Działania pisemne - Matematyka z plusem 4

1.Składniki i suma

Liczby, które dodajemy, to składniki, a wynik dodawania to suma. Na przykład w działaniu $356 + 41 = 397$ liczby 356 i 41 to składniki, a 397 to suma. Zamiana kolejności składników nie zmienia sumy.

2.Dodawanie pisemne - jak podpisać liczby?

Podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd. Potem dodajemy kolejno od prawej strony: najpierw jedności, potem dziesiątki, setki i tysiące. Na przykład $5231 + 354$: jedności $1 + 4 = 5$, dziesiątki $3 + 5 = 8$, setki $2 + 3 = 5$, tysiące $5 + 0 = 5$, więc suma to 5585.

3.Dodawanie pisemne z przeniesieniem

Gdy suma cyfr w kolumnie wynosi 10 lub więcej, pod kreską zapisujemy tylko jej cyfrę jedności. Cyfrę 1 piszemy małą cyfrą nad następną kolumną i dodajemy ją razem z cyframi tej kolumny, bo np. 12 jedności to 1 dziesiątka i 2 jedności. Na przykład $368 + 254$: $8 + 4 = 12$, $1 + 6 + 5 = 12$, $1 + 3 + 2 = 6$, więc suma to 622.

4.Dodawanie liczb o różnej liczbie cyfr

Liczby wyrównujemy do prawej strony: jedności pod jednościami, a nie pierwszą cyfrę pod pierwszą. Gdzie krótsza liczba nie ma cyfry, dodajemy tylko przeniesienie albo przepisujemy cyfrę dłuższej liczby. Na przykład $4087 + 935$: $7 + 5 = 12$, $1 + 8 + 3 = 12$, $1 + 0 + 9 = 10$, $1 + 4 = 5$, więc suma to 5022. Suma może mieć więcej cyfr niż składniki: $695 + 418 = 1113$.

5.Dodawanie kilku liczb sposobem pisemnym

Wszystkie liczby podpisujemy pod sobą, jedności pod jednościami, i dodajemy kolumnami od prawej. Suma w kolumnie może wynieść 20 lub więcej - wtedy nad następną kolumną piszemy 2 albo więcej. Na przykład $268 + 497 + 57$: $8 + 7 + 7 = 22$ (piszemy 2, przenosimy 2), $2 + 6 + 9 + 5 = 22$ (piszemy 2, przenosimy 2), $2 + 2 + 4 = 8$, więc suma to 822.

6.Sprytne dodawanie liczb bliskich pełnym setkom i tysiącom

Liczbę, której brakuje niewiele do pełnej setki lub pełnego tysiąca, zaokrąglamy w górę, a potem odejmujemy to, co dodaliśmy. Na przykład $499 + 2998$: 499 to $500 - 1$, a 2998 to $3000 - 2$, więc suma to $500 + 3000 - 3 = 3497$. Taki rachunek łatwo wykonać w pamięci.

7.Odjemna, odjemnik i różnica

Odjemna to liczba, od której odejmujemy, odjemnik - liczba, którą odejmujemy, a różnica - wynik odejmowania. Na przykład w działaniu $796 - 362 = 434$ liczba 796 to odjemna, 362 to odjemnik, a 434 to różnica. Przy odejmowaniu pisemnym odjemną piszemy na górze.

8.Odejmowanie pisemne - jak liczymy?

Tak jak przy dodawaniu podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami itd. Odejmujemy kolejno od prawej: najpierw jedności, potem dziesiątki, setki i tysiące. Na przykład $4867 - 2534$: $7 - 4 = 3$, $6 - 3 = 3$, $8 - 5 = 3$, $4 - 2 = 2$, więc różnica to 2333.

9.Odejmowanie z zamianą dziesiątki na jedności

Gdy cyfra jedności odjemnej jest mniejsza od cyfry jedności odjemnika, zamieniamy 1 dziesiątkę na 10 jedności. Nad cyfrą dziesiątek piszemy liczbę o 1 mniejszą, a nad jednościami - liczbę o 10 większą. Na przykład $563 - 248$: 6 dziesiątek i 3 jedności to 5 dziesiątek i 13 jedności, więc $13 - 8 = 5$, $5 - 4 = 1$, $5 - 2 = 3$. Różnica to 315.

10.Odejmowanie z dwiema zamianami

Czasem zamianę trzeba zrobić dwa razy: najpierw 1 dziesiątkę na 10 jedności, a potem 1 setkę na 10 dziesiątek. Na przykład $652 - 279$: $12 - 9 = 3$ i zostają 4 dziesiątki. Ponieważ $4 < 7$, 6 setek i 4 dziesiątki zamieniamy na 5 setek i 14 dziesiątek: $14 - 7 = 7$. Na końcu $5 - 2 = 3$. Różnica to 373.

11.Odejmowanie, gdy w odjemnej są zera

Gdy jedności odjemnej jest za mało, a dziesiątek jest 0, nie ma dziesiątki do zamiany. Wtedy zamieniamy 1 setkę na 10 dziesiątek, a jedną z nich - na 10 jedności. Gdy setek też jest 0, zaczynamy od 1 tysiąca. Na przykład $702 - 257$: 7 setek i 2 jedności to 6 setek, 10 dziesiątek i 2 jedności, czyli 6 setek, 9 dziesiątek i 12 jedności. Nad 7 piszemy 6, nad 0 - 9, a nad 2 - 12. Teraz $12 - 7 = 5$, $9 - 5 = 4$, $6 - 2 = 4$, więc różnica to 445.

12.Sprawdzanie odejmowania dodawaniem

Wynik odejmowania sprawdzamy dodawaniem: różnica dodana do odjemnika musi dać odjemną. Na przykład $731 - 486 = 245$ jest dobrze, bo $245 + 486 = 731$. Jeśli wyjdzie inna liczba niż odjemna, trzeba poszukać błędu.

13.Jak znaleźć brakujący składnik, odjemną albo odjemnik?

Brakujący składnik to suma minus znany składnik: z $x + 356 = 902$ mamy $x = 902 - 356 = 546$. Niewiadoma odjemna to różnica plus odjemnik: z $y - 165 = 418$ mamy $y = 418 + 165 = 583$. Niewiadomy odjemnik to odjemna minus różnica: z $840 - z = 362$ mamy $z = 840 - 362 = 478$.

14.Szukanie liczby od końca

Gdy wiemy, co zrobiono z liczbą i jaki był wynik, liczymy od końca działaniami odwrotnymi: dodawanie cofamy odejmowaniem, a odejmowanie - dodawaniem. Na przykład liczbę powiększono o 145, potem o 230 i otrzymano 812. Szukana liczba to $812 - 230 - 145 = 437$. Sprawdzenie: $437 + 145 + 230 = 812$.

15.Czynniki i iloczyn

Liczby, które mnożymy, to czynniki, a wynik mnożenia to iloczyn. Mnożenie zastępuje dodawanie jednakowych składników: 5 biletów po 46 zł to $46 + 46 + 46 + 46 + 46 = 5 \cdot 46 = 230$ zł. Tu 5 i 46 to czynniki, a 230 to iloczyn.

16.Mnożenie przez liczbę jednocyfrową - rozkład

Liczbę rozkładamy na setki, dziesiątki i jedności, każdą część mnożymy osobno, a wyniki dodajemy. Na przykład $3 \cdot 254 = 3 \cdot 200 + 3 \cdot 50 + 3 \cdot 4 = 600 + 150 + 12 = 762$. Tak samo działa mnożenie pisemne, tylko zapisane krócej.

17.Mnożenie pisemne przez liczbę jednocyfrową

Liczbę jednocyfrową podpisujemy pod cyfrą jedności i mnożymy przez nią kolejno jedności, dziesiątki i setki. Z każdego iloczynu zapisujemy cyfrę jedności, a dziesiątki piszemy małą cyfrą nad następną kolumną i dodajemy je po kolejnym mnożeniu. Na przykład $258 \cdot 7$: $7 \cdot 8 = 56$, $7 \cdot 5 + 5 = 40$, $7 \cdot 2 + 4 = 18$, więc iloczyn to 1806.

18.Mnożenie, gdy w liczbie jest zero

Zero razy dowolna liczba daje 0, ale przeniesienie z poprzedniej kolumny trzeba dopisać. Na przykład $305 \cdot 4$: $4 \cdot 5 = 20$ (piszemy 0, przenosimy 2), $4 \cdot 0 + 2 = 2$, $4 \cdot 3 = 12$, więc iloczyn to 1220. Gdy zgubimy przeniesienie przy zerze, wyjdzie błędnie 1200.

19.Ostatni krok mnożenia pisemnego

Gdy mnożymy ostatnią cyfrę z lewej, nie ma już następnej kolumny. Dlatego cały wynik tego kroku, razem z przeniesieniem, zapisujemy pod kreską. Na przykład $4687 \cdot 6$: $6 \cdot 7 = 42$, $6 \cdot 8 + 4 = 52$, $6 \cdot 6 + 5 = 41$, $6 \cdot 4 + 4 = 28$ - zapisujemy całe 28. Iloczyn to 28 122.

20.Mnożenie pisemne przez 20, 300, 4000 itp.

Mnożymy tak jak przez liczbę jednocyfrową, a potem do wyniku dopisujemy zera. Cyfrę różną od zera podpisujemy pod cyfrą jedności, a zera odsuwamy za kreskę. Na przykład $423 \cdot 300$: $423 \cdot 3 = 1269$, dopisujemy dwa zera i mamy 126 900. Tak samo przy mnożeniu przez 10, 100 i 1000 dopisujemy 1, 2 albo 3 zera.

21.Zera na końcu obu czynników

Oddzielamy kreską zera na końcu obu czynników i mnożymy liczby bez zer. Potem dopisujemy wszystkie zera z obu czynników. Na przykład $2400 \cdot 30$: $24 \cdot 3 = 72$, a zer jest $2 + 1 = 3$, więc iloczyn to 72 000. Tak samo liczymy przy czynnikach wielocyfrowych.

22.Dodatkowe zero w iloczynie

Iloczyn może mieć na końcu więcej zer, niż mają razem czynniki. Dzieje się tak, gdy iloczyn cyfr sam kończy się zerem. Na przykład $40 \cdot 50 = 2000$, bo $4 \cdot 5 = 20$ i dopisujemy jeszcze 2 zera - razem są 3 zera. Tak samo $600 \cdot 5 = 3000$.

23.Mnożenie przez liczbę dwucyfrową - rozkład

Liczbę dwucyfrową rozkładamy na dziesiątki i jedności. Mnożymy przez każdą część osobno, a wyniki dodajemy. Na przykład $136 \cdot 27 = 136 \cdot 20 + 136 \cdot 7 = 2720 + 952 = 3672$.

24.Mnożenie pisemne przez liczbę dwucyfrową

Najpierw mnożymy przez cyfrę jedności i zapisujemy pierwszy wiersz. Potem mnożymy przez cyfrę dziesiątek. Wynik to dziesiątki, więc drugi wiersz przesuwamy o jedno miejsce w lewo (albo dopisujemy na jego końcu 0). Na końcu dodajemy oba wiersze. Na przykład $136 \cdot 27$: $136 \cdot 7 = 952$, $136 \cdot 2 = 272$ dziesiątki, czyli 2720, a $952 + 2720 = 3672$.

25.Mnożenie pisemne przez liczbę trzycyfrową

Zapisujemy trzy wiersze: iloczyn przez cyfrę jedności, przez cyfrę dziesiątek (przesunięty o jedno miejsce w lewo) i przez cyfrę setek (przesunięty o dwa miejsca). Potem dodajemy wiersze. Na przykład $326 \cdot 152$: $326 \cdot 2 = 652$, $326 \cdot 50 = 16\,300$, $326 \cdot 100 = 32\,600$, a suma wierszy to 49 552.

26.Zero w środku drugiego czynnika

Mnożenie przez 0 daje wiersz samych zer, więc możemy go pominąć. Wtedy następny wiersz przesuwamy o dwa miejsca w lewo. Na przykład $231 \cdot 406$: $231 \cdot 6 = 1386$, wiersz zer pomijamy, a $231 \cdot 4 = 924$ to setki, czyli 92 400. Iloczyn to $1386 + 92\,400 = 93\,786$.

27.Kwadrat i sześcian liczby - obliczenia pisemne

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch takich samych czynników, a sześcian - trzech. Na przykład $37^2 = 37 \cdot 37 = 1369$, a $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$. Sześcian liczymy w dwóch krokach: najpierw kwadrat, potem jeszcze raz mnożymy przez tę liczbę.

28.Dzielna, dzielnik, iloraz i reszta

Dzielna to liczba, którą dzielimy, dzielnik - liczba, przez którą dzielimy, a iloraz - wynik dzielenia. To, co zostaje, to reszta, zapisywana literą r. Na przykład w działaniu $865 : 3 = 288 \text{ r } 1$ liczba 865 to dzielna, 3 to dzielnik, 288 to iloraz, a 1 to reszta. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

29.Dzielenie pisemne krok po kroku

Dzielimy od lewej strony. Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w pierwszej cyfrze dzielnej, i tę cyfrę wyniku piszemy nad nią. Mnożymy ją przez dzielnik i odejmujemy. Do różnicy dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i powtarzamy. Na przykład $865 : 3$: $8 : 3 = 2 \text{ r } 2$, $26 : 3 = 8 \text{ r } 2$, $25 : 3 = 8 \text{ r } 1$, więc $865 : 3 = 288 \text{ r } 1$.

30.Jak dobrać cyfrę ilorazu?

Szukamy największej liczby, która pomnożona przez dzielnik nie przekracza dzielonej liczby. Na przykład w $29 : 4$ bierzemy 7, bo $7 \cdot 4 = 28$, a $8 \cdot 4 = 32$ to już za dużo. Po odjęciu musi zostać mniej niż dzielnik. Gdy zostaje tyle, ile wynosi dzielnik, albo więcej, cyfra wyniku jest za mała.

31.Sprawdzanie dzielenia mnożeniem

Iloraz mnożymy przez dzielnik i dodajemy resztę - musi wyjść dzielna. Na przykład $865 : 3 = 288 \text{ r } 1$ jest dobrze, bo $288 \cdot 3 = 864$, a $864 + 1 = 865$. Gdy dzielenie jest bez reszty, wystarczy samo mnożenie.

32.Gdy pierwsza cyfra dzielnej jest mniejsza od dzielnika

Wtedy zaczynamy od liczby utworzonej z dwóch pierwszych cyfr dzielnej. Pierwszą cyfrę wyniku piszemy nad drugą cyfrą dzielnej, a iloraz ma o jedną cyfrę mniej niż dzielna. Na przykład $371 : 7$: $3 < 7$, więc bierzemy 37: $37 : 7 = 5 \text{ r } 2$, potem $21 : 7 = 3$. Iloraz to 53.

33.Gdy w środku dzielenia odejmowanie daje 0

Zera nie zapisujemy, tylko od razu przepisujemy kolejną cyfrę dzielnej i dzielimy dalej. Na przykład $726 : 6$: $7 : 6 = 1 \text{ r } 1$, potem $12 : 6 = 2$ i $12 - 12 = 0$, więc przepisujemy 6: $6 : 6 = 1$. Iloraz to 121. Dzielenie kończy się dopiero po ostatniej cyfrze dzielnej.

34.Zero w ilorazie

Jeśli przepisana cyfra jest mniejsza od dzielnika, w wyniku piszemy 0 i dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej. Na przykład $4235 : 7$: $4 < 7$, więc $42 : 7 = 6$. Potem przepisujemy 3, a $3 < 7$, więc w wyniku piszemy 0. Dopisujemy 5: $35 : 7 = 5$. Iloraz to 605, a nie 65.

35.Skrócony zapis dzielenia

W niektórych krajach, np. w Szwecji, dzieli się krócej: bez zapisywania mnożenia i odejmowania. Resztę z każdego kroku pisze się małą cyfrą przed następną cyfrą dzielnej. Na przykład $583 : 4$: $5 : 4 = 1 \text{ r } 1$, potem $18 : 4 = 4 \text{ r } 2$, a na końcu $23 : 4 = 5 \text{ r } 3$. Wynik: $583 : 4 = 145 \text{ r } 3$.

36.Jakie działanie wybrać w zadaniu tekstowym?

„O ... więcej” oznacza dodawanie, a „o ... mniej” - odejmowanie. „... razy więcej” oznacza mnożenie, a „... razy mniej” - dzielenie. Na przykład dla liczby 120: o 4 więcej to 124, o 4 mniej - 116, 4 razy więcej - 480, a 4 razy mniej - 30. Pytanie „o ile więcej?” rozwiązujemy odejmowaniem.

37.Zadanie tekstowe w kilku krokach

Czytamy uważnie treść i ustalamy, co wiemy i czego szukamy. Dzielimy rozwiązanie na kroki i każde działanie liczymy pisemnie. Na końcu sprawdzamy, czy wynik ma sens, i piszemy odpowiedź. Na przykład kupujemy 4 bilety po 38 zł i płacimy 200 zł: $4 \cdot 38 = 152$, $200 - 152 = 48$, więc reszta wynosi 48 zł.

38.Co zrobić z resztą w zadaniu tekstowym?

Znaczenie reszty odczytujemy z treści zadania. Na przykład 470 jajek pakujemy po 6: $470 : 6 = 78 \text{ r } 2$. Pełnych opakowań będzie 78, a 2 jajka zostaną. Jeśli jednak chcemy zapakować wszystkie jajka, potrzeba 79 opakowań.

39.Kolejność działań z obliczeniami pisemnymi

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Mnożenie i dzielenie stojące obok siebie wykonujemy po kolei, od lewej do prawej - tak samo dodawanie i odejmowanie. Trudniejsze działania liczymy pisemnie z boku. Na przykład $2000 - 3 \cdot 452$: najpierw $3 \cdot 452 = 1356$, potem $2000 - 1356 = 644$. A w $852 : 6 \cdot 4$ najpierw dzielimy: $852 : 6 = 142$, potem $142 \cdot 4 = 568$.

40.Czy wynik ma sens? Szacowanie i liczba cyfr

Liczby zaokrąglamy do pełnych setek lub tysięcy i liczymy w pamięci - wynik pisemny ma być blisko tego oszacowania. Na przykład $398 \cdot 6$ to około $400 \cdot 6 = 2400$, więc wynik 1888 jest zły (dobrze: 2388). Liczbę cyfr wyniku sprawdzamy na najmniejszych i największych liczbach: iloczyn liczby dwucyfrowej i trzycyfrowej to co najmniej $10 \cdot 100 = 1000$, a najwyżej $99 \cdot 999 = 98\,901$, czyli ma 4 albo 5 cyfr.