Długość, masa, liczby rzymskie, kalendarz i zegar - Matematyka z plusem 4

1.Jednostki długości

Długość, odległość, wysokość i szerokość podajemy w jednostkach długości: milimetr (mm), centymetr (cm), decymetr (dm), metr (m) i kilometr (km). Małe przedmioty mierzymy zwykle w milimetrach lub centymetrach, wzrost człowieka i wymiary pokoju - w metrach i centymetrach, a odległości między miejscowościami - w kilometrach.

2.Zależności między jednostkami długości

$1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{dm}$, $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$. Na linijce odstęp między sąsiednimi kreseczkami to 1 mm, więc 1 cm to 10 takich odstępów. Metr to 100 razy więcej niż centymetr, a kilometr - 1000 razy więcej niż metr.

3.Zamiana długości na mniejszą jednostkę

Gdy zamieniamy większą jednostkę na mniejszą, mnożymy: centymetry na milimetry i decymetry na centymetry - przez 10, metry na centymetry - przez 100, a kilometry na metry - przez 1000. Na przykład $26~\mathrm{cm} = 260~\mathrm{mm}$, bo $26 \cdot 10 = 260$, $14~\mathrm{m} = 1400~\mathrm{cm}$, bo $14 \cdot 100 = 1400$, a $9~\mathrm{km} = 9000~\mathrm{m}$.

4.Długość podana w dwóch jednostkach

Długość można podać w dwóch jednostkach naraz, np. 4 cm 7 mm, albo tylko w mniejszej jednostce. Większą część zamieniamy na mniejszą jednostkę i dodajemy resztę: $4~\mathrm{cm}~7~\mathrm{mm} = 40~\mathrm{mm} + 7~\mathrm{mm} = 47~\mathrm{mm}$. Uwaga na zera: $9~\mathrm{m}~4~\mathrm{cm} = 904~\mathrm{cm}$, a nie 94 cm, a $3~\mathrm{km}~25~\mathrm{m} = 3025~\mathrm{m}$.

5.Zamiana długości na większą jednostkę

Gdy zamieniamy mniejszą jednostkę na większą, dzielimy: milimetry na centymetry i centymetry na decymetry - przez 10, centymetry na metry - przez 100, a metry na kilometry - przez 1000. Gdy liczba kończy się zerami, skreślamy tyle zer, ile ma liczba, przez którą dzielimy: $900~\mathrm{mm} = 90~\mathrm{cm}$ (jedno zero), $4500~\mathrm{cm} = 45~\mathrm{m}$ (dwa zera), $27\,000~\mathrm{m} = 27~\mathrm{km}$ (trzy zera).

6.Zapis długości za pomocą dwóch jednostek

Sprawdzamy, ile pełnych większych jednostek mieści się w długości, a resztę zostawiamy w mniejszej jednostce. Na przykład 4250 m to 4 km 250 m, bo $4 \cdot 1000 = 4000$ i $4250 - 4000 = 250$. Tak samo 368 cm to 3 m 68 cm, a 53 mm to 5 cm 3 mm.

7.Zamiana jednostek długości w dwóch krokach

Gdy jednostki nie stoją obok siebie, zamieniamy je krok po kroku. Na przykład $5~\mathrm{m} = 500~\mathrm{cm} = 5000~\mathrm{mm}$, bo metr ma 100 cm, a centymetr - 10 mm. Stąd $1~\mathrm{m} = 1000~\mathrm{mm}$ i $1~\mathrm{dm} = 100~\mathrm{mm}$. W drugą stronę: $7000~\mathrm{mm} = 700~\mathrm{cm} = 7~\mathrm{m}$.

8.Dodawanie i odejmowanie długości

Dodajemy osobno większe i osobno mniejsze jednostki. Nadmiar zamieniamy: 100 cm to 1 m, a 1000 m to 1 km. Na przykład $2~\mathrm{m}~60~\mathrm{cm} + 1~\mathrm{m}~70~\mathrm{cm} = 3~\mathrm{m}~130~\mathrm{cm} = 4~\mathrm{m}~30~\mathrm{cm}$. Przy odejmowaniu, gdy mniejszych jednostek brakuje, rozmieniamy jedną większą: 5 km 200 m to 4 km 1200 m, więc $5~\mathrm{km}~200~\mathrm{m} - 1~\mathrm{km}~600~\mathrm{m} = 3~\mathrm{km}~600~\mathrm{m}$.

9.Odcinek kilka razy dłuższy lub krótszy

Odcinek 10 razy dłuższy ma długość pomnożoną przez 10, a odcinek 10 razy krótszy - podzieloną przez 10. Najłatwiej liczyć w jednej jednostce. Na przykład odcinek 10 razy dłuższy od 3 cm 6 mm ma $36~\mathrm{mm} \cdot 10 = 360~\mathrm{mm} = 36~\mathrm{cm}$. Odcinek 10 razy krótszy od 2 m 40 cm ma $240~\mathrm{cm} : 10 = 24~\mathrm{cm}$.

10.Jednostki masy

Masę, czyli to, ile coś waży, podajemy w jednostkach masy: gram (g), dekagram (dag), kilogram (kg) i tona (t). Lekkie rzeczy, np. owoce czy słodycze, ważymy w gramach lub dekagramach, ludzi i zwierzęta domowe - w kilogramach, a ciężarówki i słonie - w tonach. Litr wody waży 1 kg.

11.Zależności między jednostkami masy

$1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag}$, $1~\mathrm{kg} = 1000~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$ oraz $1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$. Kilogram to 100 razy więcej niż dekagram i 1000 razy więcej niż gram. Tona to 1000 razy więcej niż kilogram.

12.Zamiana masy na mniejszą jednostkę

Mnożymy: kilogramy na dekagramy - przez 100, kilogramy na gramy i tony na kilogramy - przez 1000, a dekagramy na gramy - przez 10. Na przykład $46~\mathrm{kg} = 4600~\mathrm{dag}$, $9~\mathrm{kg} = 9000~\mathrm{g}$, $120~\mathrm{t} = 120\,000~\mathrm{kg}$. Masę w dwóch jednostkach zamieniamy po kawałku i dodajemy: $2~\mathrm{kg}~35~\mathrm{g} = 2000~\mathrm{g} + 35~\mathrm{g} = 2035~\mathrm{g}$, a nie 235 g.

13.Zamiana masy na większą jednostkę

Dzielimy: dekagramy na kilogramy - przez 100, gramy na kilogramy i kilogramy na tony - przez 1000, a gramy na dekagramy - przez 10. Na przykład $800~\mathrm{dag} = 8~\mathrm{kg}$, $6000~\mathrm{g} = 6~\mathrm{kg}$, $45\,000~\mathrm{kg} = 45~\mathrm{t}$, a $70~\mathrm{g} = 7~\mathrm{dag}$.

14.Pół i ćwierć kilograma, metra i kilometra

Pół to połowa całości, a ćwierć - jej czwarta część. Pół kilograma to 50 dag, czyli 500 g, a ćwierć kilograma to 25 dag, czyli 250 g. Tak samo pół metra to 50 cm, a ćwierć metra - 25 cm. Pół kilometra to 500 m, a ćwierć kilometra - 250 m.

15.Porównywanie i obliczenia na masach

Masy porównujemy, dodajemy i dzielimy dopiero po zamianie na tę samą jednostkę - tak samo długości. Na przykład 140 dag to więcej niż 1 kg 300 g, bo $140~\mathrm{dag} = 1400~\mathrm{g}$, a $1~\mathrm{kg}~300~\mathrm{g} = 1300~\mathrm{g}$. Aby sprawdzić, ile porcji da się zrobić, dzielimy masę całości przez masę porcji: z 3 kg mąki odsypiemy 12 porcji po 25 dag, bo $3~\mathrm{kg} = 300~\mathrm{dag}$ i $300 : 25 = 12$.

16.Masa netto, masa brutto i tara

Masa netto to masa towaru bez opakowania, masa brutto - masa towaru z opakowaniem, a tara to masa samego opakowania. Masa brutto to masa netto i tara razem. Na przykład dżem o masie netto 280 g w słoiku ważącym 15 dag ma masę brutto $280~\mathrm{g} + 150~\mathrm{g} = 430~\mathrm{g}$. Gdy znamy masę brutto i tarę, masę netto obliczamy odejmowaniem.

17.Do czego dziś służą cyfry rzymskie?

Rzymski system zapisywania liczb powstał ponad 2000 lat temu. Dziś cyfr rzymskich używamy rzadko: do zapisu miesięcy w datach, numerów wieków, pięter i rzędów w kinie oraz przy imionach królów i papieży, np. Jan III Sobieski.

18.Liczby od 1 do 39 w systemie rzymskim

Wystarczą trzy znaki: I (1), V (5) i X (10). Kolejne liczby to I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X. Zapamiętaj: IV to 4, a IX to 9. Większe liczby tworzymy, pisząc najpierw dziesiątki (X, XX, XXX), a potem jedności, np. 12 to XII, 26 to XXVI, a 38 to XXXVIII. Tak zapiszemy każdą liczbę od 1 do 39.

19.Cyfry rzymskie i ile razy mogą się powtarzać

W systemie rzymskim jest siedem cyfr: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) i M (1000). Znaki V, L i D mogą wystąpić w liczbie tylko raz. Znaki I, X, C i M mogą stać najwyżej trzy razy z rzędu: CCC to 300, ale 400 to nie CCCC. Gdy cyfry stoją od największej do najmniejszej, dodajemy ich wartości: DCLXII to $500 + 100 + 50 + 10 + 1 + 1 = 662$.

20.Kiedy mniejsza cyfra rzymska stoi przed większą?

Mniejsza cyfra przed większą oznacza odejmowanie. Zdarza się to tylko w sześciu przypadkach: IV (4), IX (9), XL (40), XC (90), CD (400) i CM (900). Każdą taką parę czytamy jak jedną liczbę, np. XC to $100 - 10 = 90$. Przed większą cyfrą może więc stać tylko I (przed V i X), X (przed L i C) albo C (przed D i M). V, L i D nigdy nie stoją przed większą cyfrą.

21.Jak odczytać liczbę zapisaną w systemie rzymskim?

Czytamy od lewej. Najpierw szukamy par, w których mniejsza cyfra stoi przed większą (IV, IX, XL, XC, CD, CM), i traktujemy każdą jak jedną liczbę. Potem dodajemy wartości wszystkich części. Na przykład MCDXLVIII to $1000 + 400 + 40 + 8 = 1448$.

22.Jak zapisać liczbę w systemie rzymskim?

Rozkładamy liczbę na tysiące, setki, dziesiątki i jedności. Każdą część zapisujemy osobno cyframi rzymskimi i stawiamy je obok siebie, od największej. Na przykład $2694 = 2000 + 600 + 90 + 4$, czyli MM, DC, XC i IV - razem MMDCXCIV. Za zero nic nie piszemy: 308 to CCCVIII.

23.Typowe błędy w zapisie rzymskim

Liczby 40 nie zapisujemy XXXX, tylko XL, bo ten sam znak może stać najwyżej trzy razy z rzędu. 99 to XCIX, a nie IC, bo przed C może stać tylko X. 45 to XLV, a nie VL, bo V nigdy nie stoi przed większą cyfrą. 150 to CL, a nie LLL, bo L może wystąpić tylko raz.

24.Największe liczby w systemie rzymskim

Samymi cyframi rzymskimi zapiszemy liczby od 1 do 3999. Największa z nich to MMMCMXCIX, czyli $3000 + 900 + 90 + 9 = 3999$. Dawniej, aby zapisać większe liczby, stawiano poziomą kreskę nad liczbą. Kreska zwiększała wartość 1000 razy, np. $\overline{\mathrm{XX}} = 20\,000$, a $\overline{\mathrm{L}} = 50\,000$.

25.Sposoby zapisywania daty

Datę 8 marca 2026 możemy zapisać: 8 marca 2026 (miesiąc słowem - piszemy „marca”, a nie „marzec”), 08.03.2026 (cyframi arabskimi - dzień, miesiąc i rok oddzielamy kropkami), 8 III 2026 (miesiąc cyframi rzymskimi - wtedy bez kropek) albo 2026-03-08 (taki zapis jest potrzebny w niektórych programach komputerowych).

26.Rok, kwartały, miesiące i tygodnie

Kalendarz to spis dni całego roku. Rok ma 12 miesięcy i dzieli się na 4 kwartały po 3 miesiące: I kwartał - styczeń, luty, marzec; II - kwiecień, maj, czerwiec; III - lipiec, sierpień, wrzesień; IV - październik, listopad, grudzień. Tydzień ma 7 dni.

27.Ile dni mają miesiące?

31 dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik i grudzień. 30 dni mają: kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad. Luty ma 28 dni, a w roku przestępnym - 29. Pomaga liczenie na kostkach zaciśniętych pięści: miesiąc na kostce ma 31 dni, a miesiąc w zagłębieniu między kostkami - 30 dni (oprócz lutego). Lipiec i sierpień wypadają na dwóch kostkach z rzędu.

28.Rok zwykły i rok przestępny

Rok zwykły ma 365 dni, a rok przestępny - 366 dni. Różnica jest w lutym: w roku zwykłym luty ma 28 dni, a w przestępnym - 29 dni. W XXI wieku lata przestępne wypadają co 4 lata: 2004, 2008, 2012 i tak dalej aż do 2096. Ich numery dzielą się przez 4. Wyjątkiem jest rok 2100: dzieli się przez 4, ale nie będzie przestępny.

29.Wiek

Wiek to 100 lat. Numer wieku zapisujemy cyframi rzymskimi. Wiek XX trwał od 1 stycznia 1901 roku do 31 grudnia 2000 roku. Wiek XXI rozpoczął się 1 stycznia 2001 roku, a zakończy się 31 grudnia 2100 roku. Rok 2000 należy więc jeszcze do XX wieku.

30.Jak ustalić, w którym wieku był dany rok?

Patrzymy na liczbę pełnych setek w numerze roku. Gdy rok kończy się dwoma zerami, jest ostatnim rokiem wieku, a numer wieku to liczba setek: rok 1800 to XVIII wiek. W pozostałych przypadkach do liczby setek dodajemy 1: rok 1683 to $16 + 1 = 17$, czyli XVII wiek, a rok 805 to IX wiek.

31.Jaki dzień tygodnia będzie za kilka dni?

Dni tygodnia powtarzają się co 7 dni. Liczbę dni dzielimy przez 7 z resztą: pełne tygodnie pomijamy, a resztę dni odliczamy od dzisiejszego dnia. Na przykład dziś jest poniedziałek, a $25 : 7 = 3 \text{ r } 4$, więc za 25 dni będzie piątek. Gdy pytamy o dzień sprzed kilku dni, resztę odliczamy wstecz.

32.Ta sama data w następnym roku

Rok zwykły to 52 tygodnie i 1 dzień, bo $52 \cdot 7 = 364$. Dlatego ta sama data rok później wypada o jeden dzień tygodnia dalej: gdy 1 stycznia roku zwykłego jest sobota, to 1 stycznia następnego roku będzie niedziela. Rok przestępny to 52 tygodnie i 2 dni, więc gdy po drodze jest 29 lutego, data przesuwa się o dwa dni tygodnia.

33.Ile dni minęło między dwiema datami?

Liczymy dni do końca pierwszego miesiąca, a potem dodajemy dni kolejnych miesięcy. Na przykład od 20 marca do 12 kwietnia: do 31 marca jest $31 - 20 = 11$ dni, a potem 12 dni kwietnia, razem $11 + 12 = 23$ dni. Tak samo ustalamy datę, np. 50. dnia roku: styczeń ma 31 dni, a $50 - 31 = 19$, więc to 19 lutego.

34.Godziny rano i wieczorem

Doba ma 24 godziny. Zegar cyfrowy pokazuje godziny od 0:00 do 23:59, a zegar ze wskazówkami - tylko od 1 do 12. Dlatego 7:40 na tarczy może oznaczać 7:40 rano albo 19:40 wieczorem: po południu do liczby godzin dodajemy 12. Godzinę zapisujemy np. 19:40 albo 19.40, a minuty bywają też pisane małymi cyframi u góry.

35.Wskazówki zegara

Krótka wskazówka jest godzinowa, długa - minutowa, a najcieńsza - sekundowa. Wskazówka minutowa przesuwa się od jednej liczby na tarczy do następnej w 5 minut. Gdy wskazuje 12, jest pełna godzina, na 3 - kwadrans po, na 6 - wpół do następnej godziny, a na 9 - za kwadrans następna godzina.

36.Jednostki czasu

Doba to 24 godziny, godzina to 60 minut, kwadrans to 15 minut, a minuta to 60 sekund. Skróty: godz. (godzina), min (minuta), s (sekunda). Godzina ma 4 kwadranse, a pół godziny to 30 minut.

37.Jak nazywamy godziny w mowie?

Kwadrans po ósmej to 8:15, wpół do dziewiątej to 8:30, a za kwadrans dziewiąta - 8:45. Za dziesięć dziewiąta to 8:50. Po południu i wieczorem dodajemy 12: wpół do dziewiątej wieczorem to 20:30. Północ to 0:00, a południe - 12:00.

38.Zamiana jednostek czasu

Na mniejszą jednostkę mnożymy: godziny na minuty i minuty na sekundy - przez 60, a doby na godziny - przez 24. Na większą jednostkę dzielimy. Na przykład godzina i 3 kwadranse to $60 + 3 \cdot 15 = 105$ minut, 3 doby to $3 \cdot 24 = 72$ godziny, a 240 minut to $240 : 60 = 4$ godziny.

39.Która godzina będzie za kilka godzin i minut?

Najpierw dodajemy pełne godziny, a potem minuty, najlepiej przez pełną godzinę. Na przykład która godzina będzie 2 godziny i 35 minut po 15:40? Po 2 godzinach będzie 17:40. Dalej 20 minut do 18:00 i jeszcze 15 minut, czyli 18:15. Gdy pytamy, która godzina była wcześniej, tak samo cofamy się w czasie.

40.Ile czasu upłynęło?

Liczymy w krokach: do najbliższej pełnej godziny, potem pełne godziny, a na końcu pozostałe minuty. Na przykład od 9:35 do 13:10: do 10:00 mija 25 min, do 13:00 - 3 godz., a do 13:10 - jeszcze 10 min. Razem 3 godz. 35 min. Gdy po drodze jest północ, osobno liczymy czas do 24:00 i od 0:00.