Proste, odcinki, mierzenie długości i kąty - Matematyka z plusem 4

1.Punkt

Punkt zaznaczamy kropką albo dwiema przecinającymi się kreseczkami (małym krzyżykiem). Punkty opisujemy wielkimi literami, np. punkt $A$, punkt $K$.

2.Odcinek

Odcinek to część linii prostej zawarta między dwoma punktami. Każdy odcinek ma dwa końce, które zaznaczamy kropkami albo małymi kreseczkami. Odcinek oznaczamy dwiema wielkimi literami jego końców, np. odcinek $AB$. Kolejność liter nie ma znaczenia: odcinek $BA$ to ten sam odcinek co $AB$.

3.Prosta

Prosta to linia narysowana przy linijce i przedłużona w obie strony w nieskończoność. Prosta nie ma początku ani końca - jest nieograniczona, więc na rysunku widać tylko jej fragment. Oznaczamy ją małą literą, np. prosta $a$, albo dwiema wielkimi literami punktów, które do niej należą, np. prosta $AB$ (to ta sama prosta co $BA$).

4.Ile prostych przechodzi przez jeden punkt, a ile przez dwa punkty?

Przez jeden punkt można poprowadzić wiele prostych - tyle, ile tylko chcemy. Przez dwa różne punkty można poprowadzić tylko jedną prostą. Punkt należy do prostej, gdy leży na tej prostej. Do każdej prostej należy nieskończenie wiele punktów.

5.Półprosta

Punkt zaznaczony na prostej dzieli ją na dwie części. Każda z tych części to półprosta. Półprosta ma początek, ale nie ma końca. Oznaczamy ją jedną małą literą albo dwiema wielkimi literami - pierwsza litera oznacza początek. Półprosta $AB$ zaczyna się w punkcie $A$ i biegnie przez $B$ dalej bez końca, a półprosta $BA$ zaczyna się w $B$ i biegnie w przeciwną stronę. To dwie różne półproste.

6.Odcinek, półprosta i prosta - czym się różnią?

Odcinek ma dwa końce. Półprosta ma początek, ale nie ma końca. Prosta nie ma ani początku, ani końca. Dlatego w całości da się narysować tylko odcinek. W nazwie odcinka i prostej kolejność liter nie ma znaczenia, a w nazwie półprostej - ma.

7.Łamana otwarta i łamana zamknięta

Łamana to kilka odcinków połączonych tak, że koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego itd. Łamana otwarta ma dwa wolne końce: łamana o kolejnych wierzchołkach $K$, $L$, $M$, $N$ składa się z 3 odcinków $KL$, $LM$ i $MN$. W łamanej zamkniętej koniec ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego, więc łamana zamknięta $KLMN$ ma 4 odcinki: $KL$, $LM$, $MN$ i $NK$.

8.Proste prostopadłe

Proste prostopadłe to dwie proste, które przecinają się pod kątem prostym. Sprawdzamy to ekierką: jej dwa krótsze boki dokładnie przylegają do obu prostych. Prostopadłość zapisujemy symbolem $\perp$: zapis $a \perp b$ czytamy: prosta $a$ jest prostopadła do prostej $b$. Proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste.

9.Jak narysować prostą prostopadłą do danej prostej?

1. Narysuj prostą. 2. Ekierka ma dwa boki prostopadłe - jeden z nich przyłóż do narysowanej prostej. 3. Wzdłuż drugiego boku prostopadłego narysuj linię i ją przedłuż. Gdy prosta prostopadła ma przechodzić przez wybrany punkt, przesuń ekierkę wzdłuż prostej, aż drugi bok dojdzie do tego punktu. Przez punkt można narysować tylko jedną prostą prostopadłą do danej prostej.

10.Proste równoległe

Proste równoległe to dwie proste, które się nie przecinają - nawet gdyby je przedłużać w nieskończoność. Takie są np. proste narysowane po obu stronach linijki. Równoległość zapisujemy symbolem $\parallel$: zapis $c \parallel d$ czytamy: prosta $c$ jest równoległa do prostej $d$.

11.Czy proste, które nie przecinają się na rysunku, są równoległe?

Nie zawsze. Rysunek pokazuje tylko fragmenty prostych. Jeśli dwie proste zbliżają się do siebie, to po przedłużeniu się przetną - ich punkt przecięcia leży poza rysunkiem, więc nie są równoległe. Proste równoległe biegną cały czas w tej samej odległości od siebie.

12.Jak narysować prostą równoległą do danej prostej?

1. Do narysowanej prostej przyłóż jeden z krótszych boków ekierki, a do drugiego, prostopadłego boku przyłóż linijkę. 2. Przytrzymaj linijkę i przesuń wzdłuż niej ekierkę. 3. Przytrzymaj ekierkę i narysuj drugą prostą wzdłuż tego samego boku. Gdy prosta ma przechodzić przez punkt $P$, przesuwaj ekierkę, aż jej bok dojdzie do tego punktu.

13.Jak mogą być położone dwie proste?

Dwie różne proste albo się przecinają, albo się nie przecinają. Proste, które się przecinają, mogą być prostopadłe (przecinają się pod kątem prostym) albo nieprostopadłe. Proste, które się nie przecinają, są równoległe.

14.Dwie proste prostopadłe do tej samej prostej

Jeśli $a \perp b$ i $c \perp b$, to proste $a$ i $c$ są równoległe: $a \parallel c$. Druga ważna zasada: prosta prostopadła do jednej z dwóch prostych równoległych jest prostopadła także do drugiej. Gdy $k \parallel m$ i $n \perp k$, to $n \perp m$.

15.Odcinki prostopadłe

Dwa odcinki są prostopadłe, jeśli leżą na prostych prostopadłych. Odcinki prostopadłe nie muszą się przecinać ani stykać - wystarczy, że pod kątem prostym przecinają się proste, na których leżą. Zapis: $AB \perp CD$.

16.Odcinki równoległe

Dwa odcinki są równoległe, jeśli leżą na prostych równoległych albo na tej samej prostej. Odcinki równoległe leżące na jednej prostej mogą mieć wspólne punkty. Zapis: $EF \parallel GH$. Dwa odcinki mogą też nie być ani prostopadłe, ani równoległe - gdy leżą na prostych, które przecinają się, ale nie pod kątem prostym.

17.Odcinki na kartce w kratkę

Na kartce w kratkę łatwo rysować odcinki wzdłuż linii kratek. Wszystkie odcinki poziome są do siebie równoległe i wszystkie odcinki pionowe też. Każdy odcinek poziomy jest prostopadły do każdego odcinka pionowego - nawet gdy się nie stykają.

18.Jak zmierzyć długość odcinka linijką?

Linijkę przykładamy wzdłuż odcinka tak, żeby kreska 0 była dokładnie przy jednym jego końcu. Przy drugim końcu odczytujemy, ile jest pełnych centymetrów i ile milimetrów. Najmniejsza działka na linijce to 1 mm. Długości mierzymy też m.in. taśmą mierniczą, centymetrem krawieckim i miernikiem laserowym.

19.Jak zapisujemy długość odcinka?

Długość odcinka oznaczamy dwiema pionowymi kreseczkami po bokach jego nazwy. Zapis $|MN| = 5~\mathrm{cm}~4~\mathrm{mm}$ czytamy: długość odcinka $MN$ jest równa 5 cm 4 mm. Prosta i półprosta nie mają długości, bo są nieograniczone.

20.Jednostki metryczne długości

Długość podajemy w jednostkach metrycznych: 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km. Zależności między nimi: $1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$. W Polsce wprowadzono je oficjalnie w 1919 roku.

21.Dawne i anglosaskie jednostki długości

Zanim w Polsce wprowadzono jednostki metryczne, długość mierzono m.in. w łokciach i wiorstach. W niektórych krajach używa się dziś jednostek anglosaskich: 1 cal (około 25 mm), 1 stopa = 12 cali, 1 jard = 3 stopy, 1 mila = 1760 jardów.

22.Mierzenie własną jednostką długości

Długość można zmierzyć np. stopą, krokiem albo rozpostartą dłonią. Wynik mówi, ile razy ta jednostka mieści się w mierzonej długości. Gdy znamy długość jednostki, mnożymy: 30 kroków po 50 cm to $30 \cdot 50~\mathrm{cm} = 1500~\mathrm{cm}$, czyli 15 m.

23.Zamiana długości z dwóch jednostek na milimetry

Większą jednostkę zamieniamy na mniejszą i dodajemy resztę: $4~\mathrm{cm}~9~\mathrm{mm} = 40~\mathrm{mm} + 9~\mathrm{mm} = 49~\mathrm{mm}$. Pamiętaj, że $1~\mathrm{dm} = 100~\mathrm{mm}$, więc $3~\mathrm{dm}~6~\mathrm{mm} = 306~\mathrm{mm}$. W drugą stronę: $91~\mathrm{mm} = 9~\mathrm{cm}~1~\mathrm{mm}$, bo w 91 mm mieści się 9 pełnych centymetrów.

24.Odcinek kilka razy dłuższy lub kilka razy krótszy

Odcinek 3 razy dłuższy ma długość 3 razy większą - mnożymy przez 3. Odcinek 3 razy krótszy - dzielimy przez 3. Najwygodniej liczyć w milimetrach. Na przykład odcinek 2 razy dłuższy od 4 cm 8 mm ma $48~\mathrm{mm} \cdot 2 = 96~\mathrm{mm}$, czyli 9 cm 6 mm, a odcinek 4 razy krótszy od 8 cm 4 mm ma $84~\mathrm{mm} : 4 = 21~\mathrm{mm}$, czyli 2 cm 1 mm.

25.Odcinek o kilka centymetrów lub milimetrów dłuższy albo krótszy

O ile dłuższy - dodajemy, o ile krótszy - odejmujemy. Dodajemy osobno centymetry i osobno milimetry, a 10 mm zamieniamy na 1 cm. Na przykład odcinek o 1 cm 7 mm dłuższy od 3 cm 5 mm ma 4 cm 12 mm, czyli 5 cm 2 mm. Odcinek o 9 mm krótszy od 5 cm 3 mm ma $53~\mathrm{mm} - 9~\mathrm{mm} = 44~\mathrm{mm}$, czyli 4 cm 4 mm.

26.Długość łamanej

Długość łamanej to suma długości odcinków, z których jest zbudowana. Mierzymy linijką każdy odcinek i dodajemy wyniki. Na przykład w łamanej $ABCD$: $|AB| = 3~\mathrm{cm}$, $|BC| = 2~\mathrm{cm}~5~\mathrm{mm}$ i $|CD| = 4~\mathrm{cm}~2~\mathrm{mm}$. Dodajemy osobno centymetry: $3 + 2 + 4 = 9$, i osobno milimetry: $5 + 2 = 7$, więc łamana ma długość 9 cm 7 mm.

27.Kąt - ramiona i wierzchołek

W kącie wskazujemy ramiona i wierzchołek. Ramiona kąta to dwie półproste, a wierzchołek to ich wspólny początek. Kąt zaznaczamy na rysunku, cieniując go albo rysując mały łuk między ramionami.

28.Jak porównać dwa kąty?

Kąty nakładamy na siebie tak, żeby pokrywały się ich wierzchołki i jedno ramię. Większy jest ten kąt, którego drugie ramię leży dalej - na zewnątrz drugiego kąta. Wielkość kąta nie zależy od długości narysowanych ramion, bo ramiona to półproste.

29.Kąt prosty

Kąt prosty to kąt, którego ramiona są prostopadłe. Zaznaczamy go łukiem i kropką (czasem też małym kwadratem przy wierzchołku). Kąt prosty łatwo narysować ekierką. Taki kąt tworzą np. brzegi kartki w jej rogu.

30.Kąt ostry, kąt rozwarty i kąt półpełny

Kąt ostry jest mniejszy od kąta prostego. Kąt rozwarty jest większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego. Ramiona kąta półpełnego tworzą prostą. Na rysunku kąt prosty zaznaczono małym kwadratem, a w zeszycie zaznaczamy go łukiem i kropką.

31.Kąt pełny i kąt wklęsły

Ramiona kąta pełnego się pokrywają - kąt pełny obejmuje wszystko dookoła wierzchołka. Kąt wklęsły jest większy od kąta półpełnego i mniejszy od kąta pełnego. W figurze kąt wklęsły jest tam, gdzie jej brzeg jest wcięty do środka.

32.Ile kątów tworzą dwie półproste o wspólnym początku?

Dwie półproste o wspólnym początku tworzą zawsze dwa kąty, np. kąt ostry i kąt wklęsły albo kąt rozwarty i kąt wklęsły. Dlatego kąt, o który chodzi, zaznaczamy łukiem. Gdy półproste tworzą prostą, oba kąty są półpełne.

33.Stopień i kąt jednostkowy

Gdy kąt prosty podzielimy na 90 takich samych części, każda z nich ma miarę $1^\circ$ (jeden stopień). Kąt o mierze $1^\circ$ to kąt jednostkowy. Miara kąta mówi, ile kątów jednostkowych się w nim mieści, np. kąt, w którym mieści się 20 kątów jednostkowych, ma $20^\circ$. Kąt prosty ma $90^\circ$.

34.Jak zmierzyć kąt kątomierzem?

1. Środek podstawy kątomierza przyłóż do wierzchołka kąta. 2. Ustaw kątomierz tak, żeby jedno ramię kąta przechodziło przez 0 na skali. 3. Na tej samej skali odczytaj liczbę przy kresce, przez którą przechodzi drugie ramię - to miara kąta w stopniach.

35.Dwie skale kątomierza

Kątomierz ma zwykle dwie skale: zewnętrzną i wewnętrzną. Przy każdej opisanej kresce stoją dwie liczby, które razem dają 180, np. 60 i 120. Odczytujemy miarę na tej skali, na której pierwsze ramię kąta przechodzi przez 0. Wynik sprawdzamy okiem: kąt ostry musi mieć mniej niż $90^\circ$, a kąt rozwarty - więcej.

36.Jak narysować kąt o danej mierze?

Na przykład kąt $65^\circ$: 1. Narysuj półprostą - to pierwsze ramię. 2. Przyłóż środek podstawy kątomierza do jej początku, tak żeby ramię przechodziło przez 0. 3. Na tej samej skali zaznacz punkt przy liczbie 65. 4. Połącz ten punkt z wierzchołkiem i przedłuż linię - to drugie ramię.

37.Rodzaje kątów a ich miary

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$. Kąt prosty ma $90^\circ$. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$. Kąt wklęsły ma więcej niż $180^\circ$ i mniej niż $360^\circ$. Kąt pełny ma $360^\circ$.

38.Jak obliczyć drugi kąt, gdy półprosta dzieli kąt półpełny albo kąt prosty?

Gdy półprosta wychodzi z punktu na prostej, dzieli kąt półpełny na dwa kąty, które razem mają $180^\circ$. Drugi kąt obliczamy, odejmując: na rysunku $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$. Gdy półprosta dzieli kąt prosty, odejmujemy od $90^\circ$, np. $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Pion i poziom też tworzą kąt prosty: słup odchylony od pionu o $10^\circ$ jest nachylony do poziomu pod kątem $80^\circ$.

39.Kąt pełny i miara kąta wklęsłego

Kąt pełny ma $360^\circ$, czyli tyle, co 4 kąty proste albo 2 kąty półpełne. Obrót o kąt prosty to ćwierć obrotu, o kąt półpełny - pół obrotu, a o kąt pełny - cały obrót. Kąt wklęsły i drugi kąt utworzony przez te same ramiona dają razem $360^\circ$. Dlatego mierzymy ten drugi kąt i odejmujemy, np. $360^\circ - 95^\circ = 265^\circ$.

40.Kąty między wskazówkami zegara

Tarcza zegara to kąt pełny podzielony na 12 równych części, więc między sąsiednimi liczbami jest $360^\circ : 12 = 30^\circ$. O pełnej godzinie liczymy, ile takich części dzieli wskazówki, np. o 2:00 kąt ma $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$, a o 3:00 wskazówki tworzą kąt prosty. Wskazówka minutowa w ciągu 60 minut obraca się o $360^\circ$, czyli w ciągu minuty - o $6^\circ$.