielokąta?

Do wielokąta należą nie tylko punkty leżące na jego bokach, ale także wszystkie punkty leżące wewnątrz wielokąta. Punkty leżące na zewnątrz nie należą do wielokąta. Gdy dwa wielokąty zachodzą na siebie, ich wspólną część tworzą punkty, które należą do obu wielokątów naraz.

6.Kąty w wielokącie

Kąty wielokąta mogą być ostre, proste albo rozwarte. Wielokąt z wcięciem ma też kąt wklęsły, czyli większy od kąta półpełnego ($180^\circ$) i mniejszy od kąta pełnego ($360^\circ$). Na przykład czworokąt w kształcie grotu strzałki ma jeden kąt wklęsły. Trójkąt nie może mieć kąta wklęsłego.

7.Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. W prostokącie ABCD boki AB i CD są równoległe i mają tę samą długość. Boki AD i BC także są równoległe i mają tę samą długość. Na rysunku kąty proste zaznaczono kwadracikami (w zeszycie zaznaczamy je łukiem z kropką), a długości par boków - literami a i b.

8.Czy czworokąt ABCD na rysunku jest prostokątem?

Nie. Ten czworokąt ma dwa kąty proste, przy wierzchołkach A i D (na rysunku zaznaczone kwadracikami), ale kąty przy wierzchołkach B i C nie są proste. Prostokąt musi mieć wszystkie cztery kąty proste, więc czworokąt z jednym albo dwoma kątami prostymi nie jest prostokątem. Strzałki na rysunku oznaczają, że boki AB i DC są równoległe.

9.Kwadrat

Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równej długości. Na przykład kwadrat o boku 3 cm ma cztery boki po 3 cm i cztery kąty proste. Sąsiednie boki kwadratu są prostopadłe, a boki leżące naprzeciw siebie - równoległe.

10.Kwadrat a prostokąt

Kwadrat ma wszystkie kąty proste, więc jest prostokątem - to specjalny rodzaj prostokąta. Każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem. Prostokąt jest kwadratem tylko wtedy, gdy wszystkie jego boki mają równą długość.

11.Czy czworokąt na rysunku jest kwadratem? Wszystkie jego boki mają równą długość.

Nie. Ten czworokąt ma wszystkie boki równej długości (pokazują to jednakowe kreski na bokach), ale jego kąty nie są proste. Kwadrat musi mieć i równe boki, i wszystkie kąty proste. Tak samo czworokąt o jednakowych kątach nie musi być kwadratem - może to być prostokąt o różnych bokach.

12.Jak narysować prostokąt za pomocą ekierki?

Rysujemy odcinek - pierwszy bok prostokąta. Do jego końca przykładamy ekierkę kątem prostym i rysujemy drugi bok, prostopadły do pierwszego. Tak samo rysujemy trzeci bok, prostopadły do drugiego, i czwarty, który zamyka prostokąt. Długości boków odmierzamy linijką, np. dla prostokąta o bokach 5 cm i 3 cm kolejno 5 cm, 3 cm, 5 cm i 3 cm.

13.Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Na przykład trójkąt o bokach 5 cm, 6 cm i 8 cm ma obwód $5~\mathrm{cm} + 6~\mathrm{cm} + 8~\mathrm{cm} = 19~\mathrm{cm}$. Obwód przydaje się w życiu: mówi, ile potrzeba uszczelki do okna albo siatki na płot wokół działki.

14.Obwód kwadratu

Kwadrat ma 4 boki równej długości, więc jego obwód to 4 razy długość boku. Na przykład kwadrat o boku 6 cm ma obwód $4 \cdot 6~\mathrm{cm} = 24~\mathrm{cm}$. To szybciej niż dodawanie $6 + 6 + 6 + 6$.

15.Obwód prostokąta

Prostokąt ma dwie pary boków równej długości, więc jego obwód to 2 razy jeden bok i 2 razy drugi bok. Na przykład prostokąt o bokach 5 cm i 4 cm ma obwód $2 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 10 + 8 = 18$, czyli 18 cm.

16.Wymiary prostokąta

Gdy jeden bok prostokąta ma 4 cm, a drugi 9 cm, mówimy, że ten prostokąt ma wymiary 4 cm i 9 cm. Zapisujemy to tak: $4~\mathrm{cm} \times 9~\mathrm{cm}$. Wymiary to długości dwóch sąsiednich boków, więc wystarczą do obliczenia obwodu: $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = 26$, czyli 26 cm.

17.Obwód, gdy boki są podane w różnych jednostkach

Gdy chcemy obliczyć obwód wielokąta, musimy wyrazić długości jego boków w tych samych jednostkach. Na przykład prostokąt ma boki 3 dm i 18 cm. Zamieniamy: $3~\mathrm{dm} = 30~\mathrm{cm}$. Obwód to $2 \cdot 30 + 2 \cdot 18 = 60 + 36 = 96$, czyli 96 cm.

18.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znamy jego obwód?

Obwód kwadratu to 4 równe boki, więc długość boku obliczamy, dzieląc obwód przez 4. Na przykład kwadrat o obwodzie 44 cm ma bok $44 : 4 = 11$, czyli 11 cm. Sprawdzamy: $4 \cdot 11 = 44$.

19.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znamy obwód i jeden bok?

Połowa obwodu prostokąta to suma długości dwóch sąsiednich boków. Dzielimy więc obwód przez 2, a od wyniku odejmujemy znany bok. Na przykład obwód wynosi 34 cm, a jeden bok ma 12 cm: $34 : 2 = 17$ i $17 - 12 = 5$, więc drugi bok ma 5 cm. Sprawdzamy: $2 \cdot 12 + 2 \cdot 5 = 34$.

20.Prostokąt i kwadrat z jednakowych patyczków

Gdy układamy figurę ze wszystkich patyczków, liczba patyczków to jej obwód mierzony w patyczkach. Prostokąt ma dwie pary równych boków, więc ułożymy go tylko z parzystej liczby patyczków. Kwadrat ma 4 równe boki, więc liczba patyczków musi dzielić się przez 4. Na przykład z 10 patyczków ułożymy prostokąt o bokach 2 i 3 patyczki, ale kwadratu nie.

21.Okrąg i koło

Gdy obrysujemy monetę wzdłuż jej brzegu, narysujemy linię, którą nazywamy okręgiem. Okrąg oraz wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu tworzą figurę, którą nazywamy kołem. W matematyce słowo „koło” ma więc inne znaczenie niż w języku codziennym.

22.Środek okręgu i środek koła

Wszystkie punkty okręgu leżą w jednakowej odległości od pewnego punktu. Ten punkt nazywamy środkiem okręgu oraz środkiem koła ograniczonego przez ten okrąg. Często oznaczamy go literą S. Pamiętaj, że środek okręgu nie należy do okręgu, ale należy do koła.

23.Jak narysować okrąg cyrklem?

Zaznaczamy punkt, który będzie środkiem okręgu. Rozstawiamy nóżki cyrkla na wybraną odległość, np. 3 cm, odmierzając ją na linijce. Wbijamy nóżkę z igłą w środek, a końcówką z grafitem zataczamy okrąg. Każdy punkt tego okręgu leży 3 cm od środka.

24.Promień okręgu

Promień okręgu to odcinek łączący środek okręgu z punktem na okręgu. Wszystkie promienie jednego okręgu mają tę samą długość. Promieniem nazywamy też długość tego odcinka: okrąg o promieniu 3 cm ma wszystkie punkty w odległości 3 cm od środka. Na rysunku promień oznaczono literą r, a środek - literą S.

25.Punkt na okręgu, w kole i poza kołem

Punkt leżący na okręgu należy i do okręgu, i do koła. Punkt leżący wewnątrz okręgu należy tylko do koła, a punkt leżący na zewnątrz - do żadnej z tych figur. Decyduje odległość od środka S. Gdy okrąg ma promień 3 cm, punkt A, dla którego $|SA| = 3~\mathrm{cm}$, leży na okręgu, punkt B, dla którego $|SB| < 3~\mathrm{cm}$, leży wewnątrz, a punkt C, dla którego $|SC| > 3~\mathrm{cm}$, leży poza kołem.

26.Cięciwa

Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na okręgu. Cięciwa nie musi przechodzić przez środek okręgu. Na rysunku cięciwą jest odcinek AB, a S to środek okręgu.

27.Średnica

Cięciwa przechodząca przez środek okręgu to średnica. Średnica okręgu jest 2 razy dłuższa niż jego promień, a promień jest 2 razy krótszy niż średnica. Na przykład okrąg o promieniu 4 cm ma średnicę 8 cm. Średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu. Na rysunku średnicę oznaczono literą d, a promień - literą r.

28.Co znaczy „w promieniu 1 km od szkoły”?

„W promieniu 1 km od szkoły” znaczy: w kole o środku w szkole i promieniu 1 km, czyli nie dalej niż 1 km od szkoły. Gdy w promieniu 1 km od szkoły nie ma przystanku, każdy przystanek jest dalej niż 1 km od szkoły.

29.Jednakowe okręgi, które się stykają

Gdy dwa jednakowe okręgi leżą obok siebie i się stykają, odległość ich środków to 2 promienie, czyli jedna średnica. Na przykład dla trzech takich okręgów o promieniu 3 cm w rzędzie środki skrajnych okręgów dzieli $2 \cdot 6~\mathrm{cm} = 12~\mathrm{cm}$. Gdy okrąg dotyka wszystkich boków kwadratu, bok kwadratu jest równy średnicy okręgu.

30.Skala

Skala określa, ile razy wymiary na rysunku są mniejsze lub ile razy są większe od wymiarów rzeczywistych. Duży obiekt, np. słonia, rysujemy w pomniejszeniu, a bardzo mały, np. mrówkę - w powiększeniu. Gdy rysunek przedstawia przedmiot o rzeczywistych wymiarach, mówimy, że narysowano go w skali $1 : 1$ (czytamy: jeden do jednego).

31.Skala $1 : 2$ i skala $2 : 1$

Skala $1 : 2$ (czytamy: jeden do dwóch) oznacza, że wymiary na rysunku są 2 razy mniejsze niż wymiary rzeczywiste. Skala $2 : 1$ (czytamy: dwa do jednego) oznacza, że są 2 razy większe. Tak samo w skali $1 : 10$ rysunek jest 10 razy mniejszy, a w skali $10 : 1$ - 10 razy większy. Gdy większa liczba stoi po lewej stronie, to powiększenie, a gdy po prawej - pomniejszenie.

32.Jak obliczyć rzeczywistą długość, gdy rysunek jest pomniejszony?

W skali $1 : 800$ przedmiot w rzeczywistości jest 800 razy większy niż na rysunku, więc długość z rysunku mnożymy przez 800. Na przykład dom ma na rysunku 15 mm: $15 \cdot 800 = 12\,000$, czyli $12\,000~\mathrm{mm} = 1200~\mathrm{cm} = 12~\mathrm{m}$. Duży wynik warto zamienić na większą jednostkę.

33.Jak obliczyć rzeczywistą długość, gdy rysunek jest powiększony?

W skali $6 : 1$ rysunek jest 6 razy większy niż przedmiot, więc długość z rysunku dzielimy przez 6. Na przykład owad ma na zdjęciu w tej skali 48 mm długości. W rzeczywistości ma $48 : 6 = 8$, czyli 8 mm.

34.Jak narysować przedmiot w skali?

W skali pomniejszającej rzeczywiste wymiary dzielimy, a w powiększającej - mnożymy. Na przykład biurko o wymiarach $120~\mathrm{cm} \times 60~\mathrm{cm}$ w skali $1 : 30$ rysujemy jako prostokąt $4~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$, bo $120 : 30 = 4$ i $60 : 30 = 2$. Odcinek o długości 3 mm w skali $4 : 1$ rysujemy jako odcinek $3 \cdot 4 = 12$, czyli 12 mm.

35.Który przedmiot jest większy w rzeczywistości?

Gdy przedmioty narysowano w różnych skalach, porównujemy ich rzeczywiste wymiary, a nie długości na rysunku. Na przykład dwa odcinki po 4 cm: w skali $1 : 10$ to 40 cm, a w skali $1 : 25$ - 100 cm. Przy dwóch skalach pomniejszających i tej samej długości na rysunku większy jest przedmiot narysowany w skali z większą liczbą po prawej stronie.

36.Ile w rzeczywistości to 1 cm i 1 mm na planie?

Plany mieszkań, plany miast i mapy rysuje się w odpowiedniej skali, która jest zwykle podana. Warto najpierw ustalić, jakiej odległości w rzeczywistości odpowiada 1 cm oraz 1 mm na planie. Na przykład na planie w skali $1 : 400$ odcinek 1 cm to w rzeczywistości 400 cm, czyli 4 m, a odcinek 1 mm - 400 mm, czyli 40 cm. Wtedy 7 cm na planie to $7 \cdot 4~\mathrm{m} = 28~\mathrm{m}$.

37.Jak ustalić skalę planu albo mapy?

Gdy 1 cm na planie odpowiada 40 cm w rzeczywistości, skala wynosi $1 : 40$. Obie długości muszą być w tych samych jednostkach. Na przykład gdy 1 cm na mapie to 250 m w terenie, zamieniamy $250~\mathrm{m} = 25\,000~\mathrm{cm}$, więc skala mapy to $1 : 25\,000$.

38.Skala mapy a kilometry

Na mapach odległości są duże, więc wynik zamieniamy na kilometry. Pamiętaj: $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$ i $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, więc $1~\mathrm{km} = 100\,000~\mathrm{cm}$. W skali $1 : 4\,000\,000$ 1 cm na mapie to $4\,000\,000~\mathrm{cm} = 40\,000~\mathrm{m} = 40~\mathrm{km}$, a 1 mm to 4 km.

39.Podziałka liniowa

Podziałka liniowa to odcinek na planie lub mapie podzielony na równe części, przy których podpisano odległości w terenie, np. 0, 100 m, 200 m. Odcinek z planu porównujemy z podziałką i od razu odczytujemy odległość. Gdy każda część podziałki ma 1 cm, to 1 cm na planie to 100 m, czyli $10\,000~\mathrm{cm}$, a skala planu to $1 : 10\,000$.

40.Mapy w różnych skalach

Im większa liczba po prawej stronie skali, tym bardziej pomniejszono teren. Na mapie w skali $1 : 50\,000$ 1 cm to 500 m, a w skali $1 : 250\,000$ - aż 2 km 500 m. Dlatego na kartce tej samej wielkości mapa w skali $1 : 250\,000$ pokazuje większy obszar, ale miasta i jeziora są na niej mniejsze i widać mniej szczegółów.